梁与正交各向异性板弯曲波的传递特性研究

王文晖， 钟 强， 胡婉璐， 陈海波

(中国科学技术大学 近代力学系 中国科学院材料力学行为与设计重点实验室，合肥 230026)

在航空航天等工程领域，复合材料结构有比较多的应用，而梁板或肋板结构是常见的基础组成部分。在航天发射过程中，这些结构经常遭受恶劣的宽频声振环境。因此，如何对此梁板结构进行有效的建模分析，获得耦合系统符合工程精度要求的声振特性，是该领域的一个重要课题。特别是在高频领域，结构的动力学行为对外界变得较为敏感，声振预测变得不易精确[1]，有限元(finite element method，FEM)和边界元(boundary element method，BEM)等确定性分析方法在这个频段有一定的局限性[2]，而起源于20世纪60年代的统计能量分析(statistical energy analysis，SEA)方法[3-4]适合此频段的响应分析并被广泛应用[5-6]。

在用统计能量分析方法研究梁板等耦合结构的动力学特性时，耦合界面处的能量传递以及功率流传递系数是首先要计算的物理量。耦合结构的传递系数被定义为通过耦合处传递的能量与入射到耦合处的能量的比值[7]。基于波法研究此梁板等耦合结构功率流传递系数(power flow transmission coefficient，PTC)是一个较好的选择，即假设从板发出的一束弹性弯曲波，与梁接触后，一部分波透射到梁上；另一部分发生了反射[8]。目前，国内外用波法对梁板等耦合结构能量传递的方向已做了大量的研究，然而，正交各向异性板的研究还较少。Le Bot[9]在其著作中曾提到梁板耦合的控制方程，但尚未给出正交各向异性板与梁耦合的控制方程；Yoo[10]用波法给出了各向同性板与梁耦合系统中功率流传递系数的表达式，并建立了与耦合损耗因子的关系；Bosmans等[11]研究了半无限正交各向异性板之间和有限尺寸正交各向异性板之间两种模型以刚性连接时结构噪声传递时内在的相似性和差异性，但并未将梁作为肋板结构的主要成分考虑在内；Zalizniak等[12]研究了多块各向同性板与梁耦合后弹性弯曲波的传递特性，并比较了三维节点模型和线性节点模型传递系数和反射系数的不同；Yoo等[13]描述了梁-板和梁-板-梁两种结构在间接耦合时各个子系统的能量和功率，并通过等效耦合损耗因子证明了间接耦合的存在，提出了“SEA sense”的概念；Langley等[14]分析了任意结构在点耦合时弹性波传递系数和耦合损耗因子的解，并发现这两个解满足互易定理，同时也引入了柱面波的情况。从上述文献可以看出，学者们对功率流中所涉及的弹性波传递系数问题的研究已做了很多有意义的工作，但存在的一个不足是尚未给出梁与正交各向异性板的弹性波功率流传递系数计算公式。

本文借鉴各向同性板与梁耦合的相关理论，构建了梁和正交各向异性板耦合系统控制方程，推导出正交各向异性板弯曲波数方程，进而推导出了正交各向异性板与梁耦合的功率流传递系数及耦合损耗因子计算公式。本文分析了剪切模量Gp12和方向角α对该弯曲波数的影响；同时分析了方向角α、频率和梁内损耗因子等参数对传递系数的影响，最后与各向同性板梁耦合结构传递系数进行了对比。这一研究，对正交各向异性板与梁耦合的高频响应分析具有重要的参考意义。

1 构建正交各向异性板与梁耦合控制方程

本文研究对象是正交各向异性板与各向同性梁的耦合系统，如图1所示，梁为欧拉-伯努利梁，板为克希霍夫板，板和梁均是线弹性的。假定薄板均匀且处于平面应力状态。该模型中，基于波法分析且仅考虑梁和板的弯曲运动，因为弯曲波是最重要的能量携带波，运动的其他能量与弯曲波能量相比很小，因此可以预期，目前的研究仅基于弯曲波的考虑是合理的。

图1 正交各向异性板与梁耦合结构简谐波传递Fig.1 Simple harmonic transfer of orthotropic plate-beam coupling structure

