基于增广最小二乘法的气动位置控制系统参数辨识研究

权 宁

(徐州工业职业技术学院 机电工程学院，江苏 徐州 221000)

引言

气动位置控制系统以压缩空气为动力源，系统具有清洁无污染、结构安装方便、操作方便易维护等优点，在装备制造、自动化、工业机器人等工业领域有着广泛应用[1-3]。但是受到气缸摩擦力、气体可压缩性、气体流量的非线性等诸多外界因素的干扰与影响，致使气动控制系统的连续性和控制精度存在很大问题。基于上述气动控制系统的特点，针对气体流量的非线性、气缸的摩擦力等做了大量研究，并在工业机器人码垛、气动机械手等领域得到应用[4-5]。

1 系统组成与原理

气动位置控制系统主要由气缸、比例流量阀、位置传感器、数据采集卡以及PC组成[8-9]，其主要参数详见表1所示，气动位置控制系统模型如图1所示。

表1 主要元器件型号与参数

图1 气动位置控制系统模型

首先，气动位置控制系统需要PC发出需要跟踪的数字量控制信号，经D/A 转换为模拟信号后驱动比例阀，其调整阀口开合度以达到控制两腔压力，达到控制气缸活塞左右移动的目的。位置传感器检测到的活塞位移信号经A/D转换成数字信号反馈给PC；然后与给定的输入控制信号进行比较得出偏差控制量，再根据偏差控制量调节比例阀的开合度，从而实现对气动位置控制系统给定信号的追踪。

2 数学建模

为便于气动位置控制系统的数学建模，其工作过程中，假设介质为理想气体、气缸无泄漏、容腔内气体压力与温度处处相等、气体流动为等熵绝热过程等。气动伺服系统如果以比例阀输入为整个系统的输入，以滑块位置为系统的输出，可以利用气动系统原理建立输入输出间的分析模型，建模包括流量连续方程、气缸力平衡方程、比例阀口流量方程[10-12]。

2.1 流量连续性方程

根据质量守恒定律，气缸的容腔单位时间里流入或流出的质量流量等于其质量变化率：

(1)

(2)

式中，qm1,qm2—— 气体流入气缸两腔的质量流量

m1,m2—— 气缸两腔的气体质量

ρ1,ρ2—— 气缸两腔的气体密度

V1,V2—— 气缸两腔的气体体积

2.2 气缸力平衡方程

根据牛顿第二定律可得：

(3)

式中，m—— 活塞和负载的总质量

BL—— 负载的黏性阻尼系数

KL—— 负载的弹簧刚度

FL—— 外负载力

A—— 活塞截面面积

p1,p2—— 气缸两腔绝对压力值

其中式(3)摩擦力模型已简化：

2.3 比例阀流量方程

当比例阀的两腔体内气压不同时，必然会导致气体由高压腔向低压腔体流动。根据McCloy和BOBRO提出的阀孔质量流动理论[12-13]，建立以下方程：

(4)

式中，k—— 定压比热和定容比热之比

λ—— 修正指数，一般取λ=0.25

Cf—— 临界压力比

R —— 气体常数

Ts—— 环境温度

ps—— 比例阀的进口压力

p—— 比例阀的出口压力

A(u)—— 比例阀开口面积，由控制信号u来控制将此信号做为二次函数A(u)=k1u2+

k2u

本系统所选用的比例阀两腔开口量相同，因此由比例阀口面积公式得气缸的压力流量方程：

(5)

C2=Cf2;f2(p2)=(ps-p)λ, 其中p一般为大气压。

通过上述方程可知该气动系统属于非线性系统，为便于对系统做定性分析，需要对该系统进行局部线性化处理。

对式(5)比例阀流量方程可做线性处理得：

(6)

联立式(1)～式(6)方程进行拉氏变换，得到该系统的输入u与输出y的传递函数为：

(7)

3 系统辨识

3.1 系统阶次辨识

1)对于白噪声SISO过程模型如下：

(8)

式中，u(k)，z(k)—— 过程的输入输出变量

根据极大似然估计可知AIC准则：

(9)

参数的θn和噪声v(k)方差的极大似然估计值为：

(10)

L—— 数据长度

2)对于有色噪声SISO过程模型如下：

(11)

式中,u(k),z(k)—— 过程的输入输出变量

根据AIC准则原理，可得其对应的准则函数为：

(12)

联立上式(8)～式(12)，根据AIC定阶原理，找到使得AIC(n,m)最小的n,m即为气动位置控制系统模型阶次的估计值。

3.2 增广最小二乘法的系统参数辨识

在气动位置控制系统参数测试数据包括了噪声，采用最小二乘法可以有效对白噪声实现参数的无偏估计，但对有色噪声无法实现参数的无偏估计。增广最小二乘法扩充了参数向量和数据向量的维数，在辨识过程中考虑了噪声模型的参数，可有效实现对有色噪声的无偏估计，通过D(z-1)可将噪声集提到待观测序列中，从而实现了有色噪声到白噪声的转化，最终运用最小二乘法来进行求解。

增广最小二乘法中的噪声模型是平均滑动模型：

A(z-1)z(k)=B(z-1)u(k)+D(z-1)v(k)

(13)

在v(k)未知的情况下，采用增广最小二乘的递推算法(RELS)如下：

(15)

4 实验结果与分析

通过实验发现，采样时间过长会直接影响模型的精度，采样时间过短则会因出现硬件速度和数值计算病态，严重影响模型静态增益的估计值。实验辨识中数据的长度会影响硬件的速度和数值计算以及系统的结构特性；数据较长，对硬件的速度和数值计算要求较高；数据太短，则会因丢失信号信息，导致系统结构不健全。因此，本实验采样时间设定为10 ms，辨识过程设定数据长度为1000。

通过实验验证当对幅值为1000的7级逆M序列的数据系统辨识，通过实验验证对于白噪声模型阶次为3；对于有色噪声模型阶次辨识，最小值为AIC(3,3)，因此该过程模型阶次为3，噪声模型阶次为3。幅值L(ω)为1000的模型参数辨识详见表2，辨识参数迭代过程如图2所示。

表2 幅值为1000的模型参数辨识

图2 幅值为1000的辨识参数迭代过程

通过实验验证当对幅值为1200的7级逆M序列的数据系统辨识，通过实验验证对于白噪声模型阶次为3；对于有色噪声模型阶次辨识，最小值为AIC(5,3)，因此该过程模型阶次为5，噪声模型阶次为3。幅值为1200的模型参数辨识详见表3，辨识参数迭代过程如图3所示。

表3 幅值为1000的模型参数辨识

图3 幅值为1200的辨识参数迭代过程

首先，通过幅值1000长度的数据辨识系统，以得出该系统模型；然后，将剩余1000长度的数据作为系统的输入加入到新的系统模型中；最后，将系统模型的估计值与系统的实际输出数据做比较。由图4可知辨识得到的系统加上输入后，新的输出估计值与系统实际的输出曲线具有较好的一致性，说明该模型稳定性高。

图4 系统模型验证

5 结论