量子力学中测不准关系、方程和时空等基本问题的新探索

张一方

(云南大学 物理系,云南 昆明 650091)

Dirac指出[1]“哈密顿量对于量子理论才真正是十分重要的”“只能通过哈密顿量或其概念的某种推广”发展理论.其基本程序是由相对论不变的作用量积分得到拉氏量,再导出哈密顿量,得到量子理论.而“将来的量子理论”“一定有某种东西与哈密顿理论对应”.

已知量子力学最初的两种形式：Schrodinger波动力学主要起源于波动性；而Heisenberg矩阵力学主要起源于不连续性.其中能量体现粒子性,波函数体现波动性.经典波动方程就是质量为0的Klein-Gordon(KG)方程,而Dirac方程是KG方程的一阶推广.基于对量子力学结构的逻辑分析,笔者认为它只有一个基本原理：波粒二象性.统计性是其相应的数学特性.而其他原理都是由此导出的物理或数学结果[2,3].量子场论只是把二象性推广到场.

量子力学的发展是基于长、短波时分别是Rayleigh-Jeans公式和Wien公式,这已经暗含其主要适用于中能,而高能(短波)是Wien公式,即Maxwell-Boltzmann(MB)分布、Gamma分布.量子力学必然联系于光子、电磁相互作用,例如黑体辐射、光电效应、氢原子等.反之,目前量子力学、量子场论也主要适用于电磁相互作用[1],而对强、弱、引力相互作用则理论必须发展.量子力学中波包瞬间塌缩是超光速的.

笔者提出粒子物理中的基本原理是必须区分已经检验的实验事实和优美的理论假说.由此提出粒子理论中的7个重大问题,并且讨论了相应的量子理论某些可能的发展[4].本文对测不准关系、量子方程等量子力学和量子理论的基本问题进行了某些新探索.

1 量子力学的基础和各种解释

由于量子力学的基本性和复杂性,对其的解释和探索一直是理论物理议论纷纷的热点之一.Jammer对量子力学中的基本问题和各种解释进行了全面的经典论述[5].量子力学最著名的解释是哥本哈根的几率解释,它的两个基本原理是定域(干涉)原理和波谱分解原理.在量子力学中几率守恒,几率密度(即粒子数平均密度)守恒及总几率都不变.几率守恒是物质不灭定律在微观世界的精确表现,它与幺正条件紧密联系.1970年Ballentine系统讨论了量子力学的统计解释[6].

对几率解释提出不同观点的众多理论中最著名的是de Broglie-Bohm非线性理论和隐变量解释.基于Everett的多世界理论[7,8],1971年Dewitt等提到多世界解释和隐变量理论[9].1972年Van Fraassen提出消除波包塌缩的模态解释(model interpretation).以后发展为著名的Kochen-Dieks-Healey理论.1986年Cramer提出量子力学的相互作用解释[10],其与Bell不等式的检验和非局域性一致.1987年Ballentine提出量子力学的主要解释是[11]：统计系综解释,新哥本哈根解释,R.B.Griffiths一致性历史解释,多世界解释和量子势5种.1992年Home和Whitaker系统讨论了量子力学的现代系综解释[12].从1954年起A.Lande集中批评波粒二象性,而提出一种被Born称为“唯粒子论”的解释方案,但Jammer认为这是“统计系综解释的一种特殊版本”[5].此外,还有量子力学的去相干理论等.

1992年Omnes提出量子力学的新解释[13],并提出其认识论[13,14].其中的关键概念是“退相干”(decoherence).通过纠缠态(entangled state)在受到环境的作用时,会发生退相干效应这种机制,从量子力学的基本原理出发,就可以统一描述宏观世界和微观世界的物理学.1995年Rob Glifton及Bub、Goldstein理论的基本方法是区分为理论(动力学、数学)态(theoretical state)和事件(值、物理)态(state of affairs).近年Jeffery Bub等提出量子力学信息解释.这联系于量子信息论.Thom在《结构稳定性与形态发生学》中提出波函数作为按一定频率改变拓扑类型的超曲面上的形态就是局域曲率[15].赵国求等具体提出相互作用是在与量子力学的曲率解释[16,17],其中波长联系于粒子环流半径,曲率波包取代质点,波函数是曲率波,曲率的大小表示粒子性,曲率在时空中的变化表示波动性.并且特征曲率R=1/Δx=p/η.Thom和赵国求等的量子力学曲率解释是把波函数理解为曲率函数.笔者认为这其实是量子力学和广义相对论结合的结果,其中质量大小决定曲率大小,就是广义相对论中质量决定空间的弯曲程度.根据公式ρ=|ψ|2,密度越大,几率越大,曲率越大.这样就可以联系于量子引力.结合黎曼几何,还可以结合笔者计算电子磁矩的方法[2].

