基于L2范数实际重要性的MEWMA在线控制图*

廖玉琼,訾雪旻

(天津职业技术师范大学理学院，天津 300222)

1 问题描述

生产过程中需要对各个阶段进行评估和监控，实现对过程质量有效评价的同时尽早发现异常，并给出预警信号.Shewhart[1]首先提出了用于生产过程监控的控制图.这种质量控制技术已在世界范围内推广应用.但Shewhart控制图对中、小漂移始终不能达到很好的监控效果，Roberts[2]于1959年提出指数加权移动平均(EWMA)控制图.在大规模生产中，影响过程质量的许多变量往往是相互关联的.Lowry[3](1992)提出的多元指数加权移动平均(MEWMA)控制图可用于同时监测多个相关过程变量，Runger与Prabhu(1997)[4]，Michael(2008)[5]和Zou(2013)[6]等人讨论了关于这一主题的大量文献.上述介绍的方法都依赖于经典假设检验，而在实践中，并不需要尽快检测到这些微小的偏差.如Box等人(2003～2004)指出，“被监测的系统(工厂)要么是‘好的’要么是‘坏的’的想法过于简单化.”在这样的情况下，Dett[8](2016)研究了带有可容许度的检验问题，克服了标准假设检验带来的不足.在Woodall[9](2013)重新思考控制图的文章中，可以找到文献综述，描述了如何使控制图具有实际重要性，而不仅仅是统计重要性.这种想法并不完全是新的，但有关于此的在线监控问题，迄今还没有被讨论.本文将结合实际情况，提出一种基于L2范数和具有可容许度的MEWMA在线控制图，来监控具有实际重要性的变化.通过模拟研究，说明应用该MEWMA控制图能有效降低在监控过程中的误报发生次数，提高在线监控效率.

2 MEWMA控制图

在MEWMA控制图中，假设Xi=(Xi1,Xi2,…,Xip)T，(i=1,2,…,)是从监控过程中选取的p维相关质量特征的第i个测量值，其中Xij是第j个特征的第i个测量值(j=1,2,…,p).假设Xi相互独立，且服从p维正态分布，即Xi～Np(μ0,Σ).其中μ0是可控状态下质量特征的均值向量；Σ为可控状态下质量特征的协方差矩阵.则MEWMA控制图的加权值Zi为：

Zi=RXi+(I-R)Zi-1

(1)

式中Z0=0(零矢量)，I是单位矩阵且R=diag(r1,r2,…,rp)，0

r1=r2=…=rp=r.此时，加权值Zi可以简化成：

Zi=rXi+(1-r)Zi-1

(2)

当过程发生漂移μ时，非中心参数为：

δ=(μ-μ0)TΣ-1(μ-μ0)

(3)

MEWMA控制图的控制统计量为：

(4)

当Qi>H时，MEWMA控制图给出一个失控信号.其中H(>0)是满足某一给定可控平均运行长度(ARL0)而选取的上控制限.ΣZi是Zi的协方差矩阵，也就是：

ΣZi={r[1-(1-r)2i]/(2-r)}Σ

(5)

一般采用其渐进形式(i→∞)：

ΣZi={r/(2-r)}Σ

(6)

3 实际重要性

H0∶μ=μ0↔H1∶μ≠μ0

(7)

假设一列Xi，i=1,2,…来自一生产过程中，则在线监控过程如下：

(8)

式中μ≠μ0，τ为未知的正整数.如果原假设成立，则生产线工作正常，如果备择假设成立，则希望控制图尽早地检测出漂移的发生及其时间.然而，上述经典假设不具有实际重要性，经常容易发生错误报警.如果错误报警次数太多，则警报往往被忽略，监控将变得无效.在医院重症监护室中，需要连续监控血氧饱和度、心率、心脏电描记、血压、温度和液体状态等多个变量.以成人收缩血压为例，当患者测量值在区间(90,140)mmHg内，则患者正常，否则，监控设备会通知护理人员.而在实际情况中，可能由于患者的移动等人为因素导致传感器的失效，产生过于频繁的错误报警.这些报警不仅对患者和护理人员是一种困扰；它们还可能危及患者的安全和患者护理的有效性.引入可容许度的检验问题，可以解决标准假设检验带来的缺陷.我们不再是快速检测患者血压在区间(90,140)mmHg内的漂移，而是快速检测到超过165 mmHg或低于65 mmHg的漂移.因此，根据实际需要，我们设计出一类新的控制图.它既能保证有效的降低错误报警的发生，又能快速检测过程发生的重要变化.本文基于带有可容许度的假设：

H0∶‖μ-μ0‖≤Δ↔H1∶‖μ-μ0‖>Δ

(9)

其中初始值μ0通常取零矢量，μ为带有漂移的均值矢量，‖·‖表示参数空间上的范数，Δ(>0)是一个预先设定的常数，表示实际情况中能接受的“最大”变化.

