基于OBE理念的线性代数多媒体辅助教学

黄述亮

（滁州学院 数学与金融学院，安徽 滁州 239000）

线性代数是代数学的一个分支，主要研究目标是线性关系问题，而线性问题在科学技术的各个领域中到处可见，而且某些非线性问题在一定条件下能够转化为线性问题来处理，因此线性代数的理论和方法已经被广泛应用于多个学科（比如密码学、计算机图形学等），特别是其中包含的矩阵思想和方法在日常生活中处处可见。线性代数与另外几门大学数学课程（高等数学、概率统计、复变函数与积分变换）相比，更加抽象，线性代数课程中涉及的基本概念、性质、定理更加抽象难懂，要真正学精、学透并不容易，因此，对于初学者而言，学习起来有很大难度。传统的重理论轻应用的教学模式已经不能满足培养学生能力的需求，这就需要教师在讲课过程中选择合适的教学方法和教学手段。目前，很多专家学者认为实施以成果为导向的OBE（Outcome based education）教育理念和方法是追求卓越教育和创新人才的有效途径[1]，在工程认证和师范类专业认证中都要有效落实。线性代数课程中的很多概念比较抽象，教学中要以学生为中心，抽象问题需要具体化、形象化，为此可以把几何直观和案例等作为切入点，比如讨论线性方程组解的情况时，可以借助中学的二元一次方程组来引入。具体而言，二元一次方程看成是一条直线，从而方程组解的问题转换为同一平面上两条直线的位置关系，于是直线相交对应方程组有唯一解；直线重合对应方程组有无穷多解；直线平行对应方程组无解，学生很容易理解这样的解释。目前很多学者对多媒体辅助教学进行了深入研究[2-8]，提出了一些好的策略，从中可以得到很多有益的启发。

笔者长期从事代数类课程（线性代数、高等代数）的教学工作，文章基于OBE模式下注重学生获得能力与成果的基本理念，结合近年来利用多媒体为理工科及数学与应用数学等专业授课的实践，谈几点在线性代数中利用多媒体教学的认识和体会。

1 多媒体教学的优点

1.1 拓展视野、提高兴趣

在课堂上讲授线性代数知识的时候，基于多媒体图文并茂的优势，可以补充与本课程相关的一些数学家（比如Cayley、Laplace）生平、学科的前沿知识，图文并茂地引入课堂，将课程思政融入线性代数的教学过程，一方面可以激发学生的学习积极性和发挥学生的主观能动性，提高知识的应用能力，另一方面还可以培养学生科学的审美能力，树立正确的世界观、人生观、价值观。

1.2 知识感官化、形象化

在课堂上，教师往往需要通过大量的实例进行讲解，空间几何理论为线性代数的课堂教学提供了大量形象而具体的例子，实践证明，这些具体例子对于帮助学生全面理解抽象的概念和有关的理论起了重要的作用。然而，一些几何的图形在传统教学的条件下展示比较困难，运用多媒体技术可以将三维图形进行动态展示，可以直观地将一些图像和性质显现出来。例如，让一个教师在课堂上手绘二次型36z= 4x2-9y2所代表的图形（俗称马鞍面）并描述其截面形状，显然作图比较费时、费力，而且效果未必理想，如果利用Matlab模拟这个曲面的形状，通过多媒体来展示可化抽象为直观，学生一目了然。另外，课堂教学中，教师经常要做的事情是将知识点进行归纳和总结，但是有些内容不适合用板书呈现，例如，对于n元半正定二次型f(x) =xTAx，下列条件[9]等价:

（1）f(x) 半正定；

（2）f(x) 的正惯性指数与秩相等；

（3）f(x) 标准形无负平方项；

（4）f(x) 的规范形为其中r为f(x) 的秩；

（5）矩阵A的特征值非负；

（6）存在m×n矩阵C，使A=CTC；

（7）矩阵A的所有主子式非负。

像这种结论较多的知识点归纳不适合用板书展示，否则会浪费课堂时间。显而易见，进行知识总结时，利用多媒体图表动画的方式呈现要比黑板书写的效果好。

1.3 增加课堂容量、提高课堂效率

矩阵的初等变换在求矩阵的逆、解线性方程组等问题时非常有效，这种类型的题目在黑板上完整的写出解题过程不仅会占用的大量的篇幅，而且会耗费太多的时间，教师的课堂效率必然受到影响。如果能够合理利用多媒体展示这样的内容，那么教师自然省去了大量板书的时间，就有了更多的时间来关注教学内容的设计与讲授，学生也有了课堂练习的时间，增加了课堂教学所包含的信息量。比如，在代数学中一个非常经典的问题是矩阵的满秩分解（即把一个矩阵分解为一个列满秩和一个行满秩矩阵的乘积），来看一个具体例子：

