基于事件触发的海洋平台输出反馈H∞模糊减振控制方法

张天根,张宝琳,戴 丹,薛 燕

(1.中国计量大学 机电工程学院,浙江 杭州 310018;2.中国计量大学 理学院,浙江 杭州 310018)

作为海洋油气资源开发的基础设施,海洋平台长期工作于复杂、恶劣的海洋环境中,不可避免地受到大风、地震、波浪力等外部载荷的影响[1-2]。这些外部载荷会导致平台的持续振动,影响平台的使用寿命,降低平台工作的可靠性甚至威胁平台工作人员的安全。因此,为了降低结构振动对系统性能的影响,提高平台工作的可靠性,包括被动控制[3]、半主动控制[4]、主动控制[5]等在内的各种减振控制方法被广泛应用于海洋平台减振控制系统。跟被动控制相比,主动控制策略具有其独特的优越性,因此海洋平台主动控制得到了学者们的广泛关注,诸多主动控制策略被提出用以减小海洋平台的振动幅值。例如,文献[5]针对一类简化的钢结构海洋平台,给出了H2主动减振控制方法以抑制外部波浪力引起的海洋平台振动;文献[6]讨论了海洋平台的纯滞后反馈的H∞主动控制方法;文献[7]进一步研究了基于滞后状态反馈的海洋平台模糊控制方法;文献[8]研究了海洋平台的滞后输出反馈H∞控制方法。针对含有一类主动质量调谐阻尼器的钢结构海洋平台系统,文献[9]和[10]分别研究了海洋平台系统的时滞反馈积分滑模变结构控制方法和采样控制方法。仿真结果表明,上述方法能有效减小波浪力引起的海洋平台振动,提高系统的可靠性。

近年来,随着计算机网络和通信技术的发展,网络控制系统受到了越来越多的关注,相比传统的点对点控制系统,网络控制系统的组成部分,比如传感器、控制器、执行器、被控对象之间可以通过网络进行通信,从而使得系统的布局更加灵活,同时降低了系统的维护成本。因此,网络控制方法也被应用到了海洋平台的主动控制问题,文献[11-14]研究了网络环境下,海洋平台网络化系统建模和主动减振控制问题。我们不难发现,上述文献主要研究海洋平台在外部波浪力作用下或自激波浪力作用下的主动减振控制方法设计,而没有考虑其它的外部载荷如地震等作用或者地震和波浪力共同作用下的海洋平台主动减振问题。事实上,作为复杂的海洋环境中一种难以避免的极端外部载荷,地震在很短的周期内具有较大的能量,对平台会造成严重的威胁。同时,在地震作用于海洋平台的同时往往伴随着波浪力对平台的作用。因此,为了提高平台工作的可靠性,降低地震和波浪力对平台工作的潜在影响,寻找合适的网络化控制方法以减小地震对海洋平台的影响具有重要意义。

本文研究在地震和波浪力共同作用下的海洋平台网络化控制系统模糊建模和输出反馈H∞主动控制问题。首先,建立了海洋平台在地震和波浪力共同作用下的网络化Takagi-Sugeno(T-S)模糊动力学模型;然后,给出了海洋平台基于事件触发的输出反馈H∞模糊控制的设计方法,得到了海洋平台闭环系统渐近稳定的充分条件。最后,基于数值仿真,验证了本文方法的有效性。

1 问题描述

为研究钢结构海洋平台在地震与外部波浪力共同作用下的主动减振控制问题,本文考虑一类含有主动质量阻尼器的海洋平台简化模型,如图1。

图1 海洋平台简化模型Figure 1 An idealized offshore platform

根据牛顿第二定律,考虑海洋平台主振动模态的质量摄动以及地震和波浪力的共同作用,海洋平台系统动力学方程可描述为:

(1)

其中,z1(t)和z2(t)分别代表平台和AMD的位移,m1(t)和m2分别表示平台和AMD的时变质量和标称质量,ci,ki(i=1,2)分别代表平台和主动质量阻尼器的阻尼系数和刚度系数。f(t)是平台受到的外部波浪力,代表水平地震加速度,u(t)是所需的主动控制力。

令

x(t)=[x1(t)x2(t)x3(t)x4(t)]T,

其中

x1(t)=z1(t),x2(t)=z2(t),

于是,海洋平台系统的状态空间模型可以表示为

(2)

其中

B(t)=[0 0 -1/m1(t) 1/m2]T,

假设系统的控制输出方程z(t)为

z(t)=C1x(t)+E1ν(t)。

(3)

测量输出方程y(t)为

y(t)=Lx(t)。

(4)

