丢番图方程x2+(2n)2=y9(1≤n≤7)的整数解

陈一维， 柴向阳

(华北水利水电大学 数学与统计学院，郑州 450045)

0 引 言

设B∈N，研究指数型 Lebesgue-Nagell 不定方程:

x2+B=yk

(1)

的整数解是数论中的一类重要课题，已经有了不少研究成果[1-10]。在B=(2n)2，k=9时,式(1) 的整数解问题研究中，李伟[11]证明了n=1时，不定方程x2+4=y9无整数解；杨全[12]证明了n=2时，不定方程x2+16=y9无整数解；许宏鑫等[13]在求解不定方程x2+4k=y9的整数解时，证明了n=4时，不定方程x2+64=y9无整数解，n=8时x2+256=y9仅有整数解 (x,y)=(±16,4)。但对于n=3和n≥5的情况还并未有过讨论。本文在此基础上，就n=3,5,6,7的情况进行了讨论，并给出了不定方程x2+(2n)2=y9在n=3，5，6,7 时无整数解的证明和结论。

1 基本概念及相关性质

引理1 设M是唯一分解整环，正整数k≥2，α,β∈M,(α,β)=1，若αβ=γk,γ∈M，则有α=ε1μk,β=ε2νk,μ,ν∈M，其中ε1,ε2是M中的单位元素，并且ε1ε2=εk，ε为单位元素。

引理2n=1时，x2+4=y9无整数解。

引理3n=2时，x2+16=y9无整数解。

引理4n=4时，x2+64=y9无整数解。

2 定理及其证明

定理1n=3时,不定方程

x2+36=y9(x,y∈Z)

(2)

无整数解。

证明分x≡1(mod 2)和x≡0(mod 2)两种情况进行讨论。

(1)x≡1(mod 2)，在Z[i]中，式(2)可以写为(x+6i)(x-6i)=y9,x,y∈Z。

设δ=(x+6i)(x-6i)，由δ|(2x,12i)=2得δ只能取1，1+i，2。因x≡1(mod 2)，有(x+6i)=1(mod 2)，所以δ≠2；若δ=1+i，则N(1+i)|N(x+6i)，即2|(x2+36)，与x≡1(mod 2)矛盾，所以δ=1。

由引理1，有

x+6i=(a+bi)9,x,a,b∈Z

因此得

x=a9-36a7b2+126a5b4-84a3b6+9ab8
6=b(9a8-84a6b2+126a4b4-36a2b6+b8)

(3)

则b=±1，±2，±3，±6。

b=1时，由式(3)可得

5=3(3a8-28a6b2+42a4b4-12a2b6)

(4)

要使式(4)成立，需要满足3|5，显然不可能，所以b≠1。

b=-1时，由式(3)可得

-7=3(3a8-28a6b2+42a4b4-12a2b6)

(5)

要使式(5)成立，需要满足3|-7，显然不可能，所以b≠-1。

b=2时，由式(3)可得

-253=3(3a8-28a6b2+42a4b4-12a2b6)

(6)

要使式(6)成立，需要满足3|-253，显然不可能，所以b≠2。

b=-2时，由式(3)可得

-259=3(3a8-28a6b2+42a4b4-12a2b6)

(7)

要使式(7)成立，需要满足3|-259，因为a∈Z，所以b≠-2。

b=3时，由式(3)可得

-6 559=3(3a8-28a6b2+42a4b4-12a2b6)

(8)

要使式(8)成立，需要满足3|-6 559，因为a∈Z，所以b≠3。

b=-3时,由式(3)可得

-6 563=3(3a8-28a6b2+42a4b4-12a2b6)

(9)

要使式(9)成立，需要满足3|-6 563，因为a∈Z，所以b≠-3。

b=6时,由式(3)可得

-1 679 617=3(3a8-28a6b2+42a4b4-12a2b6)

(10)

要使式(10)成立，需要满足3|-1 679 615，因为a∈Z，所以b≠6。

b=-6时,由式(3)可得

-1 679 617=3(3a8-28a6b2+42a4b4-12a2b6)

(11)

要使式(11)成立，需要满足3|-1 679 617，因为a∈Z，所以b≠-6。

所以当x=1(mod 2)，n=3时,不定方程x2+36=y9(x,y∈Z)无整数解。

(2)x≡0(mod 2)时。可知x为偶数，则y=0(mod 2)。设x=2x1，y=2y1，代入式(2)得

设x1=2x2+1，得

故n=3时，不定方程x2+(2n)2=y9无整数解。

定理2n=5时，不定方程

x2+100=y9(x,y∈Z)

