基于SOC⁃OCV优化曲线与EKF的锂离子电池荷电状态全局估计*

来 鑫，李云飞，郑岳久，王晶晶，孙 涛，周 龙

（上海理工大学机械工程学院，上海 200093）

前言

锂离子电池由于其能量密度高、寿命长、环境友好等优点，作为动力源在新能源汽车中得到广泛应用［1-2］。为保证锂电池安全可靠工作，设计了电池管理系统对锂电池进行实时监控与管理，而电池状态估计是电池管理系统的基础和核心。由于锂电池的动态非线性特性，近年来对锂电池的荷电状态（state of charge，SOC）、功率状态（state of power，SOP）、健康状态（state of health，SOH）等状态的准确估计已成为学术热点和工程难点。国内外关于锂电池状态估计的研究成果非常丰富，这些研究大多是以锂电池模型为基础的。锂电池模型包括电化学模型、等效电路模型、神经网络模型等，其中等效电路模型由于结构简单、精度较高等优点被广泛采用。文献［3］从精度、复杂度、稳定性和鲁棒性等多个维度比较了11种等效电路模型，结果表明2阶RC模型是较理想的选择。SOP 估计的主要方法包括基于Map 图和基于电池模型的动态估计方法，而基于电池模型的SOP估计大多基于1阶与2阶RC模型［4-7］。

无论是SOC 还是SOP估计，都须以电池的SOCOCV曲线作为标准来对模型参数进行辨识和端电压估计。例如，目前广泛采用的基于扩展卡尔曼滤波算法（extended Kalman filter，EKF）［8］的SOC 估计算法中，需要SOC-OCV 曲线作为标定参数，端电压作为反馈信号，对SOC估计值进行闭环修正；在SOP估计中，端电压的准确性直接影响SOP 估计的精度。因此，准确的SOC-OCV 曲线对提高状态估计的精度至关重要。目前，确定SOC-OCV 曲线的方法有很多。常用的方法是基于混合脉冲功率（hybrid pulse power characterization，HPPC）测试，该方法的基本流程是将电池放电到测试点后，将电池充分静置，用上位机测得此测试点处的OCV，并以此循环下去。该方法在测试点得到的OCV 很准确，但是耗时严重，一个21 个测试点的HPPC 测试大约需要89 h。为了节省时间，一般先在离散测试点（如每隔10%SOC）做HPPC 测试，而其他SOC 对应的OCV 采用分段线性插值法获得。但是，插值得到的OCV 并不符合电池的特性（特别在低SOC 区域OCV 曲线的非线性严重）。而小电流恒流放电法测量OCV 曲线是连续测量，但由于电池没有被静置造成准确性不足。不准确的SOC-OCV 曲线会导致辨识得出的等效电路模型的模型参数不准确，从而影响电池端电压估计和电池状态估计的准确性。

针对HPPC 测试获得SOC-OCV 曲线在非测试点特别是低SOC区域由于非线性严重带来的精度不足问题，本文中提出了一种SOC-OCV 曲线优化方法。该方法融合HPPC 方法得出的OCV 曲线在测试点的精确性与小电流恒流放电法得出的OCV 曲线在趋势上的准确性，利用粒子群优化算法（particle swarm optimization，PSO）对SOC-OCV 曲线进行优化。并据此对等效电路模型参数进行辨识和端电压全SOC 区域估计。以优化的SOC-OCV 曲线作为基础，在NEDC 动态工况下利用EKF 算法对锂电池的SOC 进行全局估计。试验表明，整个SOC 区域内的SOC 估计误差都在2%以内，验证了所提出的SOCOCV曲线优化方法的有效性。

1 锂离子电池模型与动态工况试验

1.1 锂电池建模

锂离子电池模型是其状态估计的基础。模型的选取要考虑模型的精度和复杂度等因素的影响。由于电化学模型涉及内部反应机理，模型复杂，而神经网络的应用需要大量试验数据进行训练，目前都不适合锂离子电池状态的在线估计。等效电路模型具有模型简单、物理意义清晰、模型精度较高等优点［9］，而2 阶RC 模型是常用的等效电路模型，因此，本文中采用2 阶RC 模型来描述电池的动态特性。2阶RC等效电路模型如图1所示。