其中C1,E1和L是给定的常数矩阵。

为了给出海洋平台系统(2)的T-S模糊动力学模型,定义模糊变量m1(t)的模糊集为代表模糊集的隶属度函数。下面给出模糊规则i:

模糊规则i:如果模糊变量m1(t)为则系统的模糊模型为

i=1,2,…,r。

(5)

其中

通过中心平均去模糊化方法,可以得到海洋平台系统的全局动态模糊模型为

Biu(t)+Diν(t))。

(6)

其中0≤φi(m1(t))≤1且

为了得到本文的主要结果,首先给出如下引理。

引理1[15]对于任意的实对称矩阵标量0≤η1≤η(t)≤η2,向量函数则下列积分不等式成立:

其中

引理2[16]对于任意的实矩阵Mi,Ni,i∈{1,2,…β}和合适维度的正定矩阵X>0,则下列不等式成立:

其中0≤hi(θ(t))≤1且

2 基于事件触发的输出反馈H∞模糊控制器设计

假定海洋平台处于网络环境控制下,图2描述了处于事件触发的网络化控制的海洋平台的框架,其中采样器以采样周期h周期性地采集系统的输出信号y(t),采样信号数据y(lh)被封装成数据包通过通信网络进行传输。出于节约网络资源,提高网络资源利用率的目的,事件触发机制被引入用以决定当前采样数据包是否需要进行传输。在数据的传输过程中,假定数据以单包方式传输,同时丢包和时序错乱问题没有发生。

海洋平台的事件触发条件可以被描述为

(y(ikh)-y(ikh+jh))TW(y(ikh)-
y(ikh+jh))<σyT(ikh)Wy(ikh)。

(7)

图2 事件触发机制下的T-S模糊系统框图Figure 2 A diagram of T-S fuzzy system with an event-triggered mechanism

其中,y(ikh)表示上一个触发时刻为ikh时的输出信号,y(ikh+jh)表示当前时刻为ikh+jh时的采样信号,0<σ<1是预先定义的参数,只有当触发条件(7)不满足时,事件触发器才会将当前采样信号通过网络进行传输。

考虑到通信网络中可能发生的网络诱导时滞ηk,触发的采样信号包y(ikh)到达零阶保持器的时刻tk可以表示为

tk=ikh+ηk,k=1,2,…。

其中,网络诱导时滞是有界的,即ηk∈[ηm,ηM],ηm和ηM定义如下:

ηm=min{ηk|k=1,2,…},
ηM=max{ηk|k=1,2,…}。

下面给出模糊控制规则。

控制规则j:如果模糊变量m1(t)为则

u(t)=Kjy(ikh)=KjLx(ikh),
∀t∈[tk,tk+1]。

(8)

其中j=1,2,…,r,Kj是控制增益矩阵。

令

ϑk:=min{j|tk+jh≥tk+1},j=0,1,2,…。

不难发现ϑk≥1。将区间[tk,tk+1)表示为[17]

(9)

其中

令

可以看出ρ(t)满足下面条件

进而,y(ikh)可以表示为

y(ikh)=L(δ(t)+x(t-ρ(t)))。

(10)

触发条件(7)可重新表示为

δT(t)LTWLδ(t)<σ[δ(t)+x(t-ρ(t))]T
LTWL[δ(t)+x(t-ρ(t))]。

(11)

通过去模糊化可以得到全局模糊控制律为

(δ(t)+x(t-ρ(t)))。

(12)

将全局模糊控制律代入式(6),可以得到海洋平台闭环系统:

BiKjL(δ(t)+x(t-ρ(t))]。

(13)

其中,φij(m1(t))=φi(m1(t))*φj(m1(t))。

为简化起见,令

(14)

从而式(13)可以表示为

(15)

其中

Δij=[Ai,0,BiKjL,0,BiKjL,Di]。

本文的主要目的在于设计输出反馈H∞模糊控制器(12),使得闭环系统(13)满足以下条件。

1)当外部扰动υ(t)=0时,闭环系统(13)渐近稳定。

2)在零初始条件下,闭环系统(13)满足:

(16)

其中γ>0为给定的H∞指标。

下面给出海洋平台H∞模糊控制器的设计方法。

定理1给定标量ηM≥ηm≥0,h>0,γ>0,σ∈(0,1),如果存在4×4矩阵P>0,S0>0,S1>0,R0>0,R1>0,U1,合适维数的矩阵Kj(j=1,2,…,r),W>0,以及标量ε>0使得下列不等式成立:

(17)

Ψij+Ψji≤0,i=1,2,…,r,j

(18)

Ψii≤0,i=1,2,…,r。

(19)

其中

(20)

式(20)中

(21)

(22)

