基于熵权法的组合预测模型在路基沉降中的应用

李 文

(1.湖南理大交通科技发展有限公司， 湖南 长沙 410006; 2.湖南交通职业技术学院， 湖南 长沙 410006)

0 引言

目前，公路路基沉降的预测主要是根据积累的实测数据，通过合适的模型进行拟合分析，实现沉降预测，其预测效果主要取决于实测数据的准确性和模型选取的合理性。路基沉降变化在不同施工阶段内有明显差异，因此，在构建预测模型时可以考虑对多个单一预测模型进行组合，通过合理的权重分配来综合各单项模型优势，取长补短[1-4]。本文根据项目路基沉降曲线的变化特点，研究不同施工阶段内单一预测模型的拟合效果和误差，对模型精度和适用性进行分析，以期找到一种科学、准确的预测方法。

1 工程概况

湖北省某在建高速公路，其路线地处长江中下游地区，所经区域以农田为主，局部沟塘较多，部分路段为软土地基。经勘查分析，原地基存在软弱夹层，不同路段地基土性质差异性较大，主要不良地质情况为软土，该类土以淤泥、淤泥质土等为主，具有含水量高、压缩性高、强度低等特点，由于地基在附加应力作用下发生排水固结，容易产生较大的沉降变形或差异沉降。

本项目软基采取了分段、分措施处治，为了使沉降数据具有代表性，更好地反映本项目路基沉降的规律和特性，分别选取了3个典型填方断面的沉降实测数据进行分析，典型断面基本情况如表1所示。

表1 典型断面基本信息典型断面桩号填土高度/m处治方案1K12+4023.72砂垫层加超载预压2K12+4764.58水泥粉喷桩3K12+5054.83粉喷桩加等载预压

软土路基在填筑过程中，随着填土高度增加，荷载不断增大，地基在附加应力作用下会发生排水固结，使整个路基出现持续沉降变形。其中，中桩位置沉降量要大于路肩处，因此可选取断面中桩位置处的沉降数据对沉降过程和规律进行分析，典型断面观测点的实测累计沉降量与时间变化曲线如图1所示。

图1 实测累计沉降-时间变化曲线

由图1沉降变化曲线可知，不同处治措施的3个点位处的沉降变化趋势基本相同。其累计沉降变化过程主要分为3个阶段，分别为填筑期、恒载期和稳定期。路基填筑期为0～120 d，该阶段路基沉降速度较快，变化明显；恒载期为路基填筑完成后的3个月左右(120～220 d)，沉降速率逐渐降低；稳定期为220～380 d，此时沉降速率较小，沉降曲线也开始收敛，最终在380 d后达到基本稳定状态。

2 单一预测模型效果分析

结合本项目沉降曲线特点，参考同类型项目经验，选择项目所在地区工程实践中较为常用的2种单一模型，即灰色GM(1，1)模型和Verhulst模型，分别就不同施工阶段的沉降曲线进行拟合，对预测模型的特点和适用性进行分析。

2.1 单一预测模型

2.1.1GM(1，1)模型

GM(1，1)其预测值可以认为是预测曲线下最优曲线的延伸，该模型具有无限增长的性质，模型表达式如下：

k=2，3，…，n

(1)

2.1.2灰色Verhulst模型

灰色Verhulst模型曲线呈“S”形，可反映路基沉降由前期加速变形到最终趋于稳定的趋势。Verhulst模型离散响应方程如下[6]：

(k=1，2，…，n)

(2)

式中:a、b为拟合参数，S(1)为原始沉降观测数据，S(0)为S(1)经一次累减生成新数列，S(k)为第k次沉降数据。

2.2 实测数据等时距处理

由于现场实测沉降数据的时间间隔不一致，需要对原始数据进行等时距处理，本文采用拉格朗日插值方法，分别计算各个断面等时距各天的沉降值[5]。

非等时距沉降增量时间序列为：

(3)

(4)

(5)

t=n时：

(6)

当t=2，3，…，n-1时，利用拉格朗日插值函数分段线形插值计算如下：

(7)

因此，等时距沉降数据时间序列：

(8)

按上述时距处理方法，选取沉降变化较大且特征较为明显的3#断面进行分析，以20 d为单位对原始数据等时距处理，等时距沉降数据如表2。

表2 3#断面等时距处理后的沉降值序号时间/d累计沉降/mm序号时间/d累计沉降/mm12031.4611220108.7024056.0212240109.7136069.7413260110.8348080.3314280111.61510088.0315300111.96612094.1816320112.20714098.6717340112.708160102.2718360113.349180105.2719380114.0010200107.50

