基于APOS理论指导小学数学概念教学探析

陈霞

【摘要】本文阐述基于APOS理论指导概念教学的意义，并以人教版数学六年级下册《圆柱的表面积》一课为例，分别从操作阶段、程序阶段、对象阶段、图示阶段对圆柱概念教学进行设计，并进行反思，以更好地建构高效课堂，提升学生学科核心素养。

【关键词】APOS理论小学数学 概念教学圆柱的表面积

【中图分类号】G【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2021）41-0120-03

进入小学六年级，师生直面“小升初”的巨大压力，不仅要完成该学年的教学任务，还需进行总复习，为初中的学习做好准备。可以说，该学年时间紧、任务重，是教学过程中非常重要的阶段，亟需一套成熟完备的理论用于指导教学。笔者作为一名小学数学教师，经历多年的教学实践，发现APOS理论能为数学概念教学提供良好的指导。下面，笔者以人教版数学六年级下册《圆柱的表面积》一课为例，论述APOS理论在数学概念教学中的具体应用，并进行总结和反思，为实现高效教学进行积极的探索。

一、运用APOS理论指导概念教学的意义

20世紀80年代，杜宾斯基等人针对数学概念学习的特点，基于构建主义提出APOS理论。经过历代数学教育工作者的努力探索，当前该理论已经趋于完善成熟，也越来越多地应用于现代课堂教学指导。APOS理论包含操作（Action）、过程（Process）、对象（Object）、图式（Schema）4个阶段，并认为经过教师的引导完成操作、过程、对象前3阶段，学生就能对外部刺激做出具体反应，然后将具体反应转化内隐程序而不必局限于具体的运算，最终自主反思完成最后阶段——“图式”阶段，即自行对具体内容的认知进行抽象概括，将过程转变为数学概念的内化与凝聚，逐步发现概念的本质，进而形成完备而牢固的认知结构，提高学习成效。

根据《义务教育数学课程标准（2011年版）》的标准与要求，数学教学进入第二学段（3~6年级），学生将逐步接触立体图形，开始几何内容的学习；此学段又是培养学生抽象概括能力的重要时期，同时空间观念、推理思维也在这个阶段开始稳步发展。通过抽象概括训练，学生对事物的感性认识将转为理性认识。以圆柱体这一立体图形为例，其相关课程包含许多概念性的内容，不少教师在教学中却因缺乏科学、有效的理论指导，未能厘清教学的流程，导致学生在平面到立体、静止到运动的数学抽象过程中走了许多不必要的弯路，在构建概念框架时有所缺失。这一缺失直接导致学生抽象能力发展欠缺，在学习过程中难以抓住数学材料（题目）的本质属性，容易受到非本质属性干扰，对概念的掌握不全面、不深刻，最终出现数学能力难以提升的局面。六年级处于小学升初中的关键衔接阶段，其教学应具有很强的延续性，教师需要关注学生思维从具象向抽象的转变，在课堂进行相应的训练。

在小学数学概念教学中，以APOS理论为指导，既能体现课标中“数学概念具有对象和过程的两重性”特点，也能突出课标中“以生为本”的教学理念，符合数学课程改革趋势，有助于构建合理的概念教学体系。以圆柱体的概念为例，按照APOS理论的4个阶段，从具体的活动过程到抽象的概念构建过程所进行的教学设计，均符合学生的认知规律与心理发展特征，有助于激发学生的学习兴趣，使他们体验从实际生活背景中抽象出数学概念、构建数学学习模型的过程，最终达成提升学生数学能力、高效衔接小学与初中教学的目标。

二、APOS理论视角下的圆柱概念教学设计

（一）操作阶段

根据APOS理论，在学习的开始阶段——操作阶段，教师要对学生输入一定的刺激，引导学生感知所学概念。这些刺激可以是数学操作、数学实验等，也可以通过多媒体引导学生调动感觉器官，开展回忆、猜想、联想、判断等思维活动。实际的教学过程，教师可以通过如下步骤依次展开。

1.通过PPT，展示具有长方体、立方体与圆柱体特征的实物图片，唤醒学生的生活经验，然后让学生说一说，哪些是之前学习过的立体图形（长方体、立方体），哪些是之前没见过的立体图形（圆柱体）。

2.消除PPT中的长方体与正方体实物图片，提示学生“这种之前没见过的立体图形我们称为‘圆柱体’”，并请学生尝试归纳圆柱体的特征是什么，思考它为什么不能与之前学习过的长方体、立方体归为一类。

