数学双变量函数问题的处理方法

◇ 山东 王永宗

函数是高中数学的重点、难点知识,涉及的问题类型较多,其中双变量函数问题在各类测试以及高考中出现频率较高．部分学生难以在短时间内找到解题思路,解题效率较低．授课中为使学生掌握双变量函数问题的处理方法,教师应做好相关题型的汇总,并在课堂上为学生讲解例题的解题思路,使其掌握该类问题的解题技巧,促进学生解题水平的提升．

1 引入参数

部分双变量函数问题需要引入新的参数,构建新的函数,借助导数知识对新的函数进行研究,包括单调性、最值等．要注意的是构建新函数时需要找准参数的取值范围．

例1已知若f(m)＝g(n)成立,则n－m的最小值为( )．

解析

很多学生解答该题时仅仅知道将m,n的值代入,但却不知道接下来该怎么处理．教学中应注重给予学生启发,引导学生引入参数k,构建关于k的函数,而后讨论新函数的单调性,找到其最小值．

2 等价转化

等价转化是解决双变量函数问题的重要方法之一．为使学生掌握等价转化的技巧,教学中既要注重为学生讲解恒成立问题与存在性问题之间的区别,又要列出常见的等价转化方法,使学生深入理解．

例2已知函数f(x)＝(x＋1)3e－x＋1,g(x)＝(x＋1)2＋a,若存在x1,x2∈R,使得f(x2)＞g(x1),则实数a的取值范围为________．

解析

读题可知,该问题为存在性问题,可将问题转化为fmax(x)≥gmin(x),此时只要求出两个函数的最大值与最小值即可．对函数f(x)进行求导得f′(x)＝3(x＋1)2e－x＋1－(x＋1)3e－x＋1＝(x＋1)2e－x＋1(－x＋2),由f′(x)＝0,解得x＝－1或x＝2．当x＜2时,f′(x)＞0,f(x)单调递增；当x＞2时,f′(x)＜0,f(x)单调递减,则．由二次函数知识可得gmin(x)＝g(－1)＝a．因此a的取值范围为

3 分离参数

求解参数范围的问题常采用分离参数法,在解决双变量函数问题时也可使用．

例3已知函数(a为常数)有两个极值点．

(1)求实数a的取值范围；

(2)设f(x)的两个极值点分别为x1,x2,若不等式f(x1)＋f(x2)＜λ(x1＋x2)恒成立,求λ的最小值．

解析

(1)通过求导转化为一元二次方程有两个正根问题,不难求出a的取值范围为(4,＋∞)．

综上,λ的最小值为l n4－3．