根据初等变换与初等矩阵的一一对应关系，上面过程可以表示成初等矩阵的乘积：

就是一个满秩分解。从上面过程看出，如果利用板书展示全部过程是比较费时，借助多媒体效果较好。

1.4 突出教学重点，提高教学效果

传统的教学手段通常通过教师讲课声音的大小、节奏的掌握、语速的快慢、语调的高低等来突出教学中的重难点内容。多媒体辅助教学可以将教学中易错的地方和重难点等通过字体大小、动画、颜色变化和音响等方式来引起学生的注意，教学形式上更加丰富多元，教学过程更加生动形象，帮助学生加深对知识的理解和消化，教学感染力明显增强。

1.5 增加专业案例，促进能力培养

培养学生创新意识和能力非常重要，在教学中加入数学实验是一个非常好的举措。目前滁州学院采用的自编教材《线性代数及其应用》已经将每一章的最后一节加入利用MATLAB解决问题的案例，利用线性代数所学知识将一些实际问题进行建模并用数学软件求解(比如，人口迁移模型、电网模型、离散动态系统模型等)，不仅可以激发学生学习的热情，而且可以培养学生分析问题和解决问题的能力。比如在讲到可逆矩阵问题时，可以介绍逆矩阵在密码学中的一个简单应用。先在字母与数字间建立起一一对应关系：

如果要发出信息ACTION，使用上述代码，此信息的编码是：1，3，20，9，15，14。写成两个向量

现任选一可逆矩阵，例如

于是可将要传出的信息列向量经乘以A编成密码后发出，

在收到信息：67，28，75，81，62，129后，利用下面关系予以解码：

从而生成有效信息：ACTION。一个简单的例子使学生了解到利用矩阵概念如何把明文加密为密文，密文又如何解密成明文，进行信息传递的技术手段，激发学生对课程的好奇心和求知欲。

2 多媒体教学的缺点

2.1 信息容量太大造成学生思维不能及时跟进

在制作多媒体课件时，内容力求少而精、条理清楚，内容太多容易造成重点不突出，反而起不到好的效果。此外，教师在上课时要随时注意观察学生的面部表情和眼神变化，控制好课堂节奏，讲解速度要恰到好处，否则速度太快容易造成学生思维跟不上教师的步伐，无法保证课堂教学的效果。

2.2 教师的主导作用难以发挥

多媒体教学中，少数教师过分依赖多媒体课件，教学过程变成了播放课件，教师成了画面讲解员，教材被课件所代替，教师在教学中的主导作用发挥不出来，更无法体现以学生为中心的基本理念，学生对于相关理论掌握不好。须知，课堂情况要学会灵活处理，上课不是一成不变的读课件或照本宣科，要让多媒体辅助教学真正发挥作用。

2.3 数学思维的表现力差

多媒体的确可以增大教学信息量，但是在整个教学过程中自始至终都用多媒体极易造成学生思维跟不上，增加消化知识的难度。特别是在讲解一些定理的证明、复杂例题的推导，多媒体往往会把若干步骤合并在一起，学生自由思考的时间太短，学生分析问题的能力得不到有效训练。显然，从思维的表现力上来说，“黑板+粉笔”比多媒体更胜一筹。

2.4 制作课件需要耗费时间和精力

制作多媒体课件往往需要一些软件（如Flash、Photoshop、PowerPoint、Authorware），这就要求教师具备较好的计算机基础，只有这样，他们才能根据不同教学内容的需要去制作课件，而且教师必须要有充足的时间和充沛的精力。总之，制作一个内容丰富且适合自己的课件其实并不简单。

3 多媒体辅助教学案例

下面一个案例以“师生问答”的形式，用5个步骤来展示多媒体在线性代数具体知识点教学过程中的发挥的辅助作用。

（1） 步骤一（问题引入）

【师】 让学生验算二次方程3x2-2xy+ 3y2= 4经过变换

得到什么方程？

【师】 PPT展示图形并分析过程：将坐标系逆时针旋转45°得新坐标系x′oy′，原来的椭圆由“歪”变“正”。

【师生】 得到结论：二元二次齐次多项式可经过适当的旋转（可逆变换）换化为标准形。

（2）步骤二（提出并分析问题）

【师】 提出问题让学生思考：n元二次齐次多项式是否也可以找到适当的可逆变换，化为只含平方项的形式呢？

【师】 板书展示并分析：

n元二次型=YT(CTAC)Y化为标准形，这里g(Y)的矩阵CTAC=D=diag(d1,d2,…,dn)。

【师】λ1,λ2,…,λn是否为矩阵A的全部特征值？

【师】 板书展示下面内容

对于实对称矩阵A，存在C-1=CT，满足C-1AC=CTAQ=D=diag(λ1,λ2,…,λn)。

【师】 PPT呈现分析问题的结果：即下面的定理。

（3）步骤三（主轴定理）

对于任意n元二次型f(X) =XTAX，一定存在正交变换X=QY，使二次型f(X)化为标准形g(Y) =，其中λ1,λ2,…,λn为矩阵A的全部特征值。

【师】 提醒学生定理中的正交矩阵是否唯一？实对称矩阵对角化问题的主要步骤？

【生】 回答上述问题。

【师】 PPT呈现二次型化标准形的“五部曲”

