空时分数阶simplified modified Camassa-Holm方程的新精确解

黄 春

（四川职业技术学院教师教育系，四川遂宁629000）

分数阶偏微分方程是整数阶微分方程的推广，它能更准确地描述现实中的物理现象，并能够深刻反映物体内在性质。分数阶偏微分方程在金融学、通信、生物学、流体力学等众多领域有着广泛的应用，因此研究分数阶偏微分方程的性质以及解的情况具有重要的意义。

1 构建分数阶偏微分方程精确解

构建分数阶偏微分方程精确解的方法主要包括：(G′/G)-展开法［1-2］、指数函数法［3-4］、Riccati函数展开法［5-6］、首次积分法［7-10］等。

考虑如下空时分数阶simplified modified Camassa-Holm方程［11-12］：

其中：0＜α＜1,p,q为实参数，是修正的Riemann-Liouville 分数阶导数［13］。修正的Riemann-Liouville分数阶导数由下式定义：

其中 Γ (·) 为Gamma函数，定义为：

修正的Riemann-Liouville分数阶导数具有如下性质：

Camassa-Holm方程是完全可积系统，具有哈密顿结构和无穷多守恒律，是一类非常奇特和重要的孤立波方程，该模型具有广泛的应用背景。整数阶simplified modified Camassa-Holm 方程的精确解可以用指数函数法［14］、(G′/G)-展开法［15］等求解。文献［11-12］分别通过Tanh函数展开法和直接代数方法得到空时分数阶simplified modified Camassa-Holm 方程的一些精确解。本文拟用Riemann-Liouville分数阶导数与首次积分法相结合，求解空时分数阶simplified modified Camassa-Holm方程的新精确解。

2 方法简述

定理2.1(除法定理)［16］假设P(w,z)，Q(w,z)是复数域C(w,z)上的多项式，并且P(w,z)在C(w,z)上是不可约的。如果Q(w,z)包含P(w,z)的全部零点，那么在复数域C(w,z)上存在一个多项式G(w,z)使得

下面是首次积分法求解分数阶偏微分方程的主要步骤.考虑如下分数阶偏微分方程：

步骤1 作复变换

这里k,r为常数。

将（9）式代入方程（8）中，方程（8）转化为只含变量ξ的常微分方程：

步骤 2 引入两个新的独立变量X(ξ) =u(ξ) ,Y(ξ)=u'(ξ),则方程(10)等价于一阶常微分方程组

步骤3 设(11)式的首次积分形式为：

这里ai(X)(i=0,1,2, … ,m)是实数域上的待定多项式。由除法定理，存在实数域上的多项式g(X)，h(X)，使得

由（13）式可以确定多项式g(X)，h(X)，进而求出Q(X,Y)。

步骤4 将X(ξ) =u(ξ) ,Y(ξ)=u'(ξ)代入（12）式，解之即可得方程（8）的精确解。

3 运用与结果

对方程（1）作复变换，方程（1）转化为常微分方程：

将方程（14）两边同时积分一次，取积分常数为零得：

令X(ξ) =u(ξ) ,Y(ξ)=u'(ξ),则方程（15）等价于

由首次积分法，假定X(ξ)和Y(ξ)方程（16）的非平凡解，则方程（16）的首次积分形式为

其中ai(X)(i=0,1,2...,m)关于X(ξ)的多 项式且a m(X) ≠ 0.由除法定理，存在复数域上的多项式g(X) +h(X)Y(ξ)，使得

仅考虑（18）式中的两种情况，即假定m=1和m=2.

情形1 当m=1 时，则有

将（19）式代入（18）式后比较等式两边Yi(i=0,1) 的系数得

因ai(X)(i=0,1) 是关于X(ξ)的多项式，由（22）式可知a1(X)必是一个常数且h(X)=0.为运算简便，不妨取a1(X)=1. 通过平衡（21）式中g(X)和a0(X)的次数，可得deg[g(X)]=1 ，deg[a0(X)]=2. 假设g(X)=A1X+B0，且A1≠0.则有

其中A0为积分常数。

将a0(X),a1(X),g(X)代入（20）式并比较Xi(ξ)对应项的系数可以得到

从而（16）式有下面的首次积分：

将X(ξ) =u(ξ) ,Y(ξ)=u'(ξ),代入（25）式有

方程（26）是著名的Riccati 方程，即V'(ξ)=α0+α1V(ξ)+α2V2(ξ)，其中α0,α1,α2是常数，α2≠0，Riccati方程有以下解：

(ⅰ)如果Δ=α21-4α0α2＞0，则

(ⅱ)如果Δ=α21-4α0α2＜0，则

其中ξ0是任意常数，ε=±1.由(26)式的系数关系可得：

(ⅲ)当pq＜0,r=pk时，方程（1）有如下形式的精确解：

情形2 当m=2 时，即

将（36）式代入（18）式比较等式两边Yi(i=0,1,2) 的系数可得

因ai(X)(i=0,1,2) 是关于X(ξ)的多项式，由（37）式可知a2(X)必为一个常数且h(X)=0.为运算简便，不妨取a2(X)=1.平衡（38）式中a1(X)和g(X)的次数，得到 deg[g(X)]=1 ，deg[a0(X)]=2.因此假定g(X)=A1X+B0，A1≠0.a1(X)=A1X2+B0X+A0，这 里A1,B0,A0是常数。将a1(X)和g(X)代入（39）式

将上式积分一次可得

这里的d为积分常数。

将a0(X)，a1(X)及g(X)代入（40）式并比较Xi(ξ)的对应项系数得到

因此可得

联立（25）和（46）式，运算可知m=1与m=2的情况相同。为了更直观地理解这些解，借助Maple软件得到部分解的图像如图1-4所示。

图1 当p=1, k=1,r=2,q=3, ε=1,ξ 0=1,α=时，u 1(ξ)的三维图

图2 当p=1, k=1,r=2,q=3,ε=-1,ξ 0=-1,α=时，u 3(ξ)的三维图

图3 当p=2,k=2, r=1,q=3,ξ 0=1,α=时，u 7(ξ)的三维图

图4 当p=2,k=2, r=1,q=3,ξ 0=1,α=时，u 9(ξ)的三维图

4 结论

本文借助Riemann-Liouville分数阶导数结合首次积分法构建空时分数阶simplified modified Camassa-Holm 方程的新精确解，其中u1,2(ξ) 、u3,4(ξ)为孤立波解，u7,8(ξ) 、u9,10()ξ为周期波解，u5,6(ξ) 、u11,12()ξ为有理函数解，丰富了其精确解解系。这也说明首次积分法简洁、高效，可应用于求解其他分数阶偏微分方程的精确解。