在图1中，假设梁的截面相对于板的中性面是对称的，并且梁的扭转中心轴与板的中性层在同一平面上。沿着梁的x轴与沿着板中性面内的y轴垂直。取薄板中面任意微分块，将横截面的内力画在该微分块上，如图2所示。

图2 薄板任意微分块中面载荷和内力图示Fig.2 Surface load and internal force diagram of any differential blockof thin plate

Le Bot曾给出了各向同性板与梁的耦合控制方程，结合图2考虑板的剪力和弯矩在耦合处的平衡条件[15]

(1)

(2)

其中，

(3)

式中：字母下标b为梁；下标p为板；wb(x,y,t)为梁的挠度；wp(x,y,t)为板的挠度；θ(x,t)为梁的转角；ρb为梁材料密度；mb为梁单位长度质量；Eb为梁杨氏模量；Gb为梁剪切模量；Ib为梁对应于x轴横截面的惯性矩；fb为梁极惯性矩；EbIb为梁弯曲刚度；Gbfb为梁扭转刚度。

考虑板现在为正交各向异性板，材料铺层如图1所示，虚线铺层为第二主方向铺层，材料主方向坐标系(1-2)与偏轴坐标系(x-y)夹角为α，这里称它为单层方向角α。

此时我们需要推导出偏轴应力-应变关系的物理方程，如图3所示。

图3 单层板两坐标系Fig.3 Two coordinate systems of a single layer

将板内坐标系转化到参考坐标系下

(4)

(5)

其中，

(6)

(7)

主方向坐标系下1-2的应力应变关系为

(8)

(9)

式中，μp12，μp21，Ep1，Ep2和Gp12分别为在第一种主刚度条件下板的泊松比、第二种主刚度条件下板的泊松比、第一主方向的弹性模量、第二主方向的弹性模量和第一种主刚度条件下的扭转刚度。

转化为x-y坐标系下的应力应变关系

(10)

其中，

(11)

(12)

假设板弯曲刚度矩阵[D]中系数满足

(13)

式中，δ为板的厚度。

那么式(1)和式(2)右侧可以引入薄板的正交性和单层方向角ɑ条件，整理可得正交各向异性板和梁耦合控制方程为

(14)

(15)

当单层方向角α=0时得到正交各向异性板和梁耦合控制方程为

(16)

(17)

式中：Dp1和Dp2分别为薄板在弹性主方向的弯曲刚度；Dpk为薄板在弹性主方向的扭转刚度，三者均为主刚度，且满足

(18)

可以发现，当正交各向异性板退化到各向同性板时，即满足Ep1=Ep2=E和μp12=μp21=μ时，式(13)和式(14)退化得到的耦合控制方程刚好与各向同性下板梁耦合控制方程一致。

2 半无限正交各向异性板与梁耦合功率流传递

2.1 正交各向异性板弯曲波数

如图2所示为正交各向异性板与梁耦合结构。假设板为有限宽无限长的板，即正交各向异性板为半无限子系统。当板厚度远小于板弯曲波长时可以忽略板剪切和扭转项的影响[16]，因此基于经典的薄板动力学假设和正交各向异性板满足的应力应变关系，并且当正交各向异性板主方向坐标系1-2与x-y坐标系成非零夹角时满足各向异性板离面位移运动方程，因此可得正交各向异性板离面位移w满足非耦合运动方程

(19)

考虑波数为kp的板内一束与耦合边法线夹角为θ的简谐波射向耦合边界处，此时假设弯曲波位移形式为

w(x,y,t)=Ce-ikpcos θxe-ikpsinθyeiωt

(20)

那么，将式(20)代入式(19)中，得到板的波数为

(21)

其中，

H(θ,α)=Dp11sin4θ+4Dp16sin3θcosθ+

2(Dp12+2Dp66)sin2θcos2θ+Dp22cos4θ+

4Dp26sinθcos3θ

(22)

式中：H(θ,α)为正交各向异性板弯曲刚度；ω为角频率； i为虚数。

当α=0时，板弯曲波数方程与Bosmans等研究的板弯曲波数方程一致。

2.2 耦合系统功率传递系数

设梁的挠度方程表示为

wb(x,t)=Ae-ikxxeiωt

(23)

式中：kx为沿梁方向的入射波数，与板内追迹波数kp满足kx=kpsinθ；板追迹波均可以被梁和自由板波数表达

(24)

