用广义Y-切上图导数刻画集值优化ε-Henig真有效元

谢雪军，余 丽

(宜春学院 数学与计算机科学学院，江西 宜春 336000)

近年来，在线性空间中研究集值优化问题的最优性条件取得了一定的成果[1-3]。另一方面，由于集值优化理论逼近解与Ekeland变分原理之间有着密切联系，因此各种逼近有效解的概念被相继引入，文[3]在实序线性空间中引入了ε-Henig真有效解的概念，并得到了集值优化问题在ε-Henig真有效意义下的标量化定理。

本文借助广义Y-切上图导数的概念，在α-阶近似锥-弧连通集值映射假设下，讨论集值优化问题ε-Henig真有效元的充分和必要最优性条件。

1 基本概念

设X和Y为实序线性空间，M为Y的任一非空子集，以clM、intM和coneM分别表示M的闭包、内部和生成锥，其中，coneM={λm:λ≥0,m∈M}。M称为是锥，如果αm∈M,∀m∈M,α≥0。锥M称为是凸的，如果M+M⊂{M}。M称为是点的，如果M∩(-M)=0。C为Y中非平凡的闭凸点锥。设F:X→2Y是集值映射，则F的域，图和上图分别记为domF,graphF和epiF。

以下设V⊆Y是均衡吸收的凸集，满足0∉B+V。记CV(B):=cone(B+V)。

定义1.1[4]集合S⊂X称为弧连通集，如果对于任意的x∈S,z∈S，存在一连续向量值函数Hx,z:[0,1]→S，Hx,z称为弧，使得

Hx,z(0)=x，Hx,z(1)=z。

如果

定义1.2[5]设S⊂X是一个非空弧连通集，F:S→2Y为集值映射。称F为α-阶近似C-弧连通集值映射，如果∃θ∈intC,α>0，对每个x∈S,z∈S，存在一个弧Hx,z:[0,1]→S，使得

t1+αθ+(1-t)F(x)+tF(z)⊂F(Hx,z(t))+C,0t1。

∀x∈X。

2 最优性条件

考虑下面的集值优化问题

(P)minF(x)

s.t.x∈S，

其中S是X的非空子集，F:X→2Y是集值映射。

(1)

(2)

0∉B+V，有

(3)

由广义Y-切上图导数的定义得

(4)

由(3),(4)式得∃n0∈N，使得

由-intcone(B+V+ε)是锥得

从而

由文献[7]的定理2.1可知

此与(2)式矛盾，故定理得证。

证 由(1)式及cone(B+V0+ε)是点凸锥知

由引理2.1，有

于是

(6)

易证

(7)

于是有

(8)

由凸集分离定理知存在0≠f∈Y*，使

(9)

即

(10)

由V0=-V0及f(-intcone(B+V0))0，得

f(B)≥f(V0)。

于是

f∈Bst=C+i

(11)