图1 2阶RC模型示意图

图1 中，UOCV为理想电压源；R0为欧姆内阻；R1和R2为极化内阻；C1和C2为极化电容；I为流经欧姆内阻的电流；U1和U2为极化内阻的端电压；端电压为Ut，时间常数τ1= R1C1，τ2= R2C2。根据电路原理，2阶RC模型的数学方程如下：

1.2 锂离子电池动态工况试验

本文中以某公司标称容量为72.8 A·h 的三元软包电池作为试验对象，该电池参数如表1 所示。电池试验平台由上位机、电池测试系统、恒温箱等组成，如图2 所示。上位机监测软件可实时记录电池电流电压等信息。本文中的试验均在25 ℃环境下进行。

表1 试验电池的基本参数

图2 电池试验平台

首先对电池进行标准容量测试，取3 次循环后的平均容量作为该电池的标准容量。然后对电池进行HPPC 测试［10］。首先将电池置于25 ℃环境下恒流恒压充满，搁置3 h，然后以1C 倍率进行恒流放电，放电时间为30 s，搁置40 s；接着以1C 倍率进行恒流充电，充电时间为30 s，搁置30 min，最后以1/3C 恒流放电18 min，搁置3 h。以此为一个循环。本文中通过11 个脉冲循环的HPPC 测试获得每隔10%SOC的OCV 值，再将各OCV 值进行分段线性插值，得到SOC-OCV 曲线，如图3（a）所示。最后，进行放电倍率为1/30C 的恒流放电试验。当放电倍率较小时，内阻对曲线的影响较小，由此可得到全SOC 区域上的SOC-OCV曲线，如图3（b）所示。

图3 不同方法得到的SOC-OCV曲线

为了对等效电路模型的参数进行辨识，并验证所提出OCV 曲线优化方法的有效性，开展了25 ℃环境温度下的新标欧洲循环测试（new European driving cycle，NEDC）动态工况试验。试验过程如下：首先在25 ℃环境温度下将电池以恒流恒压方式充满，然后对电池进行NEDC 动态工况试验。NEDC动态工况下试验得到的电压变化如图4所示。

图4 NEDC动态工况下电池电压变化

2 SOC-OCV曲线优化原理与结果

2.1 SOC-OCV曲线优化原理

HPPC 测试所得到的SOC-OCV 曲线在测试点具有很高的精度，但得出的OCV 是离散的，测试点的多少直接影响SOC-OCV 曲线的全局精度。而且，HPPC测试需要较长时间，因此一般采用的方法是通过等SOC 间隔测试获得OCV，其他SOC 点处的OCV通过线性插值得到。但是，这种线性插值得到的OCV 并不能反映电池的特性，特别是在低SOC 区域OCV 变化率很大。而小电流恒流方法得出的OCV曲线是连续变化的，但是由于电池持续放电而没有得到充分静置，所以存在精确性不足的问题。本文中融合以上两种方法的优点，提出一种基于PSO 算法的SOC-OCV曲线优化方法。

所提出的SOC-OCV 曲线优化算法的原理如图5 所示，该算法的基本过程是：首先，在全SOC 区域内对电池进行HPPC 测试（每隔10%取一个测试点）和小电流（1/30C）恒流放电测试，这样就分别得到了两条SOC-OCV 曲线。然后，将小电流恒流放电测试得到的SOC-OCV 曲线进行平移和优化，优化的目标是使平移后的SOC-OCV 曲线与HPPC 测试的SOCOCV曲线在所有测试点的误差之和最小。优化时分别以小电流恒流放电得到的SOC 和OCV 为自变量，使其沿x轴和y轴方向平移得到优化的SOC和OCV。优化后的SOC与OCV的表达式分别为

式中：s 和u 分别为优化后的SOC 和OCV；s1和u1分别为小电流恒流放电得到的SOC 和OCV；w1和w2为加权系数；C为常量。

式（4）和式（5）中，w1⋅C 和w2⋅C 为平移量，常量C 的取值理论上并无限制，只会影响w1和w2的大小，本文中C 取-2.37。因此，优化SOC-OCV 曲线的关键是求取最优的加权系数w1和w2，这实际上是一个最优化问题，优化的目标函数为

