α阶强β-螺线形函数类亚历山大变换的对数导数范数上界估计

段 敏

(1.桂林电子科技大学 数学与计算科学学院，广西 桂林 541004;2.湖南交通职业技术学院， 长沙 410132)

万有Teichmüller空间的边界和对数螺线的自相似拟弧之间有着一种深层的关系，许多数学家建立了Teichmüller空间理论与对数导数、Schwarz导数之间的对应关系。例如，Yamashita[1-2]和Sugawa[3]分别对α阶凸函数类和α阶强星形函数类的对数导数范数的上界进行了估计。Okuyam[4]给出了β-螺线形函数类的定义，并在对数导数意义下估计了螺线形函数类的范数。冯小高等[5]构建了在Δ单页且能拟共形延拓到全平面的解析函数，简化了万有Teichmüller空间2个性质的证明。

然而，螺线形函数类亚历山大变换的对数导数范数上界估计仍不明确。郭辉[6]借助广义Schwarz引理对Landau定理中关于上界做了进一步改进并得到了一个带参数的上界表达式。Mercer等[7]得到了单位圆盘解析自映射双曲导数的Schwarz-pick估计。Patrice[8]利用双曲分差推广了双曲导数的概念，并给出了关于这些导数的Schwarz-Pick定理的类比。为此，从属函数原理出发，结合广义Schwarz引理和Schwarz-pick估计构建上界表达式。

1 基本引理[9]

引理1设f是Δ内的解析函数，且f(Δ)⊂Δ，f(0)=0，则有|f′(0)|≤1且|f(z)|≤|z|， ∀z∈Δ。若|f′(0)|=1，对于一点z0∈Δ{0}，有|f(z0)|=|z0|，则f(z)≡μz，且|μ|=1。

引理2设f是Δ内的解析函数，且f(Δ)⊂Δ，ρ为Δ上的Poincarè密度，则有

ρ(f(z))|f′(z)|≤ρ(z)，z∈Δ。

其中c(α)为方程(1-α)xα+2+(1+α)xα-x2-1=0在(1,∞)内的唯一解。

2 主要结果与证明

用S(α，β)表示α阶强β-螺线形函数类，

S(α,β)=

其中0<α<1，-πα/2<β<πα/2。

定理11)对于∀f∈S(α,β)，存在常数M(α)，有

‖J[f]‖≤M(α)，

其中

c(α)为方程(1-α)xα+2+(1+α)xα-x2-1=0在(1,∞)内的唯一解。

2)若f∈S(α,β)，

则‖J[f]‖≤M(α)γ，0≤γ<1，且γ依赖于a和函数f。

3)若f∈S(α,β)，‖J[f]‖=M(α)，则

所以

故构造的函数

函数F(z)构造过程如图1所示。

图1 函数F(z)构造过程

可令

所以

M(F*(|z|)-1)。

由Schwarz引理有|φ(z)|≤|z|，且F*(t)在t∈(0,1)内是一个单调递增函数，因此有

其中c为方程(1-α)xα+2+(1+α)xα-x2-1=0在区间(1,∞)内唯一的根。此时可记

其中M(α)为常数。对于M(α)，Sugawa[3]给出了取值范围,

2α

b)估计M的大小。作

变换，g(z)为单位圆上的自同构，且满足

由以上变换可求出

则有

因此

I≤MQ(|z|)≤M(α)。

综上可得，

2)设f(z)∈S(α,β)，φ(z)=μz，|μ|=1，则

又因为

所以

两边积分可得，

|φ(z)|≤|z|Q(|z|)，z∈Δ，

令

求二阶导，得

又因为

f(z)=z+a2z2+a3z3+a4z4+…，

所以

f′(z)=1+2a2z+3a3z2+4a4z3+…，

zf′(z)=z+2a2z2+3a3z3+4a4z4+…，

1+a2z+(2a3-a22)z2+…。

p′(0)=a2，

所以

故

ii)估计A与B。由Schwarz引理知，当|φ(z)|<|z|，z∈Δ时，|φ′(0)|<1，即

0

令

又由于φ(z)=zχ(z)，故两边求导得，

φ′(0)=χ(0)，φ″(0)=2χ′(0)。

故有

所以

0

综上所述，

0

iii)估计‖J[f]‖。

其中z∈Δ{0}。令

则

因为0

对U(t)求一阶导可知，U(t)是在闭区间[0,1]上的单调递减函数，如图2所示。

图2 U(t)函数单调递减

由引理3知：N(t)在t∈(0,t(α))单调递增，在t∈(t(α),1)单调递减。

b)t0=t(α)时，因为U(t)在t∈[0,1]是单调递减的，所以

N(t0)U(t0)α

c)当t0≠0或t(α)时，因为U(t0)α<1，所以N(t0)U(t0)α

‖J[f]‖≤M(α)γ， 0≤γ<1，

其中γ依赖于函数f和α。

3 结束语

基于广义Schwarz引理和Schwarz-pick估计方法，提出了α阶β-螺线形函数类亚历山大变换的对数导数范数上界表达式，得到了3个定理，推广了Schwarz导数和对数导数在Teichmüller空间理论中的应用。