关于整环上保持逆矩阵的函数

戴娇凤，谭宜家

(福州大学 数学与计算机科学学院，福州 350108)

保持问题是矩阵代数中的重要研究内容之一，它在系统控制、微分方程等领域有着广泛的应用.最早的保持问题出现在1897年，G·Frobenius研究了域上矩阵空间保持行列式的线性算子，获得了n×n复矩阵空间Mn(C)上保持行列式的线性映射f的形式：∀A∈Mn(C)，f(A)=PAQ或f(A)=PATQ，其中:P,Q为Mn(C)中的可逆矩阵，且det(PQ)=1，这里C是复数域(参见文献[1]).

之后，多位学者研究了有关矩阵代数中的保持问题，取得了丰富的研究成果[2-13].2011年，Yao 等[14]研究了保持某种矩阵性质的函数，开辟了研究保持问题的一个新的方向.最近，樊玉环和袁海燕[15]刻画了域上全矩阵空间保持逆矩阵的函数的形式.本文在上述基础上进一步探讨整环上全矩阵空间和上三角矩阵空间的保持逆矩阵的函数，所得结果推广了文献[15]的重要结论.由于整环中的非零元不一定可逆，本文的证明方法与文献[15]有所不同.

1 基本概念与符号

本文中, 如无特别说明，R表示一个含有单位元1的结合环.

一个环R称为整环，如果∀a，b∈R，由ab=0可推出a=0 或b=0，这里0表示环R中的零元.显然，如果R为整环，那么∀a，b，c∈R，a≠0，由ab=ac(或ba=ca)可推出b=c.

设f是R到自身的一个映射，Mn(R)和Tn(R)分别是R上n阶矩阵空间和n阶上三角矩阵空间.∀A∈Mn(R)(或∀A∈Tn(R))，定义f(A)=(f(aij)).

定义1 设f是R到自身的一个映射，如果∀a、b∈R，均有f(a+b)=f(a)+f(b)，f(ab)=f(a)f(b)，则称f是环R的一个自同态.

定义2 设f是R到自身的一个映射，如果∀A、B∈Mn(R)(或∀A、B∈Tn(R))，由AB=En可推出f(A)f(B)=En，则称f是R上n阶矩阵空间(或n阶上三角矩阵空间)的保持逆矩阵的函数, 这里En表示n阶单位矩阵.

2 主要结论

定理1 设R是一个整环,f:R→R是一个映射,n(n≥3)是一个整数,则下列条件等价

1)f是R上n阶矩阵空间Mn(R)的保持逆矩阵的函数；

2)f是R上n阶上三角矩阵空间Tn(R)的保持逆矩阵的函数；

3)f=f(1)δ，其中f(1)2=1，δ是R的非零自同态.

证明：1)⟹2)显然.

2)⟹3)：对于任意x∈R,设

因为f为保持逆矩阵的函数，所以

从而有

f(1)2+f(x)f(0)+(n-2)f(0)2=1

(1)

f(1)2+(n-1)f(0)2=1

(2)

f(1)f(-x)+f(x)f(1)+(n-2)f(0)2=0

(3)

由式(1)、(2)知f(x)f(0)=f(0)2.

如果f(0)≠0，则f(x)=f(0)(因为R是整环)，即对于任意x∈R，均有f(x)=f(0).那么由式(2)得nf(0)2=1,而由式(3)得nf(0)2=0,矛盾，故f(0)=0.因此式(2)变为f(1)2=1，于是f(1)=1或f(1)=-1(因为R是整环)；同时式(3)变为f(1)f(-x)+f(x)f(1)=0，于是f(-x)=-f(x).

进一步，对于任意x,y,z∈R,我们设

那么B1B2=En.

因为f为保持逆矩阵的函数，并且f(0)=0 ，f(-x)=-f(x)，所以

于是, 对于任意x,y,z∈R,均有

f(1)f(xz-y)-f(x)f(z)+f(y)f(1)=0

(4)

如果f(1)=1, 则式(4)变为

f(xz-y)=f(x)f(z)-f(y)

(5)

在式(5)中令y=0,则有f(xz)=f(x)f(z)(因为f(0)=0)；在式(5)中令z=-1,则由f(-x)=-f(x)得f(x+y)=f(x)+f(y).所以f是R的一个非零自同态.

再令δ=f，则f=f(1)δ，并且δ是R的非零自同态.

如果f(1)=-1， 则式(4)变为

-f(xz-y)=f(x)f(z)+f(y)

(6)

现令δ=-f，则δ(1)=1，δ(0)=0，δ(-x)=-δ(x)，此时式(6)变为δ(xz-y)=δ(x)δ(z)-δ(y)，同理可得δ(xz)=δ(x)δ(z)，δ(x+y)=δ(x)+δ(y)，所以δ为R的非零自同态.至于f=f(1)δ是显然的.

3)⟹1)：设f=f(1)δ，其中f(1)2=1，δ是R的非零自同态.因为R是整环，所以f(1)=1或f(1)=-1.如果f(1)=1，那么f=δ.此时f是R的非零自同态，所以f(0)=0.

现设A=(aij)，B=(bij)∈Mn(R)，且AB=En，则有

于是

f(A)f(B)=(f(aij) )n×n(f(bij) )n×n=

f(AB) =f(En)=En.

如果f(1)=-1，那么f=-δ，δ是R的非零自同态，此时

f(A)f(B)=(-δ)(A)(-δ)(B)=δ(A)δ(B)=δ(AB)=δ(En)=En.证毕.

由于任何域是整环，并且域上任何非零自同态为单自同态，在定理1中令f(1)=c.那么由定理1的(1)和(3)，我们有

推论1[15]f是域F上n(n≥3)阶矩阵空间的保持逆矩阵的函数的充要条件是f=cδ，其中c=±1，δ是域F的单自同态.