3.利用多媒体抽象出圆柱体的数学图形，并将圆柱体教具放到讲台上展示，让学生说一说生活中还有哪些物体的形状是圆柱体。

4.出示课本上介绍的教具——一张被黏在木棍上的硬纸，开始高速旋转，向学生提问：老师手中的物体形状看起来像什么？

5.教师拿出一罐圆柱形罐头，将标签纸从侧面垂直剪断，然后展开，向学生提问：标签纸展开后是什么形状？

教师展示生活中常见的事物，让概念蕴含于事物之中，让教学内容贴近学生的生活，缩短学生与教材的距离；在教学新课程时从学生已经熟悉的长方体、正方体概念入手，有利于学生做好迎接新概念的心理准备。当学生能说出圆柱体与长方体、立方体最显著的不同时，教师再适时引导学生阅读课本，使其了解圆柱的“底面”“侧面”“高”等概念。在步骤4中，教师把圆柱体的实物摆放于讲台，启发学生说出更多生活中的圆柱体物体，初步将抽象的概念还原到现实中，让学生经历从具体—抽象—具体的过程，为其此后自行运用所掌握的圆柱体概念知识解决实际问题做好准备。

（二）程序阶段

学生经历了数学活动的操作阶段之后，已对圆柱的形体特征、各部分的名称、圆柱的展开与合并有一定的了解。因此在APOS的第二阶段——程序阶段，教师需要让学生不断对活动进行反省、重复，帮助他们从大量的实例中抽象出数学概念。在教学中，教师应结合具体实例提出问题让学生学习、探究，使其认识逐渐从感性上升到理性。教师开展程序阶段的教学，可以从5个步骤开展。

1.再度展示包裹圆柱罐头的标签纸，然后沿着罐体的侧面用细胶带粘贴一条垂线，再以这条垂线为起点绕着罐体贴一圈细胶带。当展开细胶带之后，发现其长度竟然和标签纸的长与宽之和相吻合。

2.循序渐进地提问并带领学生完成练习：（1）小明做了一个笔筒，底面直径是6cm，高为12cm，为了给笔筒的侧面贴上贴纸，他至少需要用多少面积的彩色贴纸？（2）工人师傅要修建一个底面半径为6m，深3m的露天圆柱形蓄水池，为了防水要在底面和侧面抹上防水涂层，涂抹防水涂层的面积是多少？（3）张阿姨要做一个圆柱形的抱枕，长60cm，底面直径20cm，一共需要多少平方米的布料？

3.提问并引导学生反思：要想得出上述问题的结果，需要知道圆柱体上的哪些数据？

在这个阶段，学生的主要任务是将操作行为“数学化”。面对数道循序渐进的练习题，学生在解题过程中逐渐明白圆柱体中几个重要的“指标”分别有什么“作用”，也直观地理解了圆柱体的侧面展开后是长方形，以及其长宽与圆柱体又存在什么关系。在上述活动中，学生感悟到圆柱体的表面积就是其底面面积与侧面面积之和。经过程序阶段的探索，学生思维中的圆柱体表面积概念逐渐摆脱物体的具体形态，最终变得抽象而高度概括。

（三）对象阶段

经历上述两个阶段，学生对圆柱体的表面积概念已经初具抽象性，但是仍缺乏一个升华的过程。在对象阶段，教师应该努力帮助学生体验从具体操作到概念形成的思维过程，学习用符号表示抽象出的相应概念，将“程序”凝结为“对象”，即将多部分组成的内容打包为一个静态的“对象”。在实际的教学活动中，教师可依次展开如下操作。

1.借助圆柱形教具，取出上下底面，展开侧面包裹的标签纸，向学生展示一个圆柱体展开之后分别由什么构成。

2.再度出示课本上介绍的教具——一张被黏在木棍上的硬纸，然后握着木棍缓慢旋转，并要求学生想象纸片是如何通过扫过一个空间形成圆柱体的。

3.借助“几何画板”等软件，展示圆柱体分解为上下两底的圆形和侧面的长方形的过程，并通过动画再现步骤2中的矩形是如何扫过空间形成圆柱体的。

4.回归课本，点明圆柱体的表面积=圆柱体的侧面积+两个底面的面积，并用等式表示出来。

在本阶段，学生将操作阶段、程序阶段的过程逐渐抽象化，渐渐抛弃具体的物体形态而概括出圆柱体的底面直径、半径和圆柱体的高等定义，概括出“圆柱体表面积”的概念并加以比较、综合，明确圆柱体的表面积与上述概念的关系，将表面积凝结成一个具体的对象，形成一个内涵明晰的概念。

（四）图式阶段

图式阶段是学生对前面三个阶段形成的概念在头脑中进行整合的阶段，其能进一步固化学生刚刚形成的概念，并且与其他概念、规则、图式建立联系，最终在脑中形成综合的知识网络结构。在这个阶段，学生的学习活动不能局限于课堂听讲、课后做题，还要开展小组学习、研究性学习，借此途径展示学习成果、提出新问题等。在这个阶段，教师可以依次展开如下教学步骤。