板的追迹波波动方程可以表示为：

wp(x,y,t)=(B1eky1y+B2eky2y+B3eky3y)e-ikxxeiωt

(25)

式中，B1，B2，B3分别为远离耦合处的波场、靠近耦合处波场和入射波场的波幅。

半无限正交各向异性板与有限梁耦合结构耦合边界条件，与Yoo等描述的边界条件相似，即为

连续性方程

wb(x,t)=wp(x,0,t)

(26)

扭转条件

(27)

力平衡条件

(28)

式(26)～式(28)联立，可以用矩阵形式表示为

(29)

其中，

(30)

假设入射波幅B3=1以得到板中反射波幅和入射波幅比值分别为

(31)

其中，S满足

(32)

当α=0时，转化为

(33)

推出的式(33)形式上与Yoo等研究的传递系数表达式一致。将式(24)代入式(33)简化后为

(34)

(35)

远场和近场之和为反射场，考虑到近场在梁附近，故计入梁中，只考虑远场作为反射场。此外，在高频振动时，板的特征长度远远大于板内的弯曲波长，使得近场效应可以忽略。

2.3 建立功率流传递系数与耦合损耗因子的关系

由此我们可以求得板中一列平面入射波携带能量撞击耦合边界后的能量分配，忽略板中反射波和入射波干涉项，以及近场倏逝波的影响，可以得到正交各向异性板与梁内部存储的能量分别为

(36)

(37)

边界入射波功率为

(38)

在统计能量分析中，我们通常假设声场为扩散声场，即子系统中波动能量在所有方向都是均匀的，所以把式(36)～式(38)对入射角度积分，从而得到

(39)

(40)

(41)

式中，Ap，Lx和kp分别为板的面积、梁的长度、板在忽略内损耗因子时的波数，且梁位移幅值与入射波幅值的比值为

(42)

由于功率流平衡方程和互逆定理为

(43)

式中，np和nb分别为板和梁的模态密度。

板的模态密度可以通过板群速度获得，对在给定频率和方位角下的模态密度并积分，得到[17]

(44)

梁的模态密度为

(45)

式中，cgb为梁群速度。

将式(39)～式(41)代入式(43)中，可得到正交各向异性板与梁耦合损耗因子

(46)

(47)

式中：ηpb为板到梁能量传递时的耦合损耗因子，ηbp为梁到板能量传递时的耦合损耗因子

(48)

3 数值分析

3.1 理论验证

正交各向异性板与梁耦合结构模型示意图如图1所示，假设板无阻尼，梁有小阻尼。该耦合模型的材料(板为碳-碳复合材料，梁为铝合金)属性和尺寸列于表1中[18]，板中心施加单位简谐力。需要注意的是，上述理论的推导过程中，假设板的内损耗因子为0，从而使得从板到梁的耦合损耗因子不受板能量损耗的影响，这与碳-碳复合材料小阻尼特性是一致的。此外，梁长度对耦合损耗因子的影响可忽略不计，这与Yoo等的处理一样。由于SEA法中无法得到耦合结构的功率流传递系数，因此我们通过有限元法和SEA方法获得的结构能量解与波法能量解进行比较，间接验证波法理论的正确性。

表1 模型材料属性与尺寸Tab.1 Material properties and dimensions of the baseline model

在本算例中，结构振动主要为弯曲波场，因此可将有限元分析的能量近似看作弯曲波的能量，尽管有限元计算的能量在频域上有较大波动，对其进行拟合后仍可与波法和SEA解进行对比，这与高频分析中后两者的统计平均特性是一致的。

从图4和5中可以发现波法和SEA法的能量结果基本吻合，验证了本文波法理论解的正确性，而FEM解与波法和SEA解仅在部分频点存在小量差异，但总体吻合良好，说明精细有限元拟合能量解的可用性。

图4 板能量波法与有限元计算结果Fig.4 Plate energy wave method and finite element calculation result