2.3 单一预测模型阶段预测效果

分别选取不同施工阶段内，累积实测数据序列中靠前的数据为样本计算模型参数，并预留1组数据与模型预测值进行比对对单个预测模型的适用性和效果进行分析。

对填筑期6组沉降数据进行回归分析(见表3),模型拟合相对误差对比见图2。

表3 填筑期单一预测模型分析结果序号天数/d实测值/mmGM(1,1)模型Verhulst模型拟合值/mm相对误差/%拟合值/mm相对误差/%12031.4631.46—31.460 0—24056.0258.594.5951.966 7-7.2436069.7467.54-3.1569.972 50.3348080.3377.85-3.0981.060 10.91510088.0389.731.9386.469 1-1.77612094.18103.43(预测值)9.8289.767 2(预测值)-4.69

图2 填筑期预测模型拟合相对误差

由表3可以看出，路基填筑阶段采用GM(1,1)模型和Verhulst模型进行拟合，二者拟合值的相对误差均保持在10%以内，整体预测效果较好。GM(1，1)模型拟合值变化速率较大，主要表现为正向偏大，而Verhulst模型拟合值整体偏小且变化较平稳。根据图2，对模型的相对误差进行对比发现，2种模型的相对误差正负走向相反，存在误差的互补可能性。

路基持续填筑至设计高度后停止填土，直至铺筑路面前，此时荷载处于相对稳定，进入恒载状态，对该阶段内的12组沉降数据进行回归分析(见表4)，模型拟合相对误差对比见图3。

由表4和图3可以看出，进入恒载期后，随着实测数据的增多，GM(1，1)和Verhulst模型的平均相对误差分别为6.70%和4.51%，拟合效果有一定的提升。对单点预测值(12号)进行分析可知，GM(1,1)模型的预测值为123.43 mm，相对误差为12.51%，Verhulst模型预测值为106.51 mm，相对误差为-2.92%，从误差绝对值上看，GM(1,1)模型预测值明显偏大，Verhulst模型更接近实测值，但预测值较小，结果偏保守。

表4 恒载期单一预测模型分析结果序号天数/d实测值/mmGM(1,1)模型Verhulst模型拟合值/mm相对误差/%拟合值/mm相对误差/%12031.4631.46—31.46—24056.0269.5224.1046.60-16.8236069.7473.635.5862.92-9.7848080.3377.98-2.9377.58-3.42510088.0382.59-6.1888.720.78612094.1887.47-7.1296.182.12714098.6792.63-6.12100.742.108160102.2798.11-4.07103.381.099180105.27103.90-1.30104.87-0.3810200107.50110.042.36105.69-1.6811220108.70116.547.21106.13-2.3612240109.71123.43(预测值)12.51106.51(预测值)-2.92

图3 恒载期预测模型拟合相对误差

在施工完成后路基进入稳定期并逐渐达到基本稳定状态，此时沉降速率逐渐趋近为0，累积沉降曲线尾端开始收敛，对路基填筑至稳定期内的全过程的18组沉降数据进行回归分析(见表5)，模型拟合相对误差对比见图4。

由表5和图4分析可知，以该断面路基沉降全过程数据为样本进行预测时，2种模型的早期拟合数据变化速率较快，具有较明显上升趋势，中后期变化速率相对降低，但GM(1,1)模型仍保持持续增长，Verhulst模型则逐渐收敛。从后3组预测值可以看出，GM(1,1)模型预测值增长速度仍然较大，而Verhulst模型增速则趋近0，与现场实际情况相符，整体上Verhulst模型拟合效果较好，更适用于中长期预测。

表5 沉降全过程单一预测模型分析结果序号天数/d实测值/mmGM(1,1)模型Verhulst模型拟合值/mm相对误差/%拟合值/mm相对误差/%12031.4631.46—31.46—24056.0279.3641.6645.09-19.5136069.7481.5716.9660.15-13.7548080.3383.844.3774.52-7.23510088.0386.18-2.1086.46-1.78612094.1888.58-5.9595.281.17714098.6791.04-7.73101.242.608160102.2793.58-8.50105.042.719180105.2796.18-8.63107.371.9910200107.5098.86-8.04108.761.1711220108.70101.61-6.52109.580.8112240109.71104.44-4.80110.060.3213260110.83107.35-3.14110.34-0.4414280111.61110.33-1.15110.50-0.9915300111.96113.411.30110.60-1.2116320112.20116.563.89110.65-1.3817340112.70119.816.31110.68-1.7918360113.34123.148.65110.70-2.3319380114.00126.571 2(预测值)11.03110.717 4(预测值)-2.8820400-130.094 8(预测值)110.720 9(预测值)21420-133.716 4(预测值)110.722 9(预测值)

