等积变形，在变与不变中渗透数学思想

黄艳红

【摘要】几何知识在小学阶段一向是学生学习的重难点，在探索平面图形的面积时，一般都会利用等积变形和割补转化的数学思想。那么，如何在数学教学过程中更好地渗透转化的数学思想，做到化难为易，让学生乐于接受、学会迁移呢？这需要教师不断的思考、实践。笔者针对《平行四边形的面积》这一课，研读教材、精心设计、教学实践、渗透思想，成就高效课堂。

【关键词】数学思想;等积变形;割补;转化

探究平行四边形的面积公式是本课的重点环节，也是学生学习的难点。在探索面积时要教给学生把新图形转化为“与之面积相等且已经学习的旧图形”的方法，把等积变形和割补转化的数学思想渗透其中，推导出平行四边形的面积计算公式。让每个学生经历知识的“再创造” 过程，获得学习数学的方法，获得探索数学知识的体验，获得多种能力的提高。

一、研读教材，理解分析

第一，教材研读之理解。一是知识联系，承上启下。从下图1“衔接说明”可以看出，平行四边形的面积在整个教材体系中起着承上启下的作用，探究平行四边形的面积公式是本课的重点环节，也是学生学习的难点;二是学情分析，设计教学。五年级学生正处在形象思维和逻辑思维过渡时期，对于理解平面图形面积计算的公式推导和描述推导的过程还是有难度的。设计教学时，意在利用七巧板的变化感知“等积变形”的数学思想，从而大胆猜想、产生悬念，再通过小组合作、动手操作等活动进行验证，引导学生用自主探究、合作交流、归纳运用等学习方式，推导出平行四边形面积计算公式。

第二，数学思想之分析。一是等积变形，变难为易。等积变形可以理解为：面积、体积不变（相等），而形状发生改变。也可以理解为：不论形状发生怎样的改变，它的面积、体积总不变。例如，课堂始终根据七巧板能够变形的特点，紧紧围绕变与不变，渗透图形间是可以互相转化的，转化时形状变了、面积不变;二是化归思想，转新为旧。教学中，化归前平行四边形和化归后长方形各个部分之间建立关系，是学生探索平行四边形面积计算公式中的难点。例如，在教学实践中利用“割补法”将平行四边形剪拼成长方形并推导出公式的过程，就是利用转化的数学思想方法。

二、教学实践，感悟渗透

数学思想的培养是提高数学素养的重要标志，也是数学教学的重要目标。数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括。

1.七巧之变，变中感悟

在课的伊始，设计七巧之变，利用七巧板的巧妙拼组，由学生非常熟悉的七巧板引入，在充满趣味的图形变化中让学生初步感受“形状改变而面积不变”的数学思想，明确探索活动的思想与方法，发展学生的数学能力。同时，利用七巧板拼成的数字進行上课的倒计时，激起学生的学习兴趣，从而在七巧板的巧妙拼组变化中感悟“等积变形”的数学思想。

2.教材之改，改中积累

猜想验证是小学课堂中不可少的重要数学教学方法。教学时以已学知识为基础，鼓励学生大胆猜想，得出三种思路：（1）平行四边形的面积=底×邻边（a×b）;（2）平行四边形的面积=底×高（a×h）;（3）平行四边形的面积=邻边×高（b×h）。如下图2。但在教学时采用了先扶后放的方法，结合猜想，创造性地重编表格，增加了“邻边”（这里给出的平行四边形的邻边可以直接用尺子测量的，而且每个小方格的边长正好是1cm），为验证学生的猜想作准备。通过表格的改编，学生在完成表格（图3）时，通过观察、分析，会从中发现（图4）：平行四边形的面积与长方形的面积相等;平行四边形的底等于长方形的长;平行四边形的高等于长方形的宽;平行四边形的面积等于底乘高，不等于底乘邻边，也不等于高乘邻边。这样的活动充分考虑学生已有的生活经验和基础，灵活重编教材，恰当把握要求，更好地积累经验，使教学行之有效。

3.合作之探，探中渗透

教学时充分利用小组合作学习，先让学生独立学一学书本P88，再在小组内合作剪一剪后，交流自己的发现，然后上台展示剪拼的成果。重编教材后，让学生通过数方格的方法，知道了平行四边形的面积，也知道了平行四边形的面积可能等于（底×高），而不等于（底×邻边）。这样的环节设计，使学生全员参与教学全过程，收到良好的学习效果，并在探索中渗透了数学思想。

4.灵活之用，用中领悟

第一，以算明理，感悟等积。学生在经历推导平行四边形面积公式的过程后，运用所学解决停车位的实际问题，通过算一算、比一比，选出合适的停车位。这样的练习设计是先让学生运用所学的公式计算平行四边形停车位的面积，让学生明白求平行四边形的面积要找准对应的底和高，以此来感悟“等积变形”。 第二，画辨析，触摸等积。这样的练习设计，意在让学生：通过“画一画”——画出自己心中的平行四边形草坪;“辨一辨”——为什么大家画的平行四边形形状不一样面积却都相等呢？让学生在辨析中摸清“等底等高的平行四边形面积一定相等”这一概念，再引出“面积相等的平行四边形一定等底等高吗？”这一问题。第三，以铺促思，运用等积。实践运用能促进学生对知识的理解，帮助学生进行数学思考和解决数学问题。让学生利用学具进行剪一剪、铺一铺活动，在运用、交流、分析的过程中，充分感悟 “等积变形”数学思想，并运用“等积变形”解决实际问题。

三、课后反思，提升内化

在教学时，教师既要关注学习结果，也要关注学生的学习过程，让学生主动运用已有的知识和经验进行自我探索，自我建构，把所学知识内化为自己所有。如果学生能自觉运用“等积变形”这一方法解决一些实际问题，那么，对这种数学关系的认识已经成为学生的一种思维模式，从而“等积变形”的数学方法已经形成，提升内化为自己所需了。

以等积变形和割补转化的数学思想为主线，在探索面积时教给学生把新图形转化为“与之面积相等且已经学习的旧图形”的方法。研读教材、精心设计、教学实践……创设了一个有利于学生生动活泼、主动发展的教育氛围，感悟“等积变形”，在变与不变中适时渗透数学思想，创造更多精彩，成就高效课堂。

参考文献：

[1]教育部基础教育司组织编写.全日制义务教育数学课程标准解读[M].北京师范大学出版社，2002.

[2]朱蕾.平行四边形的认识与面积教学研究[M].北京教育科学出版社，2014.