1）写出二次型f(X)的矩阵A；

2）解出A的所有特征值λ1,λ2,…,λn；

3）求出对应于特征值的全部线性无关的特征向量α1,α2,…,αn；

4）正交化、单位化得γ1,γ2,…,γn，记Q=(γ1,γ2,…,γn)；

5）作正交变换X=QY，得f(X)的标准形g(Y)

提醒学生：上述步骤中的（2）、（3）、（4）恰好是对称矩阵对角化的步骤。

【师】 PPT再次展现引例，并解释主轴定理在该例中的意义。

（4） 步骤四（例题演示）

【师】 PPT展示下面例题的完整过程。用正交变换化二次型

为标准形，并求出所用正交变换。

解：1）二次型f(X)的矩阵为

2）A的特征值为λ1=λ2=1,λ3=10；

【师】 提问学生怎样从侧面验证所求特征值是否正确？

【生】 通过矩阵的迹的性质：即特征值之和等于矩阵对角线元素之和。

3）求出3个特征向量；

4）Schmidt正交化、单位化得Q=(γ1,γ2,γ3)为正交矩阵；

5）正交变换X=QY将二次型化为标准形g(y1,

【师】 提问学生对二次型赋值为1，前后两个曲面分别表示什么图形？

【生】 学生容易判读变换后为椭球面，变换前未必看出。

【师】 利用PPT展示不同坐标系中的椭球面，给学生造成视觉上的冲击，并要求感兴趣的学生课下用MATLAB尝试进行二次型的标准形和二次曲（线）面方程化简的实验。

（5） 步骤五（课堂练习）

【师】 PPT展示课堂练习题目，只要求学生计算出特征值即可。

【生】 草稿纸进行验算。

通过以上步骤就完成了正交变换化二次型为标准形的教学过程，在此过程中多媒体辅助教学的作用凸显得非常清楚。

4 多媒体教学的几点思考

4.1 多媒体教学与传统教学相辅相成

教学中发现有的教师整堂课都在播放多媒体课件，效果肯定不理想，对于一些重要的定理、命题的推导，比如向量组线性相关性的证明，最好还是在黑板上进行，这样不仅有助于引导学生思考，而且还有助于学生及时消化知识。对于常规的概念、普通的验证等完全可以用多媒体来展示。

4.2 加强师生互动

学生在多媒体课堂上眼睛更多的时候会盯着屏幕，此时教师不能被讲台和显示器束缚，可以采用激光笔来控制多媒体课件，要在教室中来回走动，积极采用互动式、启发式教学，发挥教师肢体语言的作用，引起学生共鸣，教师通过大量的设问、反问加强与学生之间的互动和交流，学生可以自由地发表自己的意见和想法，切实提高课堂教学质量。传统的线性代数课时少、内容多、板书多，课堂互动环节较少，而多媒体辅助教学为互动式教学创造了条件，教学中坚持“课前提问、课上提问、课后提问”可以提高学生课堂学习的参与度。

4.3 学习资源网络化

对于课程的教学资源实行网络化，充分利用超星学习通、雨课堂等平台，及时将相关授课资源（课件、教案、视频、测试题、拓展材料等）上传，便于学生自由学习。目前滁州学院多数课程都建有网络资源（毕博平台、泛雅平台及AHMOOC），学生可以在线进行课前预习、模拟测试、查阅资料、课后复习，增强了自主学习的积极性，学习效果将得到大幅度提高。教师通过网络教学平台进行教学管理，极大提高了工作效率。 因此，完备的网络资源库不论是从空间还是时间上来说都是对课堂教学的一种有益的补充。

4.4 掌握好课堂教学节奏，注意及时归纳总结

精心设计好教学环节是极其重要的一环，哪些内容先呈现、哪些后呈现、怎样呈现，都要事先设计好，不仅要重难点突出，还要讲解到位、画面同步、课堂流畅、掌握好课堂节奏。板书教学模式下，在课堂上做练习基本不可能，但在多媒体辅助教学的情况下，可以在制作课件时精心设计课堂练习，因此“现学现用、现炒现卖”的课堂练习变为可能，学生的学习效果显著提高。在授课过程中，教师及时对所学知识进行归纳、比较和总结是必要的，比如在矩阵问题中有三个非常重要的概念：矩阵等价、矩阵相似和矩阵合同。学生对这三个概念比较容易产生混淆，为此在比较定义的基础上，直观地画出关系图帮助学生更好地理解他们的内在关系（图1）。

图 1 矩阵等价、相似、合同关系图

5 结束语

教学是一门学问也是一门艺术，“教无定法，贵在得法”，多媒体教学和传统模式有着自己的优势和劣势。在实际教学过程中，根据具体内容的需要，可以单纯只用板书授课，也可以借助多媒体辅助教学，甚至实施微课、翻转课堂等教学模式，只有不断进行深入探索和尝试，才能达到预期的教学效果。