让小学数学思想在课堂中流淌

罗小燕

【摘要】“综合与实践”是小学数学课程内容的四大版块之一，它不仅能帮助学生综合应用学过的知识解决问题，还蕴含丰富的数学思想方法。因此，学生在学习的过程中领悟和运用这些数学思想方法，学会运用数学思维思考问题，解决问题，感悟数学的魅力，从而彰显数学学习的内在价值，进一步提升学生的数学素养。

【关键词】探索图形;小学数学思想;综合与实践

《义务教育小学数学课程标准（2011年版）》提出：“教学中既要注重学生的双基落实，更要积累数学基本活动经验，领悟数学基本思想方法。”史宁中教授认为：“一个好的数学教师，需要理解数学的本质，这个本质就是数学基本思想方法。把握数学基本思想是极为重要的，因为无论是情境的创设，还是问题的提出、思维的引导，都应当源于数学的本质。”人教版小学五年级下册的“探索图形”是一节探索规律类型的“综合与实践”活动课，目的是通过探索“涂色中数正方体个数”规律的活动，进一步加深对正方体特征的理解，积累丰富的数学活动经验，同时，让学生感悟和掌握分类、数形结合、化繁为简等数学思想方法，发展学生的思维能力和问题解决能力，提升学生的数学素养。

一、由“无序”到“有序”——运用分类思考的思想

分类就是具有全面的、有顺序的、有层次的、有逻辑的特征的思考方法。因

此，分类思想是培养学生良好数学思维品质和有条理地思考的重要而有效的方法之一。

片断一：

师：这里有很多棱长是1的小正方体，你能一眼看出一共有几个吗？

（课件动画演示：1000个随意放置的小正方体形成一个大正方体）

师：现在看出来了吗？说说你的想法？

师：如果把这个大正方体的六个面涂上颜色（课件动态演示涂色的过程）请同学们想象一下，每个小正方体的每个面是否都涂上颜色呢？

师：根据这些小正方体表面涂上颜色的情况分类，你认为分几类？分别在什么位置上？（学生独立思考后，在组内交流）。

请学生汇报。

师：每一类小正方体分别有多少个？这节课我们就一起来探索图形中，关于“涂色中数正方体数量”的问题。

上课伊始，笔者课件出示一堆凌乱摆放的小正方体，然后问学生“能一眼看出一共有几个吗？”正当学生感到“山穷水尽疑无路”时，笔者接着课件动态演示1000个凌乱摆放的小正方体由“无序”到“有序”地形成一个棱长为10的大正方体的过程，这时，笔者又问：“现在看出来了吗？”这时，学生很快得出小正方体的总数是1000个，并让学生说出想法。这就把数小正方体数量问题与求正方体体积的方法关联起来，这样不仅巩固所学知识，更凸显“有序”思考的应用价值，从而培养学生有序思考问题的习惯，从而产生“柳暗花明又一村”的体验。面对“给大正方体的表面涂色后，小正方体表面涂色的情况会怎样？”这个复杂问题，通过引导学生应用分类思考的方法，使问题清晰化，从而引出课题。

该环节通过让学生产生一种从杂乱无章的事物中理清头绪，豁然开朗的情感体验，从而感悟分类思想和方法的魅力，让学生的思维能力得以发展，提高解决问题的能力。

二、由“复杂”到“简单”——运用“化繁为简”的思想

以问题驱动为抓手，通过学生动手操作，独立思考，在深入地理解知识的同时，感悟“化繁为简”的思想和方法。它不仅有助于学生数学思维水平的发展与提升，更有利于提高解决繁难问题的能力。

片断二：

师：如果请你来数一数每类正方体的数量，你有什么感受？

师：这个图形太复杂了，不好数。怎么办呢？

师：我们可以访名人拜高手。（课件出示：数学家华罗庚头像）听说过这位名人吗？当我们遇到困难时，华罗庚爷爷说，要知难而——（此时课件显示：知难而“退”）

师：“退”为什么加双引号？

师：退一步想，就是暂时退。数字较大，退一步就变小了;现在复杂，退一步就简单了。华罗庚爷爷说的下半句是：退退退，退到不失事物本质的时候，从头再来，在渐进中寻找规律，并用规律解决问题。这说明“退”是一种策略，它是数学常用的解决问题策略之一，叫做“化繁为简”。（板书：化繁为简）

师：棱长10、9、8退到棱长几最好呢？（课件出示下图）现在，我们先研究这三个图形，你發现了什么？

“化繁为简”是转化（化归）思想的基本形式之一，即把复杂问题不断地拆，不断地化，直到化成一些直观无疑的小问题。在创设“大正方体表面涂色后，四类小正方体分别有多少个？”的问题情境后，笔者紧接着追问：“如果请你来数一数，你有什么感受？”让学生充分地感受到原有的方法和经验解决问题有困难，这时，引出华罗庚爷爷的解决问题策略——知难而“退”，与学生的“知难而进”产生认知冲突，在冲突面前，让学生自己明白“退”的意义。退一步想，退到哪呢？再一次启发学生思考，大胆地退，“退”到最简单的棱长为2的正方体。不仅激发学生探索解决问题新方法的欲望，而且对“化繁为简”的解决问题策略有深刻地体悟，从而引发对“化繁为简”思想的自觉追求。