薛定谔猫的佯谬是微观不确定、统计性与宏观确定性的关系.这可以联系于非线性,可能发展出非线性量子理论[2.18].Monroe等[19]用囚禁在Paul阱中的9Be+实现介观尺度上的猫态,质心运动相干态波包与内部态纠缠.观测结果肯定了量子态叠加原理的正确性,展示了量子力学中的非定域性.量子性最早类比于波动性中的驻波.如波动性有所改变,量子性也许有所不同.量子数h可能可变或者连续.这就联系于泛量子论[20-25].猫态联系于宏观量子现象,对应2个或多个世界.这些世界不能交流,则拓扑分离,是平行世界.这些世界互相纠缠,则可以包括生与死,阴和阳等不同状态.而状态变化可能与参量达到混沌值等有关,出现幽灵.

非线性理论的多次迭代导致混沌,但对应一种统计性及分布函数.这类似多个粒子、多次事件测不准,然而具有统计性及分布函数.它联系于电子云的概率分布和相应的统计解释.由此可以提出量子力学的非线性混沌-孤子解释.笔者证明在各种具有孤子解的非线性方程中都可以得到混沌,而只有某些具有混沌解的非线性方程有孤子解.两种解的条件是不同的,某些参数是某个常数时得到孤子,而这些参数在一定区域变化时出现分岔-混沌.这种混沌-孤子双解可以对应于量子理论中的波-粒二象性,由此联系于非线性波动力学的双重解,并且存在若干新的意义[26,27].某些实验证明,改变测量方式完全可以将实验结果从波动条纹改变为粒子行为.Yanhua Shih(1983)可以确定粒子性和(或)波动性.Mandel等测量在两点的两个光子的联合几率作为分离函数,证明在信号干涉中存在非经典效应[28].在实验设置1中单个光子不出现干涉.在实验设置2的情况1中光子也不出现干涉,但在情况2中光子出现干涉.所以不仅单个光子,而且作为一个整体的一对纠缠光子也不出现干涉.并且由非线性解释可以联系于流体力学解释.

通常h→0时,量子力学化为经典力学,这即对应原理.如此量子场论应该化为经典场论.但这与大量子数n→∞并不普遍等效.Liboff对二者的不同作了明确区分[29].例如在大原子中.n→∞可能是形式对应原理,如Gamma分布.Blasone提出一个量子系统近似等价于两个经典系统[30].这对应de Broglie-Bohm非线性量子力学的双重解.

J.von Neumann在《量子力学的数学基础》中指出：Hilbert空间的点表示物理系统的状态,物理系统的可观测量由Hilbert空间的线性算子表示,而能量算子的本征值和本征函数就是该系统的能级及相应的定态.结论必须在4条公理假定成立的条件下.其中

E(A+B+C+…)=E(A)+E(B)+E(C)+…

(1)

E是线性算符,A、B、C等无相互作用.而它们可以互相纠缠.

因此,目前的量子理论本质上应该是线性的[1,18].这一般可能对应于自由粒子,即无相互作用,如无引力相互作用时就是欧氏空间.而电磁相互作用也是线性理论,只有附加流时才是非线性.但光子-光子相互作用时就是非线性光学.这应该联系于电磁广义相对论[31,32].一般的电磁理论仅涉及单个光子.而其余的三种相互作用场必然产生非线性.

张永德认为相互作用必定导致量子理论的非线性,相对论量子场论和考虑相互作用的非相对论量子力学的基本方程组都是非线性的；量子理论的量子化条件是非齐次二次型非线性的[33],因此整体而言,量子理论本质上是非线性的.

2 测不准关系

1934年K.R.Popper已经指出[34],从量子力学的基本原理可以导出测不准关系,因此它不是具有独立地位的原理.Margenau指出只应当限于在多次测量的统计意义上理解测不准关系[35].对于时间-能量的测不准关系,争论更大.1933年Pauli就指出,不可能引进一个时间算符,因此根本不存在能量和时间的对易关系[36].

粒子在运动,有速度v和动量p,其位置x就不确定；反之,x确定,则不运动.特别对于波.这似乎可以联系于布朗运动.测不准应该基于无相互作用或某种特殊的波,如线性波等.前提改变,如是非线性波、孤波等时,测不准应该有所不同.基于此可以具体推导.