(12)

无整数解。

证明分x≡1(mod 2)和x≡0(mod 2)两种情况进行讨论。

(1) 当x≡1(mod 2)时，在Z[i]中，式(12)可以写为(x+10i)(x-10i)=y9,x,y∈Z。

设δ=(x+10i)(x-10i)，由δ|(2x,20i)=2得δ只能取1，1+i，2。因x≡1(mod 2)，有(x+10i)=1(mod 2)，所以δ≠2；若δ=1+i，则N(1+i)|N(x+6i)，即2|(x2+100)，与x≡1(mod 2)矛盾，所以δ=1。

由此和引理1，有

x+10i=(a+bi)9,x,a,b∈Z

因此得

x=a9-36a7b2+126a5b4-84a3b6+9ab8
10=b(9a8-84a6b2+126a4b4-36a2b6+b8)

(13)

则b=±1，±2，±5，±10。

b=1时，由式(13)可得

9=a2(9a6-84a4b2+126a2b4-36b6)

(14)

要使式(14)成立，则a2=1或a2=9。

a2=1，b=1代入式(14)可得

a2(9a6-84a4b2+126a2b4-36b6)=15≠9

a2=9，b=1代入式(14)可得

a2(9a6-84a4b2+126a2b4-36b6)=7695≠9

所以b≠1。

b=-1时，由式(13)可得

-11=3(3a8-28a6b2+42a4b4-12a2b6)

(15)

要使式(15)成立，需要满足3|-11，显然不可能，所以b≠-1。

b=2时，由式(13)得

-251=3(3a8-28a6b2+42a4b4-12a2b6)

(16)

要使式(16)成立，需要满足3|-251，因为a∈Z，所以b≠2。

b=-2时，由式(13)可得

-261=a2(9a6-84a4b2+126a2b4-36b6)

(17)

要使式(17)成立，则a2=1或a2=9。

将a2=1，b=-2代入式(17)可得

a2(9a6-84a4b2+126a2b4-36b6)=
-615≠-261

将a2=1，b=-2代入式(17)可得

a2(9a6-84a4b2+126a2b4-36b6)=
-43 335≠-261

所以b≠-2。

b=5时，由式(13)可得

-390 623=3(3a8-28a6b2+42a4b4-12a2b6)

(18)

要使式(18)成立，需要满足3|-390 623，因为a∈Z，所以b≠5。

b=-5时，由式(13)可得

-390 627=a2(9a6-84a4b2+126a2b4-36b6)

(19)

-3×3×43 403=a2(9a6-84a4b2+126a2b4-36b6)

要使式(19)成立，则a2=1或a2=9。

a2=1，b=-5代入式(19)可得

a2(9a6b-84a4b2+126a2b4-36b6)=
-485 841≠-390 627

a2=9，b=-5代入式(19)可得

a2(9a6b-84a4b2+126a2b4-36b6)=
-155 601≠-390 627

所以b≠-5。

b=10时,由式(13)可得

1-108=a2(9a6-84a4b2+126a2b4-36b6)

也即

-99 999 999=a2(9a6-84a4b2+126a2b4-36b6)

(20)

-3×3×11 111 111=a2(9a6-84a4b2+126a2b4-36b6)

要使式(20)成立，则a2=1或a2=9，将a2=1，b=10 代入式(20)可得

a2(9a6-84a4b2+126a2b4-36b6)=
-34 748 391≠-99 999 999

a2=9，b=10代入式(20)可得

a2(9a6-84a4b2+126a2b4-36b6)=
-228 004 551≠-99 999 999

所以b≠10。

b=-10时，由式(13)可得

-100 000 001=

3(3a8-28a6b2+42a4b4-12a2b6)

(21)

要使式(21)成立，需要满足3|-100 000 001，因为a∈Z，所以b≠-10。

所以当x=1(mod 2)，n=5时,不定方程x2+100=y9无整数解。

(2)x≡0(mod 2)时,可知x为偶数，则y=0(mod 2)。设x=2x1，y=2y1，代入式(12)可得

设x1=2x2+1，得

故n=5时不定方程x2+(2n)2=y9无整数解。

定理3

n=6时,不定方程

x2+144=y9(x,y∈Z)

(22)

无整数解。

证明分x≡1(mod 2)和x≡0(mod 2)两种情况进行讨论。

(1) 当x≡1(mod 2)时，在Z[i] 中，式(2)可以写为(x+12i)(x-12i)=y9,x,y∈Z。

设δ=(x+12i)(x-12i)，由δ|(2x,24i)=2得δ只能取1，1+i，2。因x≡1(mod 2),有(x+12i)=1(mod 2)，所以δ≠2；若δ=1+i，则N(1+i)|N(x+12i)，即2|(x2+144)，与x≡1(mod 2)矛盾，所以δ=1。