3.2 弯曲波数

针对Bosmans等研究中第2章算例的材料参数，本节分析材料参数变化对正交各向异性板弯曲波数的影响。图6～图9分别为频率为1 000 Hz，单层方向角α在0°，30°，60°和90°时，剪切模量Gp12及弯曲波入射角θ对板弯曲波数的影响。从图中可以看出，在不同的单层方向角α下，剪切模量越大，板的弯曲波数越小。因为剪切模量的改变主要影响正交各向异性板的弯曲刚度H(θ,α)。从物理上来讲，板结构弯曲刚度变大后使得材料介质的压缩性变小，声波在相邻介质体积元的传递时间变短，因而声传播速度变大，从而弯曲波的波长变长，使得弯曲波在结构内传播时波数变少。从波数式(21)上来看，因为其处于公式分母上，剪切模量越大，那么弯曲刚度也越大，从而导致波数变小。此外在弯曲刚度H(θ,α)中，当θ=α时，即单层方向角和弯曲波入射角度重合，弯曲波在此方向上传播的更快，波长更长，从H(θ,α)上来看，弯曲刚度最大，从而导致板的波数最小。随着α角的增大，极小值位置会从θ角为0°向90°移动。此外，当单层方向角α=0时，得到的曲线正好与Bosmans等研究中的图2吻合。

图5 梁能量波法与有限元计算结果Fig.5 Beam energy wave method and finite element calculation result

图6 α=0°时板弯曲波数Fig.6 Plate bending wave number when α=0°

图7 α=30°时板弯曲波数Fig.7 Plate bending wave number when α=30°

图8 α=60°时板弯曲波数Fig.8 Plate bending wave number when α=60°

图9 α=90°时板弯曲波数Fig.9 Plate bending wave number when α=90°

图10表示频率为1 000 Hz，Gp12=1.538×1010时正交各项异性板在单层方向角α为0°,30°,60°和90°时弯曲波数随弯曲波入射角θ的变化。从图10中可以看出板弯曲波数在α为30°和60°时都表现出先减小后增大的现象；α越大的弯曲波数在入射角度为0°的时弯曲波数越大，入射角度为90°时，α越大则其弯曲波数也越小。

图10 α=0°, α=30°, α=60°和α=90°时板弯曲波数Fig.10 Plate bending wave number at α=0°, α= 30°, α=60° and α=90°

由此可发现，正交各向异性板的弯曲波数除了与Gp12等材料参数有关以外，还受到弯曲波入射角θ以及单层方向角α的影响，这可以从式(49)中看出

(49)

H(θ,α)=Dp11sin4θ+4Dp16sin3θcosθ+
2(Dp12+2Dp66)sin2θcos2θ+Dp22cos4θ+
4Dp26sinθsin3θ

(50)

相应的正交各向异性板弯曲群速度cgp也与上述参数有关，这可从式(51)中看出：

(51)

3.3 传递系数

3.3.1 方向角α和频率影响

图11～图14分别给出了正交各向异性板单层方向角α为0°，30°，60°和90°时，传递系数τpb在频率为1 000 Hz，2 500 Hz和4 000 Hz下随弯曲波入射角度θ的变化曲线。从图中可以看出在不同的α下，频率变化对传递系数有一定的影响，单从方向角为0°来看，两坐标系重合，频率的增加导致短波长的板子系统振动越剧烈，使得梁板子系统间的耦合作用加强，处于梁附近的近场波能量增大(该能量计入梁能量中)，使得传递系数增加，通过式(34)～式(35)式也可以看出传递系数变大，且传递系数在弯曲波入射角度为53.29°时有最大值；随着α的增大，对传递系数的影响受到多个因素如弯曲波入射角度等的综合作用，不能简单的发现单个方向角ɑ改变对传递系数的影响规律，但都有极大值的出现；当α为90°时，主方向发生互换，使得传递系数急剧变小，即y轴方向弹性模量较大时，对能量传递的可能起“阻挡”作用。至于y轴方向弹性模量要在多大的情况下才能出现“阻挡”现象，将在后面详细说明。

图11 α=0°时传递系数τpb变化Fig.11 Change of transmission coefficient τpb when α=0°

图12 α=30°时传递系数τpb变化Fig.12 Change of transmission coefficient τpb when α=30°

图13 α=60°时传递系数τpb变化Fig.13 Change of transmission coefficient τpb when α=60°

图14 α=90°时传递系数τpb变化Fig.14 Change of transmission coefficient τpb when α=90°

3.3.2 内损耗因子的影响

图15～图17分别为α角为0°，梁内损耗因子分别取0.01、0.02和0.03时，传递系数随弯曲波入射角度和频率的变化情况。可以看出，频率相对于弯曲波入射角度来说对传递系数的影响较小。而随着梁内损耗因子的增大，传递系数峰值呈增大趋势，说明有较多能量传递到梁上。可以从阻抗分析传递系数增加的原因[19]，半无限梁内损耗因子增大后，从而引起梁波数的减小，使得梁对板的阻抗较小，减小了板到梁的功率传递的阻碍作用，从而引起传递系数的增加。