H.Dehmelt开创了俘获单个电子和原子的研究,由此获得1989年诺贝尔物理奖.20世纪80年代中期Maryland大学和Munich大学的实验发现,打开探测器时光表现为粒子,关闭探测器时单个光子也表现出波动.1990年艾戈勒用扫描隧道显微镜(STM)移动氙原子排列成IBM.氙原子固定,则Δx=10-8cm,

Δp=mΔv=h/Δx.

(2)

氙质量m=131mN=1.229×105MeV/c2,所以Δv=h/mΔx=481.33 cm/s.氙原子每秒运动4.81m,此时测不准关系是否成立？1993年IBM研究可以直接看到单个电子的波动性(波函数).这些结果与测不准的关系值得研究.

量子纠缠态和远距离移物已经被实验证实.其难点在于测不准原理.但该原理在一定条件下也可能被突破.

波的测不准关系ΔxΔk=1表示波包长度和波长之间的测不准.这是波的性质,与量子理论无关.同时,粒子波动性及其方程导致能量的分立态(即量子化).Bohm指出测不准原理是由三个基本假定：波粒二象性,几率,能量-动量的不可分性,互相结合导出的[37].三者的统一体是整个量子论的基础.

原子中的测不准关系ΔEnΔt=η,即

(3)

(4)

通常是n、t测不准,更一般是

(5)

其中R是Rydberg常数.对Z、n一定的原子,如Z=1,n=1的氢原子只能是Δt→∞,或者△R不等于0,其测不准.或者ΔEn测不准,公式不成立.这就是李兹组合原理

(6)

与△t的关系,即

ΔνΔt=1.

(7)

△v→0,则Δt→∞,必须承认其在时空中无法描述.而目前光谱已经相当精确.n大时更易精确检验.

目前形式的波动性如果不成立[2],测不准原理就应该有所发展.例如对非线性理论[2,18].进一步,测不准关系可以推广到各种测不准量Δpi,Δxi(△p,△E；△x,Δt)的关系.Δp相当于ΔE=(Δp)2/2m,因为ΔEΔt≥h,所以

(Δp)2Δt≥2mh;

(8)

反之Δp≥h/Δx,则ΔE=(Δp)2/2m≥h2/2m(Δx)2,所以

ΔE(Δx)2≥h2/2m.

(9)

(ΔpΔx)2≥h2除以式(8)可得

(Δx)2/Δt≥h/2m,或者ΔxΔv≥h/2m.

(10)

这与我们得到的光速测不准公式[38,39]是一致的.

然而,测不准关系与守恒定律存在不一致之处.ΔEΔt≥h,如果Δt是测量能量或能量变化ΔE所需的时间间隔,则光子稳定Δt→∞,ΔE→0,光速不变.但如此一切稳定粒子运动速度都应该不变.

场方程及其孤子解原则上可以描述粒子的轨道.它可能联系于de Broglie-Bohm的波导理论.这样孤子与测不准关系不一致.更一般是非线性量子理论[2,18]与测不准原理的关系.

彼此算符化的量构成共轭量.不可对易的两个算符量不能同时测定,这就是最普适的测不准关系.在此讨论其一般的数学形式,设[M,N]=MN+NM=iG.其特例是G=0时是反对易关系.G就是测不准度.彼此用算符表示：

(11)

(12)

于是ΔMΔN≥G.

(13)

3 量子理论、不可逆性和统计性

量子理论的根本困难,Prigogine等认为在于无法处理不可逆过程.它应该结合广义熵(信息),引入微观熵、量子熵等.量子力学是统计性的,而统计性可以描述不可逆性,所以量子力学应该描述不可逆性.

量子力学方程和分子运动论的统计方程相似,所以其具有统计性.统计性又源于摩擦和信息缺失,因为经典和量子各是任意值和离散值.

布朗运动,基态能h/2,绝对零度不能达到等都表明微观领域的永动.布朗运动在一定条件下也许可以放大为宏观布朗运动效应,虽然放大时可能已经输入能量.

根据熵的定义

dS=dE/T,

(14)

引入熵必然引入温度T.而根据

S=-klgP=-2klgψ,

(15)

ψ变化导致S变化.熵增大对应于波包必然扩散.由式(14)得

(16)

(17)

k/η是组合常数.这类似ψ=Aexp(ipμxμ/η).此时就是dS对应于四维动量.

对定态

(18)

(19)

S和t都可逆或都不可逆,二者变化成正比.封闭系统熵增大,能量守恒是定态,所以时间也有方向性.