由此和引理1，有

x+12i=(a+bi)9,x,a,b∈Z

因此有

x=a9-36a7b2+126a5b4-84a3b6+9ab8
12=b(9a8-84a6b2+126a4b4-36a2b6+b8)

(23)

则b=±1，±2，±3，±4，±6，±12。

b=1时，由式(23)可得

11=3(3a8-28a6b2+42a4b4-12a2b6)

(24)

要使式(24)成立，需要满足3|11，显然不可能，所以b≠1。

b=-1时，由式(23)可得

-13=3(3a8-28a6b2+42a4b4-12a2b6)

(25)

要使式(25)成立，需要满足3|-13，显然不可能，所以b≠-1。

b=2时，由式(23)可得

-250=3(3a8-28a6b2+42a4b4-12a2b6)

(26)

要使式(26)成立，需要满足3|-250，因为a∈Z，所以b≠2。

b=-2时，由式(23)得

-262=3(3a8-28a6b2+42a4b4-12a2b6)

(27)

要使式(27)成立，需要满足，因为a∈Z，所以b≠-2。

b=3时，由式(23)得

-6 557=3(3a8-28a6b2+42a4b4-12a2b6)

(28)

要使式(28)成立，需要满足3|-6 557，因为a∈Z，所以b≠3。

b=-3时，由式(23)得

-6 565=3(3a8-28a6b2+42a4b4-12a2b6)

(29)

要使式(29)成立，需要满足3|-6 565，因为a∈Z，所以b≠-3。

b=4时，由式(23)可得

3-48=a2(9a6-84a4b2+126a2b4-36b6)

也即

-65 533=a2(9a6-84a4b2+126a2b4-36b6)

(30)

-3×3×3×3×8 093=a2(9a6-84a4b2+126a2b4-36b6)

要使式(30)成立，则a2=1或a2=9，或a2=81。

a2=1，b=4代入式(30)可得

a2(9a6-84a4b2+126a2b4-36b6)=-116 535≠-65 533

a2=9，b=4代入式(30)可得

a2(9a6-84a4b2+126a2b4-36b6)=

-364 905≠-65 533

a2=81，b=4代入式(30)可得

a2(9a6-84a4b2+126a2b4-36b6)=
-127 148 535≠-65 533

所以b≠4。

b=-4时，由式(23)可得

-65 539=3(3a8-28a6b2+42a4b4-12a2b6)

(31)

要使式(31)成立，需要满足3|65 539，因为a∈Z，所以b≠-4。

b=6时，由式(23)可得

2-68=3(3a8-28a6b2+42a4b4-12a2b6)

也即

-1 679 614=3(3a8-28a6b2+42a4b4-12a2b6)

(32)

要使式(32)成立，需要满足3|-1 679 614，因为a∈Z，所以b≠6。

b=-6时，由式(23)可得

-2-68=3(3a8-28a6b2+42a4b4-12a2b6)

也即

-1 679 618=3(3a8-28a6b2+42a4b4-12a2b6)

(33)

要使式(33)成立，需要满足3|-1 679 618，因为a∈Z，所以b≠-6。

b=12时，由式(23)可得

1-128=3(3a8-28a6b2+42a4b4-12a2b6)

也即

-429 981 695=3(3a8-28a6b2+42a4b4-12a2b6)

(34)

要使式(34)成立，需要满足3|-42 981 695，因为a∈Z，所以b≠12。

b=-12时，由式(23)可得

-1-128=3(3a8-28a6b2+42a4b4-12a2b6)

也即

-429 981 697=3(3a8-28a6b2+42a4b4-12a2b6)

(35)

要使式(35)成立，需要满足3|-429 981 697，因为a∈Z，所以b≠-12。

所以当x=1(mod 2)，n=5时，不定方程x2+144=y9无整数解。

(2)x≡0(mod 2)时,可知x为偶数，则y=0(mod 2)。设x=2x1，y=2y1，代入式(22)可得

故n=6时,不定方程x2+(2n)2=y9无整数解。

定理4

n=7时,不定方程

x2+196=y9(x,y∈Z)

(36)