图15 α=0°，DLF=0.01时传递系数τpb变化Fig.15 The transmission coefficient τpb changes when α=0°, DLF=0.01

图16 α=0°，DLF=0.02时传递系数τpb变化Fig.16 The transmission coefficient τpb changes when α=0°, DLF=0.02

图17 α=0°，DLF=0.03时传递系数τpb变化Fig.17 The transmission coefficient τpb changes when α=0°, DLF=0.03

3.3.3 板各向模量的影响

设定弯曲波入射角度为45°，单层方向角为0°时，图18和19分别分析了两种情况：当弹性模量E2=5.86×109不变时，改变E1的值，传递系数τpb随频率和E1/E2的变化，如图18所示；当弹性模量E1=5.86×109不变时，改变E2的值，传递系数τpb随频率和E2/E1

图18 α=0°,θ=45°，E2=5.86×109时传递系数τpb变化Fig.18 The transmission coefficient τpbchanges when α = 0°,θ = 45°,E2=5.86×109

的变化，如图19所示。能够发现无论哪种情况， 模量对传递系数的影响与模量的大小有很大关系。

图19 α=0°,θ=45°,E1=5.86×109时传递系数τpb变化Fig.19 The transmission coefficient τpb changes when α = 0°,θ = 45°,E1=5.86×109

在本节中考虑变化的弹性模量从5.86×109到324×109(近似为5.86×109的55倍)变化对传递系数所产生的影响，由于当弹性模量变化到5.86×109的8倍以后，传递系数已非常小，所以作图时取8倍作为上限，以便更好地分析传递系数有明显变化区域的规律特征。图18中模量比(E1/E2)带宽在1～3呈现较大的传递系数值，当模量比为1.77时(如图18中虚线)，这条线上的传递系数较大，虚线上下两边传递系数向两边逐渐变小，且传递系数从1 000～4 000 Hz逐渐变大，在点(4 000 Hz，1.77)取得传递系数最大值，为0.131 6。图19中模量比(E2/E1)带宽在1～2呈现和图18相似的规律，但此时中间虚线位于模量比等于1.14位置，传递系数最大点为(4 000，1.14)，为0.096 3。因为当模量比取值较小的时候，弯曲波入射角度对子系统弯曲波场的影响不可忽略，导致梁子系统近场波波场的能量较大，使得传递系数呈现较大的现象。当板结构模量比变得更大后，弯曲波入射角度对子系统能量的影响较小，结构总刚度的影响占主导地位，而结构总刚度的大小取决于弹性模量大的一方，那么Gremer等研究的式(79)～式(84)推导中可以看出，板子系统结构总刚度变大后，引起板结构的阻抗效应变大，从而遏制了能量的传递，使得传递系数变小。此外，第二种情况的传递系数峰值较小且高传递系数带也狭窄一些，这也间接证明了y轴方向的材料主刚度在一定条件下确实对能量传递起“阻挡”作用。

3.3.4 与各向同性板梁耦合模型的比较

针对3.1节中算例模型，本节研究其与各向同性板梁耦合模型的区别。在这里仅仅分析其物理现象，所以选择的各向同性板梁耦合模型的参数与3.1节参数相同，仅改变板弹性模量和剪切模量。图20中实线为正交各向异性板与梁耦合结构传递系数随入射角度的变化，虚线为各向同性板弹性模量取324 GPa时的传递系数变化，点划线为各向同性板弹性模量取5.86 GPa时传递系数变化，此外图20选取的单层方向角为0°。图21为单层方向角为90°时的情况，两图频率均取1 000 Hz。从图20～图21中可以发现，无论单层方向角取0°还是90°，正交各向异性板与梁耦合模型传递系数τpb都在弯曲波入射角度较大的区间出现峰值，而各向同性板梁耦合结构传递系数τpb在较小的区间出现峰值。同时可以发现，实线的峰值介于虚线和点划线峰值之间，单层方向角为90°时实线的峰值比单层方向角为0°的峰值小，即y轴方向弹性模量对板到梁能量的传递有减弱作用。

