大学生数学建模思维的培养模式分析

汤 卫 陈玉玲 杨 赟

(1.贵州职业技术学院 贵阳 550023；2.公共大数据国家重点实验室(贵州大学)贵阳 556000；3.贵州电子商务职业技术学院 贵阳 550003)

1 引言

恩格斯将数学定义为“数学是研究现实世界中的空间形式与数量关系的一门科学”，他从哲学的视角对数学的研究对象和目标作了简易的解释[1]。在科技快速发展的今天，数学知识和技术越来越成为科技发展的核心力量，同时也对其他学科的发展起着本质的推动作用。就数学研究而言，其核心的任务是认识并改造自然，通过对现实世界的抽象和分析，掌握现实世界的变化规律和本质特征[2-4]。数学思想作为数学研究的中心环节，它来源于现实又高于现实，同时也是数学思维形成的理论基础，是处理各种现实问题的指导原则和依据。

自1992年开始，我国每年举办一次全国大学生数学建模竞赛，其目的是推进数学理论和方法走进现实问题，真正实现数学向应用化的转变[5-8]。从1982年以来，全国各大高校相继开设数学建模课程，在全国范围内掀起了研究数学建模的热潮[9]。在数学建模的课程实践中，重点是关注如何培养学生的数学建模思维，同时着重构建学生的理论知识体系。数学建模思维的培养既需要扎实的基础理论，同时还需要深入的实践锻炼。所以教师的教育教学和学生的自主实践都是数学建模思维培养的重要组成部分[10]。数学建模思维是对数学思想的执行过程，数学思想指导数学建模思维的形成和运用。如今已经有较多的文献资料对数学思想和数学思维进行了研究[11]，但是多数处于实践分析和竞赛研讨，从教学和理论上进行数学建模思维的研究还有所欠缺。从笛卡尔坐标系的数形结合思想到囚徒困境中的最佳均衡，从戈尼斯堡七桥的图论问题到背包问题的最短路径，从生产计划和资源分配的最优规划到马尔科夫链的随机过程理论，这些无不展示着利用数学的知识解决现实问题的优越性和重要性。数学模型充分将现实与数学进行结合，这个过程不仅要用到除数学外的相关学科知识，同时还要充分利用计算机软件进行实验和仿真。除了较为典型的数形结合思想，还有重要的近似逼近思想、转化化归思想、类比分析思想以及分类讨论思想等[12-15]，都是培养学生数学思维的重要基础。

2 数学建模思维和数学建模的关系

2.1 数学模型和数学建模的关系

数学模型是用数学理论方法来描述现实问题的一个框架。数学模型在本质上与现实问题具有一致性，同时数学模型是现实问题的一个抽象，数学模型具有较强的目标性和任务性。在建立现实问题的数学模型时，往往需要舍弃一些次要的因素，充分利用现有的数学方法解决问题。鉴于数学模型具有学生主观特性，因此建模的效果存在着优劣的差别，进而导致数学模型在逼近现实问题时也存在较多的偏差。具体来说，数学模型凸显了问题性和目的性，其基本表现形式包括数学的抽象符号和图表等，以此来描述客观事物的特征及其内在联系。

如何根据现实问题构建其对应的数学表述过程称为数学建模。数学建模要从现实问题中进行抽象和分析，探索研究要素之间的关联和变化规律，然后根据求解结果去解决实际问题。数学模型是对现实问题的一种抽象刻画和转化表达，它的建立既需要人们深入细微的观察现实问题，又需要人们灵活巧妙地利用各种数学知识。

数学模型和数学建模是一体的，数学建模的目的是建立起相关的数学模型，但是数学模型会因为不同的标准和建模方法而出现差异。数学模型来自于现实的数学问题，同时模型的解决策略要最终反馈到现实问题中，数学模型是联系现实和理论的桥梁。

2.2 利用数学建模思维进行建模

数学思维是关于如何求解数学问题的思维方法和技巧，数学思维的来源主要包括数学思想和实践经验。在数学建模的过程中，数学建模思维是主导着如何把现实问题转化为数学模型的全过程，同时需要充分发挥学生的主观能动性进行数学建模课程实践。

