函数与方程思想在高中数学解题中的应用

吴 强

(江苏省宝应县氾水高级中学 225819)

函数与方程的数学思想通常包含了两方面，即函数思想和方程思想，所谓函数思想，其主要指通过函数的性质与概念进行数学问题的分析、转换与解决，而对于方程思想而言，则是依据数学问题当中存有的数量关系，应用学习与掌握的相关数学语言，将数学问题中已知的条件转变为可有效解决问题的数学模型.在教师教与学生学的过程当中，通常会遇到很多函数问题，教师需引导学生通过函数与方程的思想解决与理解相关数学问题，这不仅能促使学生实现灵活的运用相关解题思想，而且还能实现高效解题，从而使学生的解题正确率与效率得到有效提高.

一、高中数学的函数与方程思想概述

函数作为高中数学中的主线，其主要是通过运动、联系、变化的观点，对客观世界当中的关联量存在的关系实施研究与描述，并构成变量数学的重要分支与基础.函数思想主要是将相关函数知识作为基石，通过运动变化的数学观点，对数学对象之间存有的数量关系进行研究，以促使函数知识的具体应用得到广泛扩展，并实现解题活动丰富与优化的同时，为学生解决数学题提供强有力的创新能力，这就使函数与方程的解题思想逐渐成了高考中的考查热点.而方程思想则指通过数学问题当中的变量存在的直接关系分析，构建起相应的方程或者方程组，或通过构造方程，解方程或方程组，应用方程性质实现数学问题的分析、转化与解决.方程思想通常要求对于相关方程概念具有深刻认知，在解决数学题的时候，可通过方程或者方程组对相关数学问题实施分析与处理.

对于函数与方程而言，其虽然是不同的两个数学概念，但二者却存有密切的联系，就高中数学的角度而言，函数与方程的思想通常在这两方面对于解题有着重要作用.首先，与初等函数有关的性质相联系，解决与求值、求解方程、解不等式与参数的取值范围等相关的问题；其次，可通过函数关系式与辅助函数的构造，将需求解出的数学问题转变为探讨函数有关性质的数学问题，最终实现数学题解答难度的降低.

二、函数与方程思想在高中数学解题中的应用策略

1.函数与方程思想在方程问题解答中的应用

高中数学需要学习的函数通常有许多类型，如对数函数、二次函数、三角函数等.面对常规的方程问题，可经过分离变量转变成对应函数，以函数图像开展分析，面对较为复杂的方程问题，可通过换元法进行新函数的构建，通过新函数的研究找出数学问题的答案.在方程问题的教学中，不仅需注重理论知识的讲解，还需它能够结合具体例题，为学生更好的解题做好示范，以促使学生充分掌握与运用函数与方程彼此的转换思路.另外，数学教师还需引导学生在理论知识学习当中强化习题训练，并对经典习题进行认真剖析，从而实现举一反三的教学目的.

例如，已知函数f(x)=2cos2x+cosx-1，g(x)=cos2x+a(cosx+1)-cosx-3，设两个函数图像在(0,π)内至少存有一个公共点，求a的最小值.

读懂题目且实施巧妙转化通常是运用函数与方程思想进行解题的关键，两函数图像在给出的区间中至少存有一个公共点，也就是若两函数相等的时候，就能将其转变成方程问题.

已知f(x)=g(x)在(0,π)内存有解，也就是2cos2x+cosx-1=cos2x+a(cosx+1)-cosx-3，将其化简为：a(1+cosx)=(cosx+1)2+1.因为x∈(0,π)，也就是0<1+cosx<2，那么，a=1+cosx+1/(1+cosx)≥2，当且仅当1+cosx=1/(1+cosx)时，即cosx=0时，a取最小值2.

2.函数与方程思想在求解参数范围中的应用

求解参数的范围属于高中数学具体教学当中的典型题型，在对该类习题进行解答时，通常有两种思路：第一，认真审题，对已知条件当中存有的不等式关系进行深入挖掘，应用不等式的相关知识对参数范围进行求解；第二，通过题干当中存有的等量关系进行对应函数的构建，并在定义域中求解出函数的具体取值范围.数学教师在对参数范围求解的教学中，不仅需注重有关的例题选择与讲解，而且还需促使学生深刻理解与掌握函数与方程思想的运用步骤，并明确相关注意事项，引导与鼓励学生积极归纳总结出函数与方程思想在具体解题中的运用技巧，从而实现高效解题.

已知a、b是正数，满足ab=a+b+3，求ab的取值范围.

本题的题干较为简单，已知的条件十分明了，其解题的方法也比较多，但关键是找出最为简便的解法.根据题干的已知条件可知，其涉及两个参数的和与两个参数的积，据此可以联想出一元二次方程的两根之间的关系，通过函数知识加以解答.假设ab=t，依据ab=a+b+3可知a+b=t-3，因此，可进行方程构造：x2-(t-3)x+t=0，明显可知a，b是其两个正根，由此可得出下述关系：Δ=(t-3)2-4t≥0，t-3>0，t>0，解得：t≥9.即ab的取值范围是[9,+∞).

3.函数与方程思想在不等式问题解答中的应用

高中数学的不等式问题通常与恒成立问题有着密切联系，不等式求解的时候，不仅需注重不等式的基本知识，还需注重通过函数与方程思想的运用实施解答.经过移项构造新函数、分离参数等各种方式，通过函数知识求取函数的最值属于较为常见的一种解题思路.不等式所反映出的不等量关系，通常需以等量关系进行解决，即方程.函数和不等式之间的互相转换，就函数y=f(x)而言，在y>0的时候，就能转变成不等式f(x)>0，通过函数的性质与图像相辅助，就能实现不等式相关问题的解决，且函数性质的研究也和不等式有着直接关系.

例如，设不等式2x-1>m(x2-1)对满足|m|≤2的所有实数m都成立，求x的取值范围.

学生在对本题解决时，依据其思维定势，通常会将此题当做是与x有关的不等式探讨，但是，如果换个角度，将m当做变量，就是与m有关的一次不等式，即(x2-1)m-(2x-1)<0在m∈[-2,2]上恒成立，由此可转变成，设f(m)=(x2-1)m-(2x-1)，那么问题就能转变成函数f(m)的值在m∈[-2,2]上为负值，则参数x需满足条件f(-2)<0,f(2)<0.

综上所述，函数与方程思想作为高中数学解题中的一种重要思想，其在数学解题中有着较高的应用率.因此，在数学解题的教学中，教师需注重引导学生深刻掌握该思想，将其灵活运用于具体解题中，并在函数与方程思想的运用中，注重各种类型数学题的汇总，通过经典例题的分析，准确理解与掌握函数与方程思想位于不同题型当中的运用技巧与方法，从而使学生的解题效率与准确率得到有效提高.