浅析教学中的关联速度问题

2021-02-07 12:33范财政
物理通报 2021年2期
关键词:船速拉绳例题

范财政

(大岭山中学高中部 广东 东莞 523820)

1 提出问题

在速度的合成与分解问题中,常遇到以下这个经典例题.

【例题】如图1所示,某人站在岸上通过绕定滑轮的绳子向岸边拉船.他拉绳子速率不变,当拉船的绳子与水平面成α角时,船前进速度u多大?

图1 例题题图

学生们通常以图2的方式分解[1],认为u=v1=v0cosα这种分解方式显然错误,因为船在运动过程中明显没有竖直向上的分运动.

图2 学生解题常用分解方式

在教学过程中,有许多教师认为这是一个速度分解的问题,常用图3的方式进行分解计算,船速是合速度,分解为沿绳的分速度v1和垂直于绳的另一个分速v2.因此,绳子的速度是v0根据三角形几何关系得到船速

图3 教师解题常用分解方式

这样讲解这道例题,存在什么问题?学生经常会产生疑问,为什么船速是合速度,而绳速却是分速度?而且为什么两个分速度v1和v2必须垂直?

针对学生的问题,教师的解释如下:合运动与分运动的定义是物体实际的运动是那两种运动的合运动,那两种运动就是这个实际运动的分运动.

在上述例题中,船沿水平方向的实际运动明显就是合运动,所以沿绳和垂直于绳方向的两个运动就是分运动.

v1和v2如果不垂直,如图4所示,v2在绳子方向上投影不为零,所以还应该把v2分解.v0=v1-v2sinα,结果还是分解为图3的情况.只有v1和v2垂直,v2在绳子的方向上投影才为零,也就是v2不能再分.

图4 v1和v2不垂直的分解方式

那么这样解释是否正确?

2 分析问题

采用速度分解的方法来解决上述例题,有许多教师认为这是错误,陈钢等论述了这个观点.他们认为[2],上述例题中船速与绳速的关系根本就不属于运动分解的问题,既非绳速的分量为船速,亦非船速的分量为绳速.船头沿水平面运动,行船的速度与拉绳的速度并不构成速度分解与合成的关系,因为显然绳速与船速是因果关系,拉绳为“因”而行船为“果”,这不符合运动分解的逻辑关系.

而笔者认为运动的分解定义中,分运动具有相对独立性,分运动间互不相干,任何一个分运动可以独立存在.而上述例题中,v1,v2两个分运动并不能独立存在,如果没有绳速,v2就不存在,更没有船速.

因此,使用速度分解的方法解决关联速度问题存在争议,笔者建议使用别的更合理的方法,避免争议也方便学生理解.

3 关联速度问题的解法

3.1 关联速度问题的常规解法

在解决上述例题前,先弄明白上述的船速和绳速应当属于哪一种关系?图5中船是因为绳拉而动的,拉绳是“因”,而船行是“果”,速度有关联,它们符合关联速度的特征,是典型的“关联速度”问题.

图5 船速与绳速关联示意图

在机械运动中普遍地存在着速度的关联关系,关联速度的基本特征是,一个独立的运动导致另一个相关联的运动,这两个运动被几何关系约束,因此往往可以写出确定它们之间几何关系的“约束方程”,根据图5对拉船问题可以写出约束方程

x2+H2=L2

(1)

两边对t求导后,得

(0≤α<90°)

对于其他的典型关联速度问题,例如马拉车,滑轮拉重物等[2],都可以使用约束方程来解决.

上述的关联速度问题的解决方法看似完美,但是高中的学生并没有学过导数,如果对中学生讲解上述方法,那么教师和学生必然是事倍功半.

3.2 关联速度问题的中学解法

在中学虽没有学过导数,但是学过微元法,因此,教师可以通过微元法来讲解关联速度问题.如图5所示,设经过极短的Δt时间,绳子收缩长度ΔL,船的位移是Δx.经过Δt后约束方程依然成立

(x-Δx)2+H2=(L-ΔL)2

(2)

将式(1)代入式(2)化简得

(3)

将式(3)两边除以Δt得

因为Δt极短,相对2L,ΔL可忽略;相对2x,Δx也可以忽略

所以可得

(4)

由此可见,用微元法得出的结果与导数方法相同,而且又能使中学生理解.

为便于学生理解,还可以从能量的角度讲解关联速度问题.

为什么许多学生常以图2的方式分解绳速?因为受力的分解的定势思维的影响,认为速度也能这样分解.

根据力的分解思维,学生很容易将绳拉船的力分解为水平方向和竖直方向的两个分力.速度与力的乘积又是功率,因此我们可以得到启发,找到适合中学生的解题方法.

如图1所示,人拉绳做功大小与绳拉船做功大小是否相等?在忽略滑轮阻力的情况下,答案是肯定的.再因为人对绳做功的时间与绳对船做功时间相同,所以功率相同[3].

根据以上分析,假设人拉绳的力是F,则人拉绳的功率P1=Fv0.

对于类似的马拉车、滑轮拉重物的问题,也可以使用功率相等的方法解决问题.

4 总结

在教学过程中常遇见的关联速度问题,有许多教师都是以运动分解的方法来教学生.笔者认为运动分解的概念还是不能与关联速度混淆.针对关联速度的问题,常规的解法就是运用“约束方程”,但是这个方法运用了导数的知识,所以教师可以理解,而中学生却不能.总之,为便于中学生理解,建议教师在讲解关联速度的问题时,可以用微元法或从能量的角度来讲解.

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