数学建模的首要任务是将现实问题数学化，搭建现实问题的理论框架。在完成现实问题数学化之后，数学建模的中心任务便转变为寻找解决的方案。我们要充分利用各种数学思想方法作为指导进行抽丝剥茧，既要抓住问题的核心本质又要分析问题的解决路径。

数学建模思维对数学建模的作用主要有如下三点。第一，数学建模思维是破解现实问题的关键，数学思维可以快速帮助学生获得解决问题的思路和想法。第二，数学建模思维可以帮助学生找到最佳的建模思路。学生在建模过程中，其建模的方法主要来自于学生掌握的知识体系，那么提高对现有知识体系的利用能力是数学思维方法的重要方面。第三，数学建模需要创新的思维和开阔的视野，既要本着问题的解决为中心，也要考察学生的配合和协调。

数学思想是从数学事实与理论中经过概括后获得的本质认识。对数学思想的认识将决定数学建模思维的构建和形成。在利用数学思想处理数学建模问题时，需要遵循由简单到复杂、由具体到一般的思维过程。数学思想作为一种指导手段和原则，是形成学生综合能力的关键所在。为了提高学生的建模能力，需要充分运用到类比推导、分解重组、分类讨论等基本数学思维方法进行建模。当需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时，人们就要在深入调查研究、了解对象信息、作出简化假设、分析内在规律等工作的基础上，用数学的符号和语言作表述来建立数学模型。

3 基于案例研讨法的数学建模思维培养模式分析

就数学的思维方法而言，为了提高研究者对问题的警觉性和透过现象看本质的能力，我们需要从具体的案例中培养学生发散思维能力、逆向思维能力以及批判思维能力。其中发散思维能力是获得创新思维的主要方式之一，发散思维又称为扩散思维或求异思维，它表现为思维视野广阔，思维呈现出多维发散状。数学思维的关键在于如何培养学生“一题多解”的能力，教会学生从不同的视角分析现实问题，思考更多的求解空间。逆向思维能力主要是遵循正难则反的思维特点，往往需要建模者善于从问题的对立面分析，主要包括条件逆向和因果逆向等方式。而批判思维能力是一个学生得以独立解决问题的关键，除了要求学生能够寻找更多的解题策略，还需要学生学会批判解决策略的适用性和实用性。这三大思维的关系如图1所示。

图1 数学建模与三大思维的关系

数学建模以培养学生的综合实践能力为宗旨，也成为大学生素质教育的重要手段。鉴于高中阶段缺少对数学建模知识的学习和实践，导致大学阶段开展数学建模教学必须从基础知识开始。在教学的过程中，因为案例教学法可以促进大学生更好的从案例研讨中获得数学建模知识和方法，同时还可以塑造良好的教学氛围，让学生全身心参与到课程教学中，因此案例教学作为最突出有效的教学方式成为广大师生的首选。数学建模思维的培养主要包括数学模型观念及意识的培养、问题思维和建模知识的获得、模型分析能力的提高以及综合建模能力的强化等四个方面。由于数学建模思维和数学思想存在密不可分的关系，所以既要从宏观和全局的视角分析数学模型的不同影响因素，又要从各种数学思想中获取灵感，包括数形结合思想、转化化归思想、类比分析思想等作为数学建模思维构建的基础，在构建数学建模解题思路时具有巨大的作用。因此文章总结了基于案例分析教学模式获得数学建模思维的三个方面。