图20 α=0°，f=1 000 Hz时，与各向同性梁板耦合模型τpb比较Fig.20 Comparison of τpb with isotropic beam-plate coupling model when α=0°, f=1 000 Hz

图21 α=90°，f=1 000 Hz时，与各向同性梁板耦合模型τpb比较Fig.21 Comparison of τpb with isotropic beam-plate coupling model when α=90°, f=1 000 Hz

图22反映了正交各向异性板与梁耦合模型传递系数τpb随弯曲波入射角度θ和单层方向角α的变化，可以确定在某个对应的θ角和α角处传递系数有极大值，这对以后正交各向异性板与梁组合结构设计有一定的指导意义。

图22 传递系数τpb随入射角度和单层方向角的变化Fig.22 Variation of the transmission coefficient τpb with incident angle and single layer direction angle

从本小节的所有图中可以看出，传递系数的变化受到单层方向角α、频率、弯曲波入射角度、梁内损耗因子和正交各向异性板各向模量等参数的共同影响。单个α角下，频率的增加对能量的传递有一定的增强作用，但也受弯曲波入射角度的影响，且频率相对于弯曲波入射角度来说对传递系数的影响较小。而梁内损耗因子的增加也能增强正交各向异性板能量向梁子系统的传递。板各向模量合适的比值可以提高功率流的传递效应。单层方向角α角在0°和90°时，是材料铺层平行于x轴和垂直于x轴的两个特例，可以发现无论哪种情况，当垂直于x轴弹性模量越大，则传递系数越小。

4 结论

本文推导出正交各向异性板弯曲波数方程和正交各向异性板与梁耦合功率流传递系数表达式，并分析了剪切模量Gp12和单层方向角α对该弯曲波数的影响，以及单层方向角α、频率、梁内损耗因子和正交各向异性板各向模量等参数对传递系数的影响，最后与各向异性板梁耦合结构传递系数进行了对比。本文工作的主要结论如下：

(1)在不同的α下，剪切模量越小，板的弯曲波数越大；当α角等于弯曲波入射角度θ时，即横坐标θ=α时，在该位置三条曲线都取得最小值；随着α角的增大，极小值位置会从θ角为0°向90°移动。

(2)在不同的α下，传递系数不仅与频率有关，还受到弯曲波入射角度的影响；当α为0°时，两坐标系重合，且传递系数在弯曲波入射角度为53.29°有最大值；随着α的增大，传递系数变化规律性并不明显，但都有极大值的出现；当α为90°时，主方向发生互换，使得传递系数急剧变小，y轴方向弹性模量变大后，传递系数变小。

(3)频率相对于弯曲波入射角度来说对传递系数的影响较小；梁内损耗因子增大，传递系数峰值逐渐增大；α的改变对传递系数的影响较大，还可以改变传递系数峰值的位置；当α为90°时即y轴方向弹性模量较大，对能量传递的起“阻挡”作用，所以传递系数显著变小，但仍有峰值现象出现，但该规律有一定的限制条件。此外“阻挡”现象的机理需要后续更为深入的研究。

(4)传递系数在一定的模量比带宽内呈现出较大的数值；大于这个模量比带宽时传递系数呈现减小的趋势。而且当y方向弹性模量与x轴方向的模量比E2/E1与第一种情况(E1/E2)在比值相同的条件下，传递系数更小。各向模量对传递系数有一定的影响，合理的模量比设计可以提高子系统间的传递系数。

(5)正交各向异性板与梁耦合模型传递系数τpb都在弯曲波入射角度较大的区间出现峰值，而各向同性板梁耦合结构传递系数τpb在较小的区间出现峰值，实线的峰值介于虚线和点划线峰值之间，当单层方向角为90°时实线的峰值比单层方向角为0°的峰值小，即y轴方向弹性模量对板到梁能量的传递有减弱作用；正交各向异性板单层方向角和弯曲波入射角度的合理取值可以获得传递系数的最优解。

本研究工作，对于航空航天、汽车等领域中，梁与正交各向异性板组合结构高频动态分析与优化设计具有一定的参考意义。