4 基于L2范数实际重要性的MEWMA控制图

(10)

结合实际重要性和预先设定的ARL0，本文的目标是找到L，使得

(11)

式中E0表示接受可控状态下的期望，检测变化值‖δ‖≤Δ，则δ表示可控状态下的均值.考虑MEWMA控制图的典型示例，Lowry (1992年)中控制图的表现仅与非中心性参数δTΣ-1δ的函数有关.此外，我们通常需要在实际应用中根据使用的难易程度来选取范数.从学习理论的角度来说，L2范数可以防止过拟合，提升模型的泛化能力；从优化或者数值计算的角度来说，L2范数有助于处理条件数不好的情况下矩阵求逆很困难的问题.从而，本文将该范数取为标准的L2范数，希望找到L，使得

(12)

等同于解决失控情形下的：

(13)

式中δ应该与特征向量的方向相同，该特征向量对应于Σ的最小特征值，用γ1表示.因此，当漂移为δ时，通过取δ=Δγ1，我们可以将其等价于MEWMA控制图在给定失控状态下的ARL，通过二分法重新调整找到L的过程.

5 模拟研究

表1 不同平滑参数r和可容许度Δ情况下的控制限L和平均运行长度ARL

表1中，在光滑参数r和漂移δ一定时，随着可容许度Δ的增大，MEWMA控制图的控制限L也逐渐增大.结果表明，带有可容许度(Δ>0)的MEWMA控制图监控效果优于不带有可容许度(Δ=0)的MEWMA控制图.而且，在考虑具有可容许度的情况下(Δ>0),对于每组固定的r和δ，都能找到一个Δ的最优值(用黑色加粗表示)，它在所示的选择中提供了最小的ARL.以r=0.1，δ=0.1为例，当Δ=0.1,0.2,0.3,0.4,0.5时，对应的控制限逐渐增大，分别为8.71,9.89,12.90,16.95,22.02.其中，当Δ=0时，其OC ARL为157.49，当Δ=0.1,0.2,0.3,0.4时，其OC ARL 分别为64.62,63.49,58.78,61.49.从中发现带有可容许度的OC ARL都低于不带有可容许度的OC ARL，且Δ的最优值为0.3.验证了在r和δ一定时，具有实际重要性MEWMA控制图的有效性.对于所有固定的r和δ，都能得到相似的结论.

此外，本文给出了基于可容许度Δ的平滑参数r的可适应性的选择.可容许度Δ的最优值随着平滑参数r的增大而增大.由表1知，当平滑参数r=0.1时，发生中、小漂移δ=0.1,0.2,0.3的OC ARL分别为58.78、28.81和18.06，其最佳的可容许度Δ约为0.2；发生大漂移δ=0.4,0.6,0.8,1.0的OC ARL分别为12.34、7.68、5.51和4.40，其最佳的可容许度Δ约为0.1.同样地，当平滑参数r=0.2时，产生中、小漂移的最佳的可容许度Δ在[0.2,0.3]之间；其大漂移的最佳的可容许度Δ在[0.1,0.2]之间.当平滑参数r=0.4时，它的中、小漂移的最佳的可容许度Δ在[0.3,0.4]之间；其大漂移的最佳的可容许度Δ在[0.2,0.3]之间.可以表明随着r的增加，Δ的最优值也是逐渐增大的.

6 结论

本文将数据实际重要性和MEWMA控制图相结合，克服了传统控制图对漂移过分灵敏的缺点.研究发现，可容许度Δ的最优值随着平滑参数r的增大而略微增大.据此给出了不同的漂移情况下 ，MEWMA 控制图参数选择的小范围建议，对于进一步提升 MEWMA控制图的监控表现具有一定的指导意义.今后将对基于L2范数实际重要性的研究拓展到累积和(CUSUM)等其他控制图.