3.1 夯实建模思维的理论基础，夯实能力体系的基石

数学建模知识需要经过长期的经验总结和概括才能得到，同时数学建模思想也在数学建模实践中得到深入和提高。教师在教学的过程中，案例分析是构建数学基础知识的关键，也是发挥学生创造力的关键。每个教学案例都是从具体的生活问题中抽象而来，涉及到多个学科的交叉知识，具有代表性和知识的关联性。对基础知识的学习应该关注以下几点：一是教师将案例中的重要概念和思想进行深入分析和概括，掌握每个概念的内涵和外延，同时提高对案例思想的提取。二是学生要重视案例中所展示的建模过程和建模方法，同时将基础知识分为若干个知识点后做好课前准备。三是要加强知识体系的建设，教师从数学建模的不同知识分类进行教学授课。学生知识体系的建设包括了基础知识体系建设和能力方法体系的建设，两者相辅相成共为一体。

3.2 抓牢案例研讨的方法和思维培养，主动建构知识体系

案例分析法是一种研讨式的学习方法，同时也是教师教学的优秀教学法。就案例教学的适用性来说，案例首先要具有代表性，同时案例要具有多维度全面性，具有较高的研究讨论的价值，可以帮助学生以点带面深入分析。在教学的过程中，需要做好案例素材和研究问题准备，精准把握案例研究的关键和要素，明确研究的目标和意义，掌握可能使用的方法和技巧。案例分析法实施的关键是形成良好的师生合作氛围，在学生主动配合和教师的引领两方面都要下足功夫，这既是学生主动接受知识同时也是学生创造知识的过程。每名学生既要充分准备发言提纲，还要针对别人的发言进行反思和提问，这有助于学生构建完整的知识体系，同时避免了个人思维的局限性。下面是进行案例研讨的几个建议，具体请参见图2。

建议1：精选案例是案例研讨成功的关键。数学模型的研究对象可以分为两种，一是对不变量的建模，主要考察不变量之间的相关关系和制约条件；二是对变量的建模，其核心思想是对变化状态进行数学刻画，利用变量之间的数学关系分析问题的状态特征和变化趋势等。数学建模常见的案例主要分为以下几个类别。第一类线性规划模型，主要涉及一些简单的线性规划问题，包括城市规划、生产计划和库存管理等，其用到的解决思想包括单纯形法和图解法。第二类动态规划模型，主要涉及一些最短路径问题和资源分配问题，常见的有背包问题模型和多阶段生产模型，核心的解决思路包括正序法和逆序法等动态管理思想。第三类主要涉及图论和网络模型，这类模型的主要手段是利用图的相关知识描述研究的对象，通过求解图的问题获得现实问题的解。图论问题中常见的树和生成树是比较常见的工具。第四类数理统计模型，是通过利用随机变量描述客观问题的一种方法。一般常见的数理模型主要包括假设检验模型，其基于不同的概率分布情况进行一些参数检验和分析。第五类是微分方程类模型。微分方程模型是一种对变量建模的典型代表，常见的微分方程模型包括传染病模型、生态种群模型，最优捕鱼策略模型，药物分布模型以及经济竞争模型等。求解微分方程模型重点是方程的稳定性理论和平衡点问题。综合上述，案例分析的前提就是要精选好的案例，带着教学的目标深入分析案例所展示的知识和方法。

建议2：精心准备和良好的氛围是案例分析成功的基础。如何准备案例分析课程是开展数学建模研讨的前提，除了要根据教学模型设置相关的问题和研讨内容外，还要培育良好的研讨环境。针对某个具体的模型，主要回答的问题包括模型的影响因素有哪些，模型求解的基本思路和方法是什么，模型应该怎么进行改进，建模思想方法是什么等等。以上问题可以快速指引师生将教学重点放在发现问题的本质和求解问题上来，有助于帮助学生解决相关问题。案例分析的准备需要做到时间的精准把握和学生的协调配合，这需要教师充分了解学生的基本水平，同时预先进行相关作业的布置以及课程预演。