1.回顾圆柱体的认识过程，引导学生思考是什么特征让一个圆柱体区别于其他的立体形状，又是什么特征让圆柱体之间互相产生区别。

2.引导学生思考圆柱体的表面积计算方法在生活中的应用，如计算生产用料、测量相关物体的装配面积等。

3.布置课后任务进行拓展练习，让学生进一步掌握圆柱体的相关概念以及表面积的计算方法。

4.结合生活实际、具体的生产情况，选择一些能多角度全方位考查学生对圆柱体概念掌握情况的题目，巩固学生对圆柱体概念的认知。

5.归纳总结学过的表面积计算方式，引导学生尝试归纳总结表面积计算的数学模型，为今后圆锥、球体的表面积学习奠定基础。

图式阶段的学习探索，能够引导学生把学习过的“圆柱体表面积”融入“表面积”概念中，搭建较为完整的知识结构，并能根据这个结构预测未来可能遇到的问题，最终在心理图式中内化这个表面积的求解方法。

三、教学反思

随着APOS理论的不断完善，小学数学概念教学获得有力的理论支撑。该教学模式不仅尊重学生个体数学模型概念的学习过程，让学生在构建概念的同时搭建知识框架，通过原有概念预测未来新知，也通过分阶段的方式为教师提供步骤明晰、条理清楚的教学方法。但在APOS理论的实践过程中，笔者也就一些问题进行了反思，并提出相应的改进策略。

（一）要把控操作阶段的时长

学生在操作阶段通过接触、感悟现实世界，接受外界的刺激而形成概念，这样的方式直观而直接。但教师应注意，六年级学生的认知水平已经达到一定的高度，心智发展趋于成熟，思维方式也开始从算数思维转向代数思维，从形象思维转向抽象思维，如果教师在具象事物的范畴内停留太久，那么容易造成课堂效率低下。此外，该年段的学生逐步进入青春前期，较低年段的学生而言，他们的课堂纪律与个人情绪更不好把控。当学生在“操作阶段”受过多刺激，其情绪容易过度兴奋，注意力与精力也消耗过多，会严重影响他们后续三个阶段的学习，最终造成理论概念学习流于表面，仍停滞在具象阶段，不利于概念内化。认识圆柱体并计算表面积的教学安排为1个课时，时间较紧，又面临小学数学总复习的压力，任务较重，因此教师在教学时，应尊重学生身心发展特点，妥当把控操作阶段的时长，帮助学生逐步构建、内化数学概念。

（二）要重视教学的连贯性

APOS理论为教师的实际教学提供理论抓手，设立了4个教学阶段。这4个阶段应循序渐进，通过引导学生逐级反思、抽象，最终得出结论概念。在这个过程中，教师要认识到APOS理论虽然是分层次、分阶段的，但是在实际运用中，应追求“润物无声”的理论境界，将4个阶段顺畅地连贯起来，让学生在没有意识的情况下迈入深层次的思维活动，体会“渐入佳境”之感。笔者观摩不少以APOS理论为指导的教学视频实录，明显察觉到部分教师在教学过程中对两个环节之间的衔接缺乏过渡与安排，亦不考虑学生的接受程度强行开启下一阶段的学习，导致课堂变得支离破碎，学生学习时不免产生疑惑，转而分散注意力，最终影响教学效率。因此，教师在以APOS理论指导教学时，应充分考虑课堂连贯性，妥当选择例题、过渡方式，让学生在连贯的教学环节中逐步实现学习目标。

（三）要促进学生概念迁移

学生在学习圆柱体前已经积累了一定的立体图形知识，所以在引导其初步接触圆柱体时，教师可以从学过的立方体、长方体导入；当学到求表面积的阶段，又将其与之前学的立方体、长方体概念相结合，逐步推导圆柱体表面积公式，促进概念内化。当完成圆柱体表面积的学习之后，教师引导学生进一步思考所學的知识除了在生活中运用，还可以用来求解什么，由此引出圆柱体的底面周长、高等参数，为圆柱体的体积教学做充分的铺垫。此时教师可以顺理成章地再度开展APOS教学，从具体实例入手，开始关于圆柱体体积概念的学习。

笔者认为概念的迁移存在纵横两个方向，横向的迁移如表面积的概念，从正方体到长方体再到圆柱甚至是接下来的圆锥，都是表面积概念范畴下不同形式的延伸；而纵向的概念迁移则体现了思维从浅到深、从具象到抽象、从平面到空间的迁移。因此，利用APOS理论指导教学时，当完成了图式阶段之后，教师应积极促进学生以这个凝聚为图式的概念为起点，向更深层次的思考延伸，以高效实现学习目标。

APOS理论经过近四十年的发展逐渐成熟，为数学的教学提供了一个有力的理论依据，而通过掌握圆柱概念，学会求解圆柱体表面积又是学生在六年级阶段思维从具象向抽象过渡、发展空间思维必不可少的一个环节。希望越来越多的数学教育工作者能认识并发掘这个理论的价值，以此为理论指导开展教学实践，促进学生数学学科素养提升，帮助学生思维向更高层次迈进。

【作者简介】陈 霞（1976—），女，广西北流人，一级教师，现就职于玉林北流市新松小学，研究方向为小学数学教学。

（责编黄健清）