无整数解。

证明分x≡1(mod 2)和x≡0(mod 2)两种情况进行讨论。

(1) 当x≡1(mod 2)时，在Z[i]中，(2)式可以写为(x+7i)(x-7i)=y9,x,y∈Z。

设δ=(x+7i)(x-7i)，由δ|(2x,14i)=2得δ只能取1，1+i，2。因x≡1(mod 2),有(x+7i)=1(mod 2)，所以δ≠2；若δ=1+i，则N(1+i)|N(x+7i)，即2|(x2+196)，与x≡1(mod2)矛盾，所以δ=1。

由此和引理1，有

x+7i=(a+bi)9,x,a,b∈Z

因此有

x=a9-36a7b2+126a5b4-84a3b6+9ab8
14=b(9a8-84a6b2+126a4b4-36a2b6+b8)

(37)

则b=±1，±2，±7，±14。

b=1时，由式(37)得

13=3(3a8-28a6b2+42a4b4-12a2b6)

(38)

要使式(38)成立，需要满足3|13，显然不可能，所以b≠1。

b=-1时，由式(37)得

-15=a2(9a6-84a4b2+126a2b4-36b6)

(39)

要使式(39)成立，则a2=1。

a2=1,b=-1代入式(39)得

a2(9a6-84a4b2+126a2b4-36b6)=15≠-15

所以b≠-1。

b=2时，由式(37)得

-249=a2(9a6-84a4b2+126a2b4-36b6)

(40)

也即

-3×83=a2(9a6-84a4b2+126a2b4-36b6)

要使式(40)成立，则a2=1。

a2=1，b=2代入式(40)可得

a2(9a6-84a4b2+126a2b4-36b6)=
-615≠-249

所以b≠2。

b=-2时，由式(37)可得

-7-28=3(3a8-28a6b2+42a4b4-12a2b6)

也即

-263=3(3a8-28a6b2+42a4b4-12a2b6)

(41)

要使式(41)成立，需要满足3|-263，因为b∈Z，所以b≠-2。

b=7时，由式(37)可得

2-78=3(3a8-28a6b2+42a4b4-12a2b6)

也即

-5 764 799=
3(3a8-28a6b2+42a4b4-12a2b6)

(42)

要使式(42)成立，需要满足3|-5 764 799，因为b∈Z，所以b≠7。

b=-7时，由式(37)得

-2-78=3(3a8-28a6b2+42a4b4-12a2b6)

也即

-5 764 803=3(3a8-28a6b2+42a4b4-12a2b6)

(43)

-3×11×11×15 881=a2(9a6-84a4b2+126a2b4-36b6)

要使式(43)成立，则a2=1或a2=11。

a2=1，b=-7代入式(43)可得

a2(9a6-84a4b2+126a2b4-36b6)=
-3 936 945≠-5 764 803

a2=11，b=-7代入式(43)可得

a2(9a6-84a4b2+126a2b4-36b6)=
-15 329 985≠-5 764 803

所以b≠-7。

b=14时，由式(37)可得

1-148=3(3a8-28a6b2+42a4b4-12a2b6)

也即

-1 475 789 055=a2(9a6-84a4b2+126a2b4-36b6)

(44)

-3×5×13×41×197×937=
a2(9a6-84a4b2+126a2b4-36b6)

要使式(44)成立，则a2=1。

a2=1，b=14代入式(44)得

a2(9a6b-84a4b2+126a2b4-36b6)=
-266 239 335≠-1 475 789 055

所以b≠14。

b=-14时，由式(37)可得

-1-148=
3(3a8-28a6b2+42a4b4-12a2b6)

也即

-1 475 789 057=
3(3a8-28a6b2+42a4b4-12a2b6)

(45)

要使式(45)成立，需要满足3|-1 475 789 057，因为a∈Z，所以b≠-14。

所以当x=1(mod 2)，n=7时，不定方程x2+196=y9无整数解。

(2)x≡0(mod 2)时,可知x为偶数，则y=0(mod 2)。设x=2x1，y=2y1，代入式(36)可得

设x1=2x2+1，得

故n=7时，不定方程x2+(2n)2=y9无整数解。

综上所述，得出不定方程x2+(2n)2=y9(1≤n≤7,x,y,n∈Z)时，无整数解。

3 结 论

不定方程是数论方面的一个重要问题，在这方面的研究已经很多，上述过程就不定方程x2+(2n)2=y9在n=3,5,6,7时的整数解问题进行讨论，给出这不定方程x2+(2n)2=y9(n=3,5,6,7,x,y,n∈Z)无整数解的结论和证明，并根据已有结论总结出了不定方程x2+(2n)2=y9(1≤n≤7,x,y,n∈Z)无整数解的结论。 今后希望进一步研究n≥8的情况以及其他形式的不定方程的整数解问题．