建议3，激发创新灵感是案例研讨的灵魂所在。案例研讨的主要目标是要让学生在学习相关材料之后形成个人的独特见解，同时结合其他同学的不同意见，最终形成全面综合的观念。这既是学生知识体系建立的过程，也是激发学生创新灵感的过程。案例作为学生学习和模仿的典型，不仅可以将经典的数学模型展示给学生，还可以让学生从案例研讨过程中领悟数学的真谛，提取数学思维的方法。创新思维作为学生的核心能力之一，创新思维意识的培养需要学生尝试从不同的理论视角和思路分析模型的解决方案，同时还需要利用数学实验仿真来培养学生创新实践能力。数学建模实践重视学生的动手和批判分析能力，将理论和实际充分结合的过程，多给学生思想观念的引领，充分发挥学生的积极主动性，这样才能激发学生的创新灵感，才能促进学生在面对不同的数学问题时可以随机应变，可以提出符合现实需要的解决方案和模型。

图2 案例研讨法的基本逻辑

3.3 基于数学建模竞赛的建模思维强化训练

全国大学生数学建模竞赛作为一项学科性的全国赛事，主要以考查学生利用数学及相关理论知识解决现实问题的能力，在比赛过程中需要团队成员的相互协作，同时还需要学生从网络平台和书籍中寻找各种有用的资源。数学建模竞赛因为其开放性、综合性和实践性成为培养学生思维能力和动手能力的重要赛事。一方面数学建模竞赛需要学生具有相关的模型构建能力和问题分析能力，另一方面数学建模竞赛需要学生利用计算机进行实验仿真分析。近年来数学建模竞赛主要倾向于考察学生的大数据建模能力，学生能否从大数据环境中寻找有利资源进行问题分析是学生大数据建模能力的重要表现。学生的数学建模思维的培养通过紧张的竞赛氛围和新颖的竞赛试题得到快速的提高和锻炼，同时学生可以在竞赛过程中强化自己的思维能力和实践能力。由于数学建模竞赛是三人一组的比赛，这既可以激发团队的创新灵感，也考验团队的协作能力。由此可见，参加全国大学生数学建模竞赛是强化数学建模思维的有效途径。

在利用数学建模竞赛强化数学建模思维时，可以按照如下执行路径开展：一是引导学生组建竞赛队伍，培育三人一组的团队合作精神。数学建模竞赛以小组参赛，竞赛过程中强调团队成员的任务分工和合作机制，需要队长负责统领团队的综合事务，竞赛成功的关键是在于团队合作的默契程度。二是开展全面、系统的知识培训，带领学生从案例研讨和基本理论中发现知识，掌握数学建模的核心方法，提高学生处理现实问题的综合能力，同时以培养学生的创新思维能力为关键，这是学生竞赛能够脱颖而出的最佳方法。三是进行校赛初选，完善选拔机制，提高学生的竞赛能力。在学生参加每年九月的全国赛之前学校应该组织校赛，以校赛为基本途径评选出优秀的队伍参加国赛，同时校赛选出的队伍还可以进行精准指导和帮扶，既可以让学生在校赛中发现团队合作和知识的不足，又可以培养学生的综合素质。四是提供全面的技术支持和服务，帮助学生在国赛中提高专业能力，例如提供良好的电脑设备和参考书籍，预装数学建模需要用到的相关软件，提高学生利用软件的能力等等。具体执行路径如下图3所示：

图3 数学建模竞赛的执行路径

4 结语

数学模型既是新学科也是一门古老的科学。它将现实问题归结为相应的数学问题，并在此基础上利用数学的概念、方法和理论进行深入的分析和研究，进而从定性或定量的角度来刻画实际问题，并为解决现实问题提供精确的数据或可靠的指导。在大数据快速发展的今天，对现实世界能够利用量化的指标进行刻画和分析，通过有效的方法分析现实世界的演变规律。本文重点阐述了数学建模和数学模型的关系，同时分析了教学过程中如何进行数学建模思维能力的培养。在教学过程中既需要从学生的知识体系重点培养学生的思维能力和动手能力，又要精选案例进行研讨分析，通过大量的实践案例开阔学生的视野，指导学生发挥自主创新的精神，寻找更多更好的模型解决思路。本文提出一种基于案例分析的教学模式，既是培养数学思维习惯的好方法又是拓展学生综合能力的绝佳途径，所以在大学生的教学过程，可以充分利用此教学模式进行教学分析和研讨。