GeoGebra在初中数学几何动点问题教学中的应用浅析

袁锦新

【摘要】GeoGebra是一款结合几何、代数、函数、图形和计算的免费动态数学软件，它融合代数与几何的功能，界面易用，且可视化功能强大，能突破动态问题的教学难点。本文以数学几何动点问题教学为例，借助GeoGebra软件，编写相应的GeoGebra脚本教程，探索信息技术与数学几何动点问题教学融合，旨在为初中数学教师的数学软件操作及数学动态实验教学提供一些借鉴或启示。

【关键词】GeoGebra ;初中数学;动点问题;教学融合

几何动点问题一般以几何图形为载体，综合考察学生几何、函数、计算等方面的知识，此类问题综合难度大，学生的得分情况往往不够理想，而在几何动点问题課堂教学上，常常出现“教师一味的讲解，信息技术应用不足，学生只能被动接受”的现象，这样，几何动点问题慢慢变成了学生难以逾越的关卡。因此，把信息技术如GeoGebra和几何动点问题在课堂教学上有效融合，让学生经历思路探究——结论猜想——技术验证这一过程，将有助学生真正掌握动点问题的本质，丰富学生解决几何动点问题的策略与方法。下面笔者以“中考几何动点形成函数图像”问题为例，谈谈GeoGebra软件在几何动点问题教学中的辅助应用。

一、例题呈现

二、教学片段

1.结合几何直观，建立函数模型

教师：本题是求线段AP与运动时间x之间的函数关系，这里点A为定点，点P为动点，哪位同学知道点P是怎么运动的？

学生1：点P在线段AB，线段BC，线段CA上运动，因此需要分三种情况讨论。

教师：请大家分析三种运动情况。

学生2：点P从点A运动到点B，应该为一次函数。

教师：是吗？能够写出y与x的解析式？

学生3： 因为动点P为匀速运动，我们可以设速度为v，从点A匀速运动到点B时，y=vx，此时y是x的正比例函数，y随着x的增大而增大。

教师：由第一种情况的分析，大家有何想法呢？

学生4：我们可以排除选项C与选项D。

教师：那么我们分析第二种运动情况，当点P从点B到运动点C，请大家观察y与x的变化关系？

学生5：当AP垂直BC时，y最短，因此，y先由大变小，再由小变大，所以我觉得选择A。

学生6：B选项的函数图像，第二部分同样是y先由大变小，再由小变大，B选项也没有问题。

学生7：但是点P是匀速运动，所以AP是线性变化的，故A选项为正确的。

（大家纷纷讨论起来）

教学说明：凭借已有的经验和知识储备，结合几何直观，学生不难发现，此题为分段函数，需要分三种情况讨论：第一种情况，通过路程等于速度乘以时间的数量关系，建立函数模型，初步感知y与时间x之间的关系。在分析第二运动情况时，学生无法通过函数的增减性判定正确结论，理性分析走不通，那么可以先从感性分析，教师可以借助GeoGebra展示动点形成函数图象的过程，先从直观的角度验证学生的猜想，激发学生的学习兴趣。

2.借助“GeoGebra”，猜想验证

首先，我们根据题目编写GeoGebra脚本。

其次，教师展示，如图2，我们在GeoGebra绘制AP的运动轨迹，请大家观察，移动滑动条d，这样可以显示函数图象的全貌。

（学生很惊叹，B选项才是正确答案）

教学说明：一编写GeoGebra脚本，给教师提供信息技术支持，二用利用 GeoGebra的度量工具，感受AP的长度变化，三是用轨迹工具（追踪点P），形成轨迹函数，旨在通过几何直观，寻找运动中的变量关系，转化问题。教学中借助“GeoGebra”可视化，更加清晰直观地观看到动线AP的运动轨迹，激发学生探究热情，引导学生能运用图形变化描述动态问题，利用几何直观来进行思考，实现了从感性认识到理性思维的构建。

3.通过逻辑分析，严谨推理

教师：虽然我们借助“GeoGebra”画图，探索出线段AP的长度y与运动时间x之间的函数图像，但是数学需要严谨论证，既然当点P从点B到运动点C时，AP的变化轨迹是类似抛物线，我们就要回归构建函数解析思路，哪位同学能说说你看法？

