从教学的时效性谈排列组合教学

李晓丽

【摘要】时效性是课堂教学的生命，是指通过教师在一段时间的教学之后，学生所获得的具体进步或发展。课堂是教师传授知识的第一阵地，数学学科更是如此。中学“排列与组合”这部分内容，一直是学与教的难点，虽然高考中所占比例不大，但试题均很灵活，得分率也比较低。无论教师还是学生，对所遇到的计数问题，大都对自己算出的结果不自信。针对这一现象，笔者尝试从教学的时效性，探讨学生在学习排列组合的过程中怎样提高认知水平、思维能力的一些个人想法同各位交流一下。

【关键词】高中数学;排列组合;计数原理;时效性;能力培养

一、教学时效性

时效性是课堂教学的生命，如何提高数学课堂教学的时效性？这是当前数学课教学的一个重要课题。时效性的核心问题就是教学的效益。主要是指通过教师在一段时间的教学之后，学生所获得的具体进步或发展。学生有无进步或发展是教学有无效益的唯一指标。教学有没有时效，并不是指教师有没有教完内容或教得认真不认真，而是指学生有没有真正学到知识。如果学生不想学或学了没有收获，即使教师教得辛苦也是无效教学。同样，如果学生学得很辛苦，但没有得到应有的发展，也是无效或低效教学。课堂是教师传授知识的第一阵地，数学学科更是如此。笔者作为一名教师，想谈谈在高中排列组合教学中怎样提高数学课堂教学的时效性。

二、高中排列组合教学时效性低，学生错误率高

（一）对分类计数原理和分步计数原理的理解水平不够

分类计数和分步计数是排列组合最基础的原理，学生普遍认为简单，个别题目偏难，是因为学生的分类方法不恰当或分步有偏差。

例1   把1、2、3这三个数字填到下面的九宫格内（如图1），要求同一行，同一列中数字互不相同，问有多少种不同填法？

解析：不妨先填第一行，有A3=6种;从这6种里任选一种固定，比如依次填上1、2、3，对这一种填法，不难发现下面两行只有2种法填，所以共有A3·2=12（种），学生对此种问题处理时主要困难是不会“固定”。

（二）对排列（数）与组合（数）的定义的理解模糊

例2  4个人，平均分成2组，有几种不同的方法？许多学生回答为C4=6（种），原因是他们认为分组就是组合，把组合理解成一个过程，甚至“组合”的词性也发生了变化，由名词变成了动词。对这一点，我更赞成国外一些教科书中对组合的定义：“有限集合叫做组合”。

例如笔者在给高三学生上复习课时给出以下问题：现有6种不同的蔬菜种子，从中选出4种种到4块不同的地上，每块地只限种一种种子，问有多少种不同种法，大多数学生回答是：C6·A4，只有个别人回答是：A6 ，尽管答案都对，显然回答出前面的答案的学生是受到先组后排的解题经验的影响，从而也从另一侧面反映出很多学生对排列数A6的含义并不理解。

对An的解释是：从n个不同元素中取出m个不同的元素占据m个不同的位置，每个元素一个位置，有An种方法.

例3  5个相同的球放到3个不同的盒子，每盒至少一个，有多少种放法？

错误解答：C5C4C3A2A3+C5C4C2A2A3=150（种），错误的原因是没注意元素为相同的，组合数已没有意义了。正确解答：C4=6 （种）（隔板法）。

三、高中排列组合教学时效性低的原因分析

学生之所以在这些看似“简单”的问题上总是错误不断，即便老师讲解多次后仍然屡教不改，究其原因是学生在解题时，不会分析题目中的关键词语：如元素是否相同？位置（容器）是否相同？元素是否可重复？属于哪种组合模式？选择、分割还是分配？所以我在排列组合应用题教学中，不急于教给学生解各類问题的方法，可先让学生广开思路，从不同角度分析问题，再把学生的解题方法汇集起来，然后让大家讨论，哪种方法巧妙，哪种方法带有一般性，是常用方法。颇有收效，下面我重点就两个方面谈点体会。

四、解决高中排列组合教学时效性低的对策

（一）占位子问题可以让学生设身处地的实践

例4  将编号为1、2、3、4、5的五个小球分别放入编号为1、2、3、4、5的五个盒子中，要求两个球与其所在的盒子编号相同，问有多少种不同的放法？

为了让学生参与进来，我将五个学生看作五个小球，五把编号不同的椅子看作五个盒子，再找了一个“排座位者”来安排这五个同学入座。全班同学都在努力的“出谋划策”，很快大家就找到解决问题的方法。先任选两位同学坐在与其编号相同的椅子上，剩下的三位同学只有2种坐法。所以不同的放法有C5·2=20种。

这种让学生“身临其境”的方法能调动学生的主观能动性，在完成课堂教学任务的同时，提高了课堂的时效性。

（二）对组合模型的识别可以让课堂教学事半功倍

简单的组合结构分成三种模型：即选择模型、分配模型和分割模型，比较多的老师在讲解排列组合问题时，往往回避最基本的模型。在面对不同的问题时，不同的老师分类方法不尽相同，甚至某个老师在不同时间讲解某一个问题时，方法也不同。这就会导致学生思维的混乱，在学生做题时很难找到匹配的模式，就是学生学习排列组合应用题难的原因之一。

按三个模型的定义，元素“同”与“不同”，又是两种本质不同的问题;把三种模式组合，又得到综合类型的问题，例如：选择——分配模式、分割——分配模式。

按照此种分类方法，学生对学习排列组合应用题思路比较清晰，笔者按这种分类方法施教的过程中，学生学得比较轻松。中学里的许多经典题目就变为这些模型的实例：

例 5本不同的书，按下列条件，各有多少种分法？

（1）分给甲1本，乙3本;（分割——分配模式）

（2）分成二堆，一堆1本、一堆3本;（分割模式）

（3）分给甲、乙两人，一人1本、一人3本;（分割——分配模式）

显然，这种问题分类方法简单、清晰、易教、易懂。可以摆脱教科书中那个晦涩的定义的干扰，让学生理解更清晰，当再次遇到这类问题时解题思路不会受阻。在课堂上，引导学生通过观察、猜测、实验等手段，让学生主动探讨问题，不仅有利于教师引导，而且也有助于学生形成较高层次的认知，提高逻辑思维能力，激发学习数学的兴趣，从而提高我们老师的教学时效性。

【参考文献】

[1] 浅谈高中数学排列组合应用题的几种常见解法[J].时代教育（教育教学版），2010（8） .

[2] 浅谈排列组合教学中数学思维方法的培养. 中国科教创新导刊 2010（4）

[3]  张书乐.从“排列组合” 到“3G for all”，2009年6月20日

[4]  叶上雄.中学教育学.北京：高等教育出版社，2005

[5]  欧阳绛.思维的技巧.北京：当代中国出版社，2002

（责任编辑：王增海）