曲线定点张定角 指点迷津富瑞吉——以2020年新高考山东卷为例

安徽省合肥市第一中学(230601) 丁毓琪

2020年, 山东及海南率先使用新高考Ⅰ卷.其中,第22题因其考察的综合性和不俗的运算量,对学生的逻辑推理能力、转化与化归能力和运算能力都提出了很高的要求.题目如下:

题目(2020年高考山东卷)已知椭圆C:=1(a ＞b ＞0)的离心率为且过点A(2,1).

(1)求C的方程;

(2)点M,N在C上,且AM⊥AN,AD⊥MN,D为垂足.证明:存在定点Q,使得|DQ|为定值.

解(1)易得椭圆C的方程为

(2)①当直线MN的斜率存在时, 设其方程为y=kx+m,联立得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-6 = 0,由Δ = (4km)2-4(2k2+1)(2m2-6)＞0,知m2＜8k2+3,设M(x1,y1),N(x2,y2),则

因为AM⊥AN,所以

即(k2+1)x1x2+(km-k-2)(x1+x2)+m2-2m+5=0,

所以(k2+1)·+(km-k-2)(-)+m2-2m+5 = 0, 化简整理得, 4k2+8km+3m2-2m-1 =(2k+m -1)(2k+ 3m+ 1)= 0, 所以m= 1-2k或

当m= 1-2k时,y=kx-2k+1,过定点A(2,1),不符合题意,舍去;当m=时,y=kx-,过定点设D(x0,y0),则y0=kx0+m.

(i)若k ̸= 0, 因为AD⊥MN, 所以k·=-1,解得所以

所以点D在以为圆心,为半径的圆上,故存在使得|DQ|=为定值.

(ii)若k=0,则直线MN:y=因为AD⊥MN,所以所以|DQ|=为定值.

②当直线MN的斜率不存在时, 设其方程为x=t,M(t,s),N(t,-s),且=1,因为AM⊥AN,所以

运算何其浩繁,让多少考生铩羽而归.事实上,本题的核心在于说明直线MN过定点P,因此点D在以AP为直径的圆上运动.而对于过定点张直角的二次曲线弦问题是解析几何上一类非常常见的考题,广泛出现在高考及各类考试上.本文拟就此类问题提出一般性的解法,并做推广.

而对于常见的二次曲线,其实本类问题都有定论.但常规方法是假设直线的斜截式方程,联立椭圆方程与直线方程,消元y后,由韦达定理并利用向量数量积形式表示垂直关系,计算量蔚为大观.这是本类问题频繁出现的原因,但由于庞大的计算量也让学生苦不堪言.

事实上,该题的题设条件可视为富瑞吉定理的特殊情形,表述如下:

性质1(福瑞吉定理的特殊情形)设椭圆方程C:= 1(a ＞b ＞0)上有定点A(x0,y0), 不过点A的直线l交椭圆C于M,N两点,则AM⊥AN的充要条件为直线l恒过定点

证明1设l:y=kx+m与椭圆方程b2x2+a2y2=a2b2分别交于M(x1,y1),N(x2,y2)两点.联立可得:(b2+a2k2)x2+ 2a2kmx+a2(m2- b2)= 0, 由Δ = (2a2km)2-4(b2+a2k2)a2(m2-b2)＞0, 知m2＜a2k2+b2.则x1+x2=,x1·x2=由得,

化简可得:

即

因为y0-m-kx0̸= 0,所以b2(y0-m+kx0)-a2(m+kx0+y0)= 0,可得所以直线l恒过定点

这种常规方法是众多考试中,通常会考察的类型.然而,我们不禁要追问,能否有更加简便普适的方法来解决该类问题? 事实上,对于二次曲线上一点A,对此点张直角的直线恒过定点的结论,称为富瑞吉定理[1].

证明2选二次曲线上定点O为坐标原点建立坐标系,设经过原点的二次曲线的一般方程是Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey=0,不过原点的直线l:mx+ny=1 与二次曲线相交于M,N两点.

可得

即

我们不妨以富瑞吉定理来解决这道高考题:

以定点A为原点建立直角坐标系, 则该椭圆方程是= 1, 即x2+2y2-4x-4y= 0, 由富瑞吉定理知直线过定点从而,在原直角坐标系下直线lMN过定点即可知动点D在以AP为直径的圆上运动,所以点D与AP中点Q点距离为定值

与常规方法相比,富瑞吉定理无疑是大大简化了运算过程,并且可以对该类问题提出通用的解决办法,统一处理各种曲线.

我们甚至惊喜地发现,该方法甚至可以推广到定角不为直角的情况,对于二次曲线上过定点的两条弦张定角(设定角正切值是t),由=t,只需借助韦达定理即可求解.

但是对于二次曲线上过定点的两条弦张直角问题,值得注意的一点是,对于平面上任意一点,是否总能过该点做两条互相垂直的弦且与二次曲线相交? 显然,其临界条件是过该点的两条切线互相垂直.而对于二次曲线,任意两条互相垂直的切线的交点轨迹是圆,即蒙日圆[2].

证明设两条直线相交于点A(x0,y0), 切线斜率是k,y-y0=k(x-x0).联立直线与椭圆方程可得:

由直线与椭圆相切,得

化简得:(a2- x20)k2+ 2x0y0k+b2-= 0, 显然该方程有两根k1,k2,k1·k2=-1, 即=-1, 化简得x2+y2=a2+b2.

抛物线y2= 2px(p ＞0)上任意两点做抛物线的切线,两切线交点的轨迹是准线x=

我们以如下高考题为例来说明蒙日圆的应用:

例1(2014年高考广东卷理科第20 题)已知椭圆C:= 1(a ＞b ＞0)的右焦点为离心率为

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)若动点P(x0,y0)为椭圆C外一点,且点P到椭圆C的两条切线相互垂直,求点P的轨迹方程.

解(1)易得椭圆方程为

(2)显然点P在椭圆C的蒙日圆上, 所以点P轨迹是x2+y2=9+4,即x2+y2=13.

由上述例题可知,若是师生在高三总复习中,提纲挈领,集中解决与富瑞吉定理、蒙日圆相关的问题,必然会有良好的收效.在复习时间紧张的高三,综合统一解决一类问题的教学策略,更易获得学子们的青睐.