学生8：我们可以过点P作PH垂直AB，利用勾股定理求出AP的长度。

教师：很好，那个如何表示AH，和PH的长度？

学生8：可设三角形的边长为2，速度为1，这样则BP=x-2，所以，建立函数模型：y=。

教师：那么y=的函数图像是怎么样呢？

（学生再次议论起来）

学生9：因为△=（6）2-4×12=-12<0，所以y=不是一个完全平方式，根式无法开方，这样意味y与x的关系不是一次函数。因此排除A选项，选项B符合题意。

教师：很好，此处我们通过设特殊值法，然后通过勾股定理建立y与x的函数模型，从而排除A选项，那么能否从特殊到一般，设等边三角形的边长为a，速度为v，分析问题呢？

（学生类比分析，教师板书求解过程）

作HP⊥AB，交AB于点H，则BP=vx-a，所以BH=

建立函数模型：因为△=（3av）2-4×3a2×v=-3a2v<0不因此3a2-3avx+v2x2是一个完全平方式，根式无法开方，这样意味y不是一次函数。因此B为正确选项。

教学说明：本环节化动为静，用速度和时间表示动边的长度，再通过勾股定理，得到y与x的函数关系，但是，指数函数问题不在初中学生学习和解决的范畴中，显然，这里需要调整策略，利用△语言转化问题，推理得到正确的结论，此时，让学生经历从特殊到一般思维过程，理解动与静的辨证关系，提升分析动点几何题的能力，获得成功经验。

三、巩固提高

1.梳理条件，化动为静

教师：下面我们观察这道题，题目中有哪些是定点，哪些是动点，哪些是动线？

全体学生：A，B，C，D，O是定点，P，E，F为动点，BP与EF为动线。

教师：此题应该分多少情况讨论？自变量的取值范围是多少？

学生10：分两种情况，当点P在BO上运动时，0≤x≤4，当点P在DO上运动时，4<x≤8。

教师：很好，那么如何把BP与EF联系起来呢？你能联想到什么数学模型？

众生：A型的相似模型。

（如图5，6，利用GeoGebra展示两种情况）

2.回顾模型，巧妙应用

教师：为了应用A型的相似模型，我们必然要用式子表示动边的长度，你们有什么想法？

学生11：第一种情况，BP=x，EF=y;第二种情况，BP=x，DP=8-x，EF=y。

学生12：这样可以利用相似三角形的性质，对应边的比等于对应中线的比求解。

3.解法呈现，实验验证

解：如图5，0≤x≤4，因为BO为△ABC的中线，EF∥AC，则BP为△BEF的中线，△BEF∽△BAC，因此，即，解得，同理可得，当4

教学说明：本题和例题一样，都是动点问题形成线段的函数图像问题。教学中利用“GeoGebra”可视化工具。分类讨论，化动为静，分类讨论是指确定动点所在的位置，明确自变量的取值范围，化动为静是指通过代数式表达动态边长。然后，在利用相似模型找出动边的数量关系，解题教学时要善于抽丝剥茧，用运动思维去研究动点问题，揭示变化过程。使得学生在解题中有抓手，数学高阶思维有提升。

四、GeoGebra辅助动点问题教学效果分析

为了解GeoGebra辅助动点问题教学后学生的学习兴趣和学习效果，在今年疫情阶段，通过两周的网课利用GeoGebra辅助动点问题教学后，笔者对两个班级106位学生开展了问卷调查，利用“钉钉”平台，问卷包括5个单项选题，回收有效问卷106份，统计分析结果如表1所示。

调查表明，100%的学生有兴趣学习GeoGebra软件，体现学生有自主探究学习的热情，同时，极少部分学生在网课学习抱有“无所谓”的态度，这揭示我们在数学教学中，需要多关注后进生，而大部分学生都对GeoGebra提升数学兴趣和学习效果中的作用给出较好的评价。

五、结束语

动点问题形成函数图像是初中教学的一个难点和热点，广东中考数学的高频考点，务必引起师生的高度重视。在教学中，教师要引导学生善于思考，以GeoGebra数学软件辅助教学，通过教师的演示动点与函数变化规律，在实验演示过程中，学生能够将动点，动线，函数图像可视化，培优学生空间想象力和数学思维能力。因此，教师在教学中合理运用信息技术，使得学生在一个良好的课堂氛围中，促进GeoGebra在动点问题教学的融合，激发学生探究数学问题的兴趣，最终形成较为成熟解决数学问题思维方式及能力。

参考文献：

[1]王吉.GeoGebra可视化在开放教育复变函数教学中的运用[J].武汉工程职业技术学院学报，2020（4）.

[2]刘昌典.借助數学实验实施解题教学[J].中学数学教学参考（中旬），2020（5）.

责任编辑  吴华娣