式中：G 为所求的优化SOC-OCV 曲线在11 个HPPC测试点的OCV 和SOC 误差之和；D1(i)与D2(i)的表达式分别如式（7）和式（8）所示。

式中：s(i)和sHPPC(i)分别为第i 个测试点处优化后和HPPC 测试的SOC；u(i)和uHPPC(i)分别为第i 个测试点处优化后和HPPC测试得出的OCV。

图5 SOC-OCV曲线优化示意图

2.2 PSO算法

本文中采用PSO 算法对于如式（6）所示的优化问题进行求解。在PSO 算法中，由粒子表示的潜在解通过跟踪最优粒子飞过问题空间，在D 维搜索空间中，由n 个粒子组成群，其中第i 个粒子位置

表示为D 维向量Xid=(xi1，xi2，...，xiD)T，其速度表示为Vid=(vi1，vi2，...，viD)T，单 个 极 值 表 示 为 Pid=(pi1，pi2，...，piD)T，群极值表示为Pgd=(pg1，pg2，...，pgD)T，迭代过程中的粒子速度与位置更新之间存在如下关系［11］：

式中：ω 为惯性权重；d=1，2，…，D；i=1，2，…，n；k 为当前迭代次数；c1、c2为加速度系数；r1、r2为服从（0，1）内均匀分布的随机数。

PSO 算法的计算流程如表2 所示。PSO 与常用的遗传算法（genetic algorithm，GA）一样，都是随机搜索算法，但是PSO 是一种更加高效的并行搜索算法，并且它能变速度搜索，避免了复杂的遗传操作，所以PSO比GA具有更高的求解效率，在工程中得到了广泛应用。

表2 PSO算法的计算流程

2.3 SOC-OCV曲线优化结果

利用PSO 算法对1.2 节中HPPC 测试得出的SOC-OCV 曲线进行优化。优化得出的w1和w2分别为0.001 1 和-0.003 6。优化得出的SOC-OCV 曲线如图6所示。可以看出，由HPPC 测试点线性插值得出的OCV 曲线比较简单，但在非测试点的线性插值并不满足电池的非线性特性，特别是在低SOC 区域内误差较大。另外，对HPPC 测试点进行样条插值或拟合得到OCV曲线也是常用的方法。

图6 3种方法得出的OCV曲线对比

采用三次样条插值得到的OCV 曲线如图6中的虚线所示，可以看出该方法得出的OCV 曲线也同样不满足电池的非线性特征。经过优化后的OCV 曲线不仅具有在HPPC 测试点的准确性，而且在非测试点符合电池的非线性特性（特别是在低SOC 区域）。为避免繁琐，仅对线性插值方法得到的OCV曲线与优化方法获得的OCV曲线进行对比。

3 等效电路模型端电压估计

为了验证所提出的OCV 曲线优化方法的有效性，本文中对动态工况下等效电路模型的端电压进行估计。在端电压估计之前，须在动态工况下对等效电路模型的模型参数进行辨识与优化。由1.1 节的2阶RC模型可知，须辨识的参数有6个，分别为充放电欧姆内阻R0_cha与R0_dch、极化内阻R1与R2和时间常数τ1与τ2。本文中采用PSO 算法对这6 个参数进行全SOC区域辨识与优化。优化的目标是模型端电压和试验端电压的均方根误差（root mean square error，RMSE）最小，即

模型参数辨识结果如表3 所示。可以看出在整个SOC区域内，除了SOC＜10%的区域，RMSE均小于5 mV，说明辨识得出的模型参数具有很高的精度。

为了验证优化的OCV 曲线和辨识得出模型的有效性，在NEDC 动态工况下对全SOC 区域的2 阶RC 模型端电压进行估计，并对基于优化OCV 与基于HPPC 测试估计出的模型端电压进行比较，结果如图7 所示。图8 为两种方法得出的OCV 曲线下模型端电压估计的RMSE。从图7 与图8 可知，与HPPC 测试法相比，基于优化OCV 曲线得出的模型端电压在高SOC 区域（SOC>80%）和低SOC 区域（SOC＜20%）具有更高的精度（特别在低SOC 区域），在其他SOC 区域两种方法得出的模型精度相当。

