均匀带电薄圆盘在垂直于盘面轴线上任一点电场强度的等效算法

杨钧捷 汪 飞

(江苏省海门中学,江苏 南通 226100)

均匀带电薄圆盘在垂直于盘面轴线上任一点的电场强度可以用微积分进行计算,这里介绍一种等效算法来计算均匀带电薄圆盘在垂直于盘面轴线上任一点的电场强度.

图1

例1.如图1所示,圆锥体O-S的顶点为O,底面面积为S,顶角为2θ0,垂直于底面对称轴为y轴,底面的圆心为C、半径为R,AB为底面的直径,OA、OB为圆锥体的母线.以O为球心,OC=a为半径作球面与圆锥体O-S的侧面相交得到相切于圆锥底面的顶角为2θ0、半径为a、面积为S1的球冠面.

若在圆锥底面S处放置电荷面密度为σ的薄圆盘,在球冠面S1处放置电荷面密度同为σ的薄球冠面.各面上电荷不能自由移动.

图2

根据对称性,带电薄圆盘σS在轴线y轴上O处产生的场强沿轴线方向,薄圆盘S上的面元电荷σΔS在O点的场强沿y轴的分量为

可以看出,无穷大均匀带电平面在面外任一点处场强与到平面的距离a无关,即无穷大均匀带电薄平面在面外任意一点的场强是恒定的,方向垂直于平面,与高斯定理分析得到的结论是相同的.[2]

在往年一些省份的高考选择题中也考察了带电圆盘轴线上的场强问题,主要考察特殊值及量纲法分析,这里选用高考题的题干情境利用等效算法进行定量计算.

图3

例2.(2009年北京高考题)如图3所示为一个内、外半径分别为R1和R2的圆环状均匀带电平面,电荷面密度为σ.取环面中心O为原点,以垂直于环面的轴线为x轴.设轴上某点P到O点的的距离为x,求P点处的场强大小.

图4

例3.(2010年福建高考题)如图4所示为两个彼此平行且共轴的半径分别为R1和R2的圆盘,两圆盘的电荷面密度分别为σ1和σ2,两圆盘的圆心O1和O2相距为2a,在圆心连线的中点为O,为使两带电圆盘在O点的合场强为零,则两圆盘的面电荷密度之比应为多少?