聚焦“向量与三角”创新题

何俊

纵观近几年各地的数学高考真题，综合题比重有所上升成为高考命题的主要变化趋势，知识点的交汇成为命题的一种常态，向量与三角是高中数学的重要考查内容，它们是考查方程、数形结合等重要数学思想的主要载体，因此，向量与三角的交汇题型既是高考的重点也是热点，本文在研究近几年高考真题的基础上，对这一类问题进行了分析与预测，希望对同学们的复习备考有所帮助。

创新题型1：方程视角下的“向量与三角”问题

点评：本题第（1）问主要考查了向量数量积的坐标运算、正弦定理、两角和差公式等知识点，在解题过程中，要注意方程变形的等价性，通过三角函数值求角时，注意结合角度的取值范围。第（2）问主要考查了向量的线性运算、余弦定理、面积公式等知识点，在解决面积问题时，应用了数学的整体思想。

创薪题型2：函数视角下的“向量与三角”问题

点评：本题第（1）问以向量的模为载体，考查向量的坐标运算及利用函数解决最值问题。同学们应注意函数的定义域是研究函数的关键因素，使用三角换元时，应注意正、余弦函数的有界性。第（2）问首先利用数量积公式及三角恒等变换将目标函数转化成函数y=A sin（ωx+φ）（A>0），再利用其图像性质求出最值。

点评：上述求解过程的切入点是引入辅助角θ，准确写出点M，N的坐标，以便灵活利用平面向量的坐标运算加以求解。本题以向量垂直为入手点，考查数量积的最值，从而体现了向量的工具性，同时要注意转化与化归思想、数形结合思想在解题中的应用。

创新题型3：恒等关系视角下的“向量与三角”问题

点评：本题综合考查了向量的线性表示、数量积运算、正余弦定理及三角恒等变换，解题的关键是将向量关系转化成三角形中的边角关系，再利用切化弦和正余弦定理将目标转化成边的关系，通过整体思想，得出结论。在三角的化简变形过程中，弦切互换、边角轉换是常用的变形技巧，同学们在解决相关问题的时候要能够灵活使用。

数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析是数学学科的六大核心素养，向量与三角是考查数学运算与逻辑推理的重要载体，试题难度以中低档题为主，通过对以上四道典型例题的分析和解答，旨在为同学们熟悉向量与三角的基本题型，掌握解决这类问题的基本方法，提升自己的数学探究能力，把握新高考的基本动态。

（责任编辑 王福华）