图4 沉降全过程预测模型拟合相对误差

综上所述，在不同路基施工阶段中沉降表现出一定的阶段性，GM(1，1)模型能够较好的反映路基填筑期沉降变化，Verhulst模型则更适合中长期预测。在不同的沉降阶段，2种预测模型相对误差变化趋势不同，GM(1，1)模型误差较大，且主要为正向增加，Verhulst模型整体误差较小，拟合值也相对偏小，二者适用范围且具有一定的互补性。

3 熵权法组合预测模型

3.1 组合模型构建

通过对2种模型拟合值效果和误差进行分析，考虑预测拟合值与实测值之间的残差及相对误差之间具有不确定性特点，采用熵权法来构建组合模型，提高预测精度和模型的适用范围。熵权法的基本原理是用熵来表征系统无序程度，如果指标的信息熵越小，该指标提供的信息量越大且权重越大。熵权法中对于某预测问题，选用的第i种单项预测模型在第t时刻得到的预测值与实测值之间的相对误差可表达为：

(9)

式中：i=(1，2，3,…,m)；t=(1，2，3,…,n)；xit为第i种单项预测方法在第t时刻得到的预测值。

权值具体计算方法如下：

1) 计算第i种单项预测方法的预测值与实测值在t时刻的相对误差比重

(10)

(11)

2) 根据熵值与其变异程度相反的原则，求相对误差变异系数

di=1-hi

(12)

3) 再得单项预测模型的加权值

(13)

由式(13)计算出权系数后，组合预测模型表达式为：

(14)

单项预测误差序列的熵值越大，其变异程度越小、权值越大。熵权法充分考虑了不同预测方法相对误差的大小，对组合预测模型的权重进行分配，使单一模型之间能够相互补充，权值确定结果，见表6。

3.2 预测模型效果对比分析

本文选用的预测模型均属于曲线回归法，即基于实测数据采用回归计算的方法反算模型参数，可采用相关系数和相对误差对模型精度进行评价，根据熵权法确定GM(1，1)模型和Verhulst模型的权重值，计算相关系数R和预测值的相对误差结果见表7。

表6 权值计算结果预测模型权值分配填筑期填筑-恒载期全过程GM(1,1)模型0.3590.3960.403Verhulst模型0.6410.6040.597

表7 组合模型和单一模型效果评定预测模型填筑期填筑-恒载期全周期相关系数R相对误差/%相关系数R相对误差/%相关系数R相对误差/%GM(1,1)模型0.970 5 9.820.901 2 10.300.837 8 11.03Verhulst模型0.987 9 -4.690.991 2 -2.920.990 8 -2.88组合模型0.999 7 1.060.994 2 2.320.993 9 2.02

由表7可知，组合模型在路基沉降各个时期中较单一模型而言具有良好的拟合效果，且预测值相对误差保持在2%左右，相关系数R值保持在0.99以上，具有较高的预测精度。组合模型曲线变化由权系数分配较大的单一预测模型控制，另一种模型作为完善和补充，使组合模型曲线与实测结果更为接近，体现了组合预测模型的优越性。此外，组合模型可根据实测数据的变化特点，对权重分配和调整，具备良好的适用性。

4 结论

本文根据路基沉降实测数据变化特点，按施工阶段的不同，对灰色GM(1,1)和Verhulst 2种模型的拟合效果和适用性进行了分析，并对预测值与实测值之间相对误差进行了研究，构建了组合模型，主要结论如下：

1) 该项目路基累计沉降变化具有明显的阶段变化，GM(1，1)模型能够较好的反映路基填筑期的沉降变化，而Verhulst模型则更适用于中长期预测。从模型整体的相对误差进行对比发现GM(1，1)模型相对误差较大，Verhulst模型误差较小，2种中预测模型相对误差变化不同，具有一定的互补性。

2) 基于熵权法构建的组合预测模型具有可行性和有效性，权值确定过程中考虑单一预测模型中预测值与实测值的相对误差不确定性，综合了单一模型的优势，预测效果有明显提升。验证结果表明，组合模型在路基沉降的各阶段中均有较好地拟合效果，预测值相对误差保持在2%左右。同时，组合模型可根据项目沉降曲线的变化特点，对权重进行灵活调整，具备更好的适用性，可为同类型路基沉降预测提供参考。