考虑时间箭头和统计性时,发展能量为熵.Prigogine引入微观熵算符,这可以结合粒子物理中温度和熵的引入方法.他的超算符导致不可逆性.这可能对应于非线性算符.更一般,可重整化的量子理论应该结合半群,引入温度等,导出不可逆性.

假设熵与量Y共轭,ΔS=ΔE/T,ΔEΔt=(ΔS)(TΔt),所以T不变时Y=Tt.

dF/dY=dF/Tdt=[F,S]=[F,H]/T.

(20)

由此表示熵的算符为

(21)

ΔTμνΔX≥η,TμνX-XTμν=iη.

(22)

结合测不准关系

pμvνX-Xpμvν=pμxμ-xμpμ=iη,

(23)

(24)

量子力学和统计力学都基于平均值.二者应该类比发展.密度ρ方程是刘维定理,其对应Heisenberg方程,而不是Schrodinger方程.量子力学类似于统计力学发展为量子统计；统计力学类似于量子力学发展为动力学、方程.特别是量子统计应该包括托马斯-费米方程.

量子力学、量子场论和统计性都是对多个粒子事件,对系综成立.应该用统计学的方法全面整理、表述、修改量子力学、量子场论,然后再推广、发展量子论.

4 量子力学方程的研究

Dirac提出[40]“不应认为量子力学的现在形式是最后的形式”,它只是“迄今为止人们能够给出的最好的理论”,可能将来“会得到一个改进了的量子力学,使其回到决定论.”但这必须放弃某些现在认为没有问题的基本思想[40].笔者在探讨微观相对论的基础上,提出对极小时空,光速应存在统计起伏.特别在高维柱形卷曲空间中光速是可变的和量子化的.由此讨论修改、发展相对论和量子论的可能的某些方法,并且定量提出存在势和相互作用时几种新的量子力学方程[41,42].

Heisenberg方程只是Poisson括号变形的经典方程.Schrodinger方程

(25)

只是pi的算符表示方程,而它都可以化为方程

(26)

这和一般的算符方程

(27)

又有所不同.

(28)

也就是Klein-Gordon(KG)方程.这是KG方程和Dirac方程之间的又一种关系.对此再求导,

(29)

即γμ∂μ(m2ψ)+m(m2ψ)=0.

(30)

这是m2ψ=ψ'的Dirac方程,是求导二次的结果.这是波函数的标度变换.

广义函数类似算符,前者可用于多重产生,粒子理论等；后者已用于量子理论,并将用于多重产生等.Poisson括号都是对易关系,应该可以推广为反对易关系等广义形式.

5 量子理论中的二象性问题

衍射中运动的非全同性导致整体的统计性.量子理论的各种不足可能基于原来就无法完全一致的波粒二象性[2],因此波尔才发展出互补原理.Yutaka等的实验证明[43]单个光子具有粒子性(在缝隙处不劈裂为两半)和波动性(具有隧穿效应,显示出自干涉,最后反射和折射各占50%,符合粒子波的几率性).单个光子在远处平板上看不到干涉条纹.

二象性把连续、不连续统一起来.波动有周期性就会有一种不连续,对应着粒子.光子和粒子的衍射、折射、反射、色散等反映连续性；而光子和粒子的发射、吸收等瞬时过程则是不连续的.最小能量、hv是不连续的,而频率v又是连续可变的.对驻波,波长、频率都是量子化的.零点能hv/2可能与自旋s=h/2相关,二者是仅有的h的半整数.

应该从二象性及新二象性,对称性、统计性描述量子力学、量子理论,夸克-靴带互补等.但量子力学的某些特点,如自旋、量子统计、Pauli原理等似乎不能归为波粒二象性.Lamehi-Rachti和Mittig用13.2 MeV和13.7 MeV的质子实验值符合量子力学的不可分隔的预言[44].Ghirardi等提出瞬时通讯或超光速通讯是不可能的.二物体互不接触因而没有直接的相互作用,则对其中一物体的测量不会立刻影响对另一物体测量得到的统计结果.这称为统计可分隔性[45].Chu讨论了经典力学和量子力学的统计性起源,其中力学的基础建立在统计上,因此应当从统计中而不是用其他方法推导出力学,并且讨论了弦的作用、广义相对论和量子力学的结合等[46].

波粒二象性是微观粒子最基本的内秉性质,其是不确定关系和全同性原理的物理根源,是二次量子化成功的充要条件和路径积分公设的物理基础,其必然导致量子理论的空间非定域性、纠缠叠加和概率性[33].任何种类的波都存在类似测不准关系的表示,这也是对波动过程进行Fourier分析所得的基本结论之一,不确定关系是波动性的一个普适关系式[33].