关于不定方程组x2-18y2=1与y2-bz2=16的公解

瞿 云 云

(贵州师范大学数学科学学院，贵州 贵阳 550001)

1 主要结论

近年来，关于不定方程组x2-ay2=k与y2-bz2=l(a，b∈Z+，k，l∈Z)的公解问题一直受到人们关注.当(k，l)=(1，1)时，文献[1]证明了当a，b是不同的非零正整数时，x2-ay2=1与y2-bz2=1有至多3组正整数解(x，y，z)；文献[2]证明了当a=4m(m+1)，m，b∈Z+时，x2-ay2=1与y2-bz2=1至多有1组正整数解(x，y，z)；文献[3]证明了当a=4m2-1，m，b∈Z+时，此方程组至多有1组正整数解(x，y，z)；文献[4]得到了对于任意的素数p，x2-24y2=1与y2-pz2=1仅有正整数解(x，y，z，p)=(49，10，3，11)，(485，99，70，2).当(k，l)=(1，4)时，文献[5]讨论了a=2，b=p或pq(p，q是不同的素数)的情形.当(k，l)=(1，16)，a=18时，文献[6]讨论了b=2p1…ps(1≤s≤4)，p1，…，ps是互异的奇素数的情形；文献[7]讨论了b=2n，n∈Z+的情形.本文讨论了b=p(p为任意素数)或b=pq(p

定理1若p为任意素数，则不定方程组

x2-18y2=1与y2-pz2=16

(1)

只有平凡整数解(x，y，z)=(±17，±4，0).

定理2若p，q(p

x2-18y2=1与y2-pqz2=16

(2)

除开对于任意素数p，q有平凡整数解(x，y，z)=(±17，±4，0)外，有1组非平凡整数解(x，y，z)=(±19 601，±4 620，±136)，此时p=2，q=577.

2 若干引理

引理1[8]设k>1是一个整数且k≠169，除开k=2v2，v∈Z的情形，方程x2-(k2-1)y4=1有另一正整数解(x，y)=(8v4-1，2v)之外，此方程仅有正整数解(x，y)=(k，1).

引理2[9]设b，d>1都是非平方的整数，方程b2x4-dy2=1至多有1组正整数解(x，y).

引理4(1) 不定方程x2-332 928y4=1仅有正整数解(x，y)=(577，1)；

(2) 不定方程x2-288y4=1仅有正整数解(x，y)=(17，1)；

(3) 不定方程32X4-2Y2=1仅有正整数解(X，Y)=(1，2)；

(4) 不定方程X2-8Y4=1除开(X，Y)=(3，1)外，无其他正整数解；

(5) 不定方程172X4-2Y2=1仅有正整数解(X，Y)=(1，12)；

(6) 不定方程X4-2Y2=1不存在正整数解.

证明(1) 332 928=5772-1，由引理1可知命题成立.

(2) 288=172-1，由引理1可知命题成立.

(3) 方程32X4-2Y2=1有1组正整数解(X，Y)=(1，2)，由引理2可知命题成立.

(4) 由文献[11]中引理可知命题成立.

(5) 方程172X4-2Y2=1有1组正整数解(X，Y)=(1，12)，由引理2可知命题成立.

其中：ε=γ2，η=δ2.则xn，yn，un，vn具有如下性质：

(1)yn-1=17yn-4xn，yn+1=17yn+4xn，yn+2=577yn+136xn.

(2)y2n≡0(mod136)，y4n+1≡4(mod136)，y4n-1≡132(mod136).

(3) 当n是奇数时，(yn-1，yn+1)=136；当n是偶数时，(yn-1，yn+1)=4.

(6)u2m-1≡0(mod3)，v2m-1≡0(mod2)，u4m-2≡0(mod17)，v4m-2≡0(mod12)，v4m≡0(mod204)，m∈Z+.

证明Pell方程x2-18y2=1，x2-2y2=1的全部非负整数解为(xn，yn)，(un，vn)，n≥0，由数列xn，yn，un，vn的性质可得到性质(1)—(2)，(6)—(7).

(3) 当n是奇数时，令n=2k+1，则由性质(1)—(2)有

(yn-1，yn+1)=(y2k，y2k+2)=(y2k，577y2k+136x2k)=(y2k，136)=136；

当n是偶数时，令n=2k，则由性质(1)—(2)有

(yn-1，yn+1)=(y2k-1，y2k+1)=(y2k-1，577y2k-1+136x2k-1)=(y2k-1，136)=4.

(5) 由于

3 定理的证明

定理1的证明Pell方程x2-18y2=1的全部非负整数解为(xn，yn)，n≥0.设(xn，yn，z)为方程组(1)的非负整数解，由引理5性质(4)可知，

(3)

(4)

或

(5)

其中z=z1z2.

(6)

或

(7)

其中z=z1z2.

定理2的证明Pell方程x2-18y2=1的全部非负整数解为(xn，yn)，n≥0.设(xn，yn，z)为方程组(2)的非负整数解，由引理5性质(5)可知

(8)

情形1n为偶数.令n=2m，m>0，于是由引理5性质(6)及(8)式可得

(9)

情形2n为奇数.令n=2m+1，m≥0，于是由引理5性质(6)及(8)式可得

(10)

当m=0时，由(10)式可得方程组(2)的平凡整数解(x，y，z)=(±17，±4，0)；当m>0时，对m分奇数与偶数两种情形进行讨论.

当m=2k-1，k≥1时，由(10)式得

(11)

当m=2k，k≥1时，由(10)式得

(12)