则当υ(t)=0时闭环系统(13)是渐近稳定;对于任意非零υ(t)∈L2[0,∞),系统满足给定的H∞性能指标(16)。

证明构造Lyapunov-Krasovskii泛函如下:

V(t)=xT(t)Px(t)+xT(s)S0x(s)ds+

(23)

其中P>0,S0>0,S1>0,R0>0,R1>0是待求解的对称正定矩阵。

对V(t)沿着闭环系统(15)关于时间t求导,可得

(24)

一方面,由Jensen不等式,可得

x(t-ηm)]TR0[x(t)-x(t-ηm)]。

(25)

另一方面,根据引理1,对满足约束(17)的矩阵Φ,我们有

(26)

其中,

(27)

根据引理2,可得

(28)

于是,由式(24)—(28),我们有

(29)

其中

首先,证明闭环系统(13)渐近稳定,为此令v(t)=0,并令

(30)

则式(15)可以表示为

(31)

对应的,不等式(29)可以简化为

(32)

其中

Ωij+Ωji<0,i=1,2,…,r,j

(33)

Ωii<0,i=1,2,…,r。

(34)

其中

下面证明对于任意非零ν(t)∈L2[0,∞),系统(13)满足给定的H∞性能指标。

根据式(16)和(29),我们可以得到

(35)

其中

(36)

对式(36)两边同时关于t在[tk,tk+1]进行积分,并将k从0加到∞,其中,t0=0,可得

(37)

结合零初始条件,有

[zT(t)z(t)-γ2υT(t)υ(t)]dt<
V(t)|t=0-V(t)|t=∞<0。

注意到,由于非线性项PBiKjL的存在,矩阵不等式(35)中的局部增益矩阵Kj和事件触发矩阵W无法通过LMI工具箱直接求解。为此,我们给出下面定理。

定理2给定标量ηM≥ηm≥0,h>0,γ>0,σ∈(0,1),如果存在4×4矩阵合适维数的矩阵以及标量ε>0使得下列不等式成立:

(38)

(39)

(40)

其中

(41)

式(41)中

(42)

(43)

则当υ(t)=0时闭环系统(13)是渐近稳定;对于任意非零ν(t)∈L2[0,∞),系统满足给定的H∞性能指标;当矩阵不等式(38)—(40)有解时,控制器增益矩阵可以表示为其中,L+为矩阵L的广义逆矩阵。

证明令:

及

(44)

对式(17)左端分别左乘J1和右乘式(18)和式(19)左端分别左乘J,右乘JT,并注意到式(44)可分别得到式(38)和下面不等式:

(45)

(46)

其中

注意到-PΘ-1PT≤-2εP+ε2Θ。于是,式(45)和式(46)成立,只需下面矩阵不等式成立:

(47)

(48)

其中

对式(47)和式(48)左端分别左乘和右乘矩阵J3和可得式(39)和式(40)。定理证毕。

3 数值仿真

为了验证本文方法的有效性,我们针对只有地震作用以及地震和波浪力共同作用到海洋平台上两种情况,分别设计了基于事件触发的输出反馈H∞模糊控制器,分析所设计的主动控制器对海洋平台位移、速度和加速度响应的减振效果。

3.1 海洋平台、地震及其波浪力相关参数

平台的固有频率和阻尼比分别为ω1=2.046 6 rad/s和ξ1=2%;AMD的固有频率和阻尼比分比为ω2=2.007 4 rad/s和ξ2=20%。平台质量的摄动方程为m1(t)=7 825 307+200 000sin(t) kg,选取5条模糊规则,并给定平台质量的模糊集

7 950 307,8 025 307}。

根据上述参数值,平台的系统矩阵Ai,Bi,Di可由式(5)计算得出。

给定控制输出方程z(t)和测量输出方程y(t)中的定常矩阵C1,E1,L分别为:

作用在海洋平台上的外部波浪力数据来源于文献[5],地震加速度数据来源于文献[18],波浪力和水平地震加速度曲线如图3和图4。

图3 作用在海洋平台上的外部波浪力Figure 3 External wave force acting on the offshore platform

图4 地震水平加速度Figure 4 Horizontal acceleration of earthquake

3.2 地震作用下的海洋平台减振效果分析

为了研究地震对系统性能的影响,我们首先研究海洋平台在只受到地震力作用时的系统性能。

假定网络诱导时滞是时变的,并且时滞的上下界分别为ηM=0.04,ηm=0.02,令事件触发参数σ=0.2,H∞性能指标γ=3,采样周期h=0.1 s。根据定理2我们可以计算得到事件触发权重矩阵W和控制增益矩阵Kj为:

将设计的基于事件的输出反馈模糊控制器记为EOHFC-1并应用到上述海洋平台上,图5～图8给出了在地震作用下,平台所需的主动控制力曲线以及平台的位移、速度、加速度响应曲线图。图9给出了事件触发信号的释放时刻与释放间隔,事实上,由图可知,在[0,80 s]的时间内,共有340个采样数据包被传输,这意味着有57.5%的网络资源得到了节约,验证了我们所设计的控制器不仅能够显著减小平台的振幅,同时有效节约了网络资源。

图5 控制力响应曲线Figure 5 Curve of the control force

图6 地震作用下的海洋平台位移响应曲线Figure 6 Curve of the displacement of the offshore platform under earthquake

图7 地震作用下的海洋平台速度响应曲线Figure 7 Curve of the velocity of the offshore platform under earthquake

图8 地震作用下的海洋平台加速度响应曲线Figure 8 Curve of the acceleration of the offshore platform under earthquake

图9 事件释放时刻和释放间隔Figure 9 Event trigger signal release time and interval

表1和表2分别给出了在受到地震作用下的海洋平台的位移、速度、加速度、控制力的峰值与均方根值。从表中我们可以看到,相比无控制的情况下,在设计的EOHFC-1控制器的作用下,平台的位移峰值和均方根值分别降低了44.71%和68.43%,速度的峰值和均方根值分别降低了24.78%和58.9%,说明了我们设计的控制器能够有效减弱地震作用下平台的振动。

表1 地震作用下海洋平台位移、速度、加速度响应和控制力峰值

表2 地震作用下海洋平台位移、速度、加速度响应和控制力均方根值

3.3 地震和波浪力共同作用下的海洋平台减振效果分析

根据定理2,可以计算得到事件触发权重矩阵W以及局部增益矩阵Kj为:

将设计的基于事件的输出反馈模糊控制器记为EOHFC-2并应用到上述海洋平台上,图10～图13给出了地震和波浪力混合作用下,平台所需的主动控制力曲线以及平台的位移、速度、加速度响应曲线图。图14给出了事件触发信号的释放时刻与释放间隔,事实上,由图可知,在[0,80 s]的仿真时间内,共有249个采样数据包被传输,这意味着有68.875%的网络资源得到了节约,验证了我们所涉及的控制器不仅能够显著减小平台的振幅,同时有效节约了通信所需的网络资源。

图10 控制力响应曲线Figure 10 Curve of the control force

图11 地震和波浪力共同作用下的海洋平台位移响应曲线Figure 11 Curve of the displacement of the offshore platform under earthquake and wave force

图12 地震和波浪力共同作用下的海洋平台速度响应曲线Figure 12 Curve of the velocity of the offshore platform under earthquake and wave force

图13 地震和波浪力共同作用下的海洋平台加速度响应曲线Figure 13 Curve of the acceleration of the offshore platform under earthquake and wave force

图14 事件释放时刻和释放间隔Figure 14 Event trigger signal release time and interval

表3和表4分别给出了在受到地震与波浪力共同作用下的海洋平台的位移、速度、加速度、控制力的峰值与均方根值。从表中我们可以看到,相比无控制的情况下,在设计的EOHFC-2控制器的作用下,平台的位移的峰值和均方根值分别降低了57.68%和42.28%,速度的峰值和均方根值分别降低了44.95%和54.14%,验证了我们所提出的控制器EOHFC-2对于受到地震与波浪力共同作用下的海洋平台也有着显著的减振效果。

表3 地震和波浪力共同作用下海洋平台位移、速度、加速度响应和控制力峰值

表4 地震和波浪力共同作用下海洋平台位移、速度、加速度和控制力的均方根值

根据上述仿真结果,我们可以看出,在本文提出的基于事件触发的海洋平台输出反馈H∞模糊控制器的作用下,对于仅受到地震作用下的海洋平台,其位移的峰值和均方根值分别降低了44.71%和68.43%,网络通信资源节约了57.5%;对于受到地震与波浪力共同作用下的海洋平台,其位移的峰值和均方根值分别降低了57.68%和42.28%,网络通信资源节约了68.9%。验证了我们提出的主动控制方法不仅能够有效地降低地震和波浪力作用下的海洋平台振动,而且能有效节约网络通信资源。

4 结 论

本文针对同时受到地震与外部波浪力作用的含主动质量阻尼器结构的海洋平台,建立了网络化海洋平台T-S模糊动力学模型,给出了系统的基于事件触发的海洋平台输出反馈H∞模糊控制器的设计方法,得到了海洋平台闭环系统渐近稳定的充分条件。仿真结果表明,本文设计的基于事件触发的输出反馈H∞模糊控制方法不仅能够降低地震和波浪力对海洋平台系统的振动幅值,有效提高系统的可靠性和安全性;同时能够有效节约通信网络资源。