三、“数”与“形”的统一——运用数形结合的思想

小学生的抽象思维程度不高，在解决复杂、抽象的问题时，往往需要借助

直观图形来解释一些比较抽象的数学事实与规律，使人一目了然。这样有利于抽象逻辑思维和形象思维的协调发展和优化解决问题的方法。

片断三：

1.四人小组合作探索棱长为3、4的正方体涂色情况。

探究活动要求：

（1）小组合作，仔细观察正方体学具中每一类小正方体的位置，数一数每一类小正方体的个数，并填写在表格中。

（2）如果观察计数有困难，可将正方体边拆分边研究。

师：动手操作前，一定要先观察思考，看看哪个小组最先完成学习任务。

（小组合作探究学习，教师巡视辅导，倾听学生的交流）

2.小组汇报研究结果

小组汇报时，重点引导学生讲清一面涂色的小正方体在大正方体的每一个面上有多少个，是怎样计算的，以及没有涂色的小正方体数量是如何得出的，并填写表格第三、四行（见下表第3、4行）。

探索“涂色中数正方体的规律”是本课的难点，笔者给予学生充分的探究时空。学生通过拼摆学具，观察直观图形，想象、数数、计算等方法逐步得出每类涂色小正方体所在大正方体的位置和数量。学生交流汇报时，再结合课件的动态演示，数形结合理解规律。如，棱长为4的正方体中，三面涂色的小正方体在大正方体的顶点位置，正方体有8个顶点，所以有8个。两面涂色的小正方体在大正方体棱上除去两端的位置（课件用红框圈起两个），因为正方体共有12条棱，所以一共有（4-2）×12=24个。一面涂色的小正方体在大正方体每个面除去周边一圈的位置（课件用红框显示），有（4-2）2个，因为正方体有6个面，所以共有（4-2）2×6=24个。学生在探索没有涂色的小正方体数量时，是通过对图形的分拆与复原得出数据的。当学生汇报时，再次通过课件动画演示剥离表面一层，让学生清晰地看出没有涂色的小正方体数量有（4-2）3，即8个。在整个探究和汇报的过程中，都是借助图形的直观性帮助学生解释“涂色中数正方体个数”的规律。以形助数、以数辅形，在学生的直觉思维与逻辑思维之间架起桥梁，可助学生对规律本质的顿悟，使复杂的问题简单化。

数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微。”在拼摆学具，观察直观图形的探究活动中，应用数形结合的思想和方法，不仅使学生关联已有的知识和经验来更好地发现、理解数学规律，从而将复杂的问题简单化，抽象问题具体化，提高学生的学习兴趣。同时，又使学生的思维过程可视化，帮助学生积累直观经验，让学生经历具体到抽象的过程，理解数学的本质。

四、由“经验”到“模型”——运用数学模型的思想

《义务教育小学数学课程标准（2011年版）》明确提出：“模型思想的教学理念和作用，指出模型思想是数学应用和解决问题的核心。”作为一种基本的教育教学理念——模型化思想，应对教学起到引领作用。因此，教学中要重视引导学生建构数学模型，不但要重视其结果，更要关注学生自主建构数学模型的过程。

片断四：

师：我们已经找到棱长是3和4的两组数据。现在，我们让这个正方体再大些！咦？现要的棱长变成几啦？（棱长是5）

师：不操作学具，你们能否找出每类小正方体的数量呢？请用你的眼睛仔细观察，用你的大脑想象思考，小组商量着完成表格（见下表第5行）。

学生汇报。

师：在同学们的努力探究下， 我们已经找出了4组数据，现在我们从上往下观察表格中的数据，发现规律吗？

师：（课件出示）如果一个大正方体的棱长为n，请大家思考一下，它的三面涂色、两面涂色、一面涂色和没有涂色的小正方体数量该怎样表示呢？

学生独立思考，后交流汇报。师将表格补充完整（见下表最后一行）。

师出示图，让学生结合图形解释符号式中的每一部分表示的数学意义和等式意义。

师追问：n最小是几？此时规律还适用吗？

师：同学们，课前“棱长是10的正方体中每类涂色的小正方体的数量各是多少？”的问题现在可以解决吗？请在学习单上完成。

本环节的教学，在学生经过小组合作探索，初步感知规律后，教师要求学生不操作学具，能否找出棱长为5的每类涂色小正方体的个数，来验证猜想的正确性，使学生获得成功的体验，激发探究学习的兴趣和积极性。紧接着，通过追问学生：“如果一个大正方体的棱长为n，请大家思考一下，它的三面涂色、两面涂色、一面涂色和没有涂色的小正方体数量该怎样表示呢？”让学生感受从具体到抽象，从特殊到一般，逐步揭示隐藏在图形之间的数的规律，并用数学化的形式表示规律：所有大正方体（由n3个小正方体拼成）中，三面涂色的小正方体都是8个;两面涂色的小正體为12（n-2）个;一面涂色的小正体为6（n-2）;没有涂色的小正方体为（n-2）3个。在这个过程中，学生经历、体会数学模型的构建过程：提出问题——尝试解决——引发猜想——验证猜想——总结归纳——应用模型，拓宽学生思维的渠道，提高学习数学的兴趣和应用意识，充分彰显探索规律的价值，进一步培养学生的推理能力。

数学思想是数学的灵魂。在教学中，教师要追寻有思想的教学，要有“将无形的数学思想方法贯穿到有形的数学知识”的教学意识。不仅引导学生综合应用所学的知识解决问题，体会探索的乐趣和数学的实际应用，还要运用数学思想和方法，感悟数学的魅力，提高学生的思维能力和问题解决能力，进一步发展学生的数学核心素养。

[本文系广州市黄埔区教育科学“十三五”规划（2020年度）课题“小学数学高年段‘综合与实践’主题活动资源开发的实践研究”（课题编号：2020028）研究成果]

参考文献：

[1]教育部.义务教育小学数学课程标准（2011年版）[S].北京师范大学出版社，2012.

[2]小学数学课程教材研究开发中心.义务教育教科书教师教学用书五年级下册[M].人民教育出版社，2020.

[3]王永春.小学数法核心素养教学论[M].华东师范大学出版社，2019.

责任编辑  杨  杰