表3 参数辨识结果

图7 NEDC动态工况下模型端电压对比

4 基于优化SOC-OCV 曲线的SOC估计

4.1 扩展卡尔曼滤波器

常用于SOC 估计的算法包括龙贝格观测器［12］、滑膜观测器［13］、卡尔曼滤波系列算法［14］、粒子滤波算法［15］等。其中EKF 算法除具有卡尔曼滤波算法精度高、鲁棒性好等优点外，还具有适用非线性系统的优点，近年来在SOC 估计中得到广泛应用。基于EKF 的SOC 估计原理示意图见图9，先对SOC 利用安时积分法进行预估，再将预估值作为2 阶RC 模型的输入，计算出模型误差，最后对SOC预估值进行反馈修正。

图8 NEDC动态工况下端电压的RMSE

图9 基于EKF的SOC估计原理示意图

对于一个动态非线性系统，一般可以用以下状态空间模型进行描述：

对如图1 所示的2 阶RC 等效电路模型，结合安时积分法，以SOC、U1、U2作为状态变量，充放电电流I 作为输入量，端电压Ut作为输出量，得到离散化的状态空间方程：

式中：Δt 为采样周期；C0为电池容量；UOCV为开路电压；wk和vk分别为电流、电压的测量噪声。

在此模型的基础上，采用EKF 算法估计电池的SOC，EKF 算法的初始化和迭代估计方程如表4所示。

表4 EKF算法的迭代方程［8］

4.2 NEDC动态工况下SOC全局估计试验结果

根据上述辨识的2 阶RC 模型参数和优化的OCV 曲线，利用EKF 算法对全SOC 区域的SOC 进行估计，并比较本文中所述的3 种OCV 曲线下的SOC估计结果，如图10 所示。可以看出在NEDC 动态工况下：（1）基于小电流恒流放电的SOC 估计精度在除低SOC 区域外均差于另外两种方法；（2）基于优化的OCV 曲线的SOC 误差在整个SOC 区间内都小于2%，特别是在低SOC 区域取得满意的估计精度；（3）基于HPPC 方法的OCV 曲线的SOC 估计误差在全SOC 区域内的某些区域（20%＜SOC＜60%）稍小于基于优化OCV 的SOC 估计误差，但是两者误差在0.5%以内，并且在其它区域内基于优化OCV的SOC估计精度优势明显（尤其在低SOC 区域）。因此，通过试验可以得出以下结论：经过优化的OCV 曲线能更好地描述电池的非线性特征，并能有效解决HPPC测试得出的OCV 曲线在高SOC 区域和低SOC 区域精度不足的问题。另外，利用EKF 算法对全SOC 区域的SOC 进行估计，结果表明：基于优化OCV 曲线的SOC估计具有优异的全局精度。

图10 NEDC动态工况下SOC估计

5 结论

本文中结合HPPC 测试法和小电流恒流放电法的优点，提出了一种基于PSO 算法的OCV 曲线优化算法，并据此对2 阶RC 模型的模型参数进行了辨识，在此基础上利用EKF 算法对SOC 进行了全区域估计，得出的结论如下。

（1）优化后的OCV 曲线既具有HPPC 测试法在测试点的精度，在非测试点也能保持良好的非线性，而且能在整个SOC 区域上反映电池的非线性特性，具有较高的全局精度。

（2）模型参数辨识结果表明，与HPPC 测试法和小电流恒流放电法相比，基于优化OCV 曲线估计得出的模型端电压在高SOC区域和低SOC区域具有明显的精度优势。在低SOC 区域，基于优化OCV 曲线得到的模型误差仅为基于HPPC 法得到的模型误差的一半。

（3）NEDC 动态工况下的全区域SOC 估计结果表明，采用本文中所提出的优化OCV 曲线能提高低SOC 区域和高SOC 区域的SOC 估计精度，在全SOC区域SOC估计误差能保持在2%以内。