自主辨析明算理——《商中间和末尾有0的除法》教学

魏 燕 周青燕

《除数是一位数的除法》是笔算除法这一教学系列中的教学重点，是多位数除法的基础。本文介绍的内容包含两个内容，一个是结合情境帮助学生理解“0 除以任何不是0 的数都得0”的计算方法，另一个是计算两个小朋友家里每个月电费使用情况，涉及到的是首位整除、商的十位是0 的除法计算以及商的末尾是0 的除法计算。

在学习本节课之前，学生已经学会了正确计算整十、整百数除以一位数和商是两位数、三位数的除法，会有竖式计算方法上的迁移。但竖式算理的模糊也会造成错误率较高的情况，如“除完后的余数要和被除数的下一位合起来继续除”，学生看到被除数有0 就直接商0 的潜意识仍有存在，或者存在不够除就合并两个数字的情况。

本节课的重点是0，故可以从0 突破，思考0 作为被除数和除数会出现什么情况，0 和除法的商又有什么可以研究的问题。引导学生结合具体情境理解被除数是0 的除法，竖式计算是除法计算的基本方法，学生从口算除法过渡到笔算除法，有形式上的不同、运算方向上的不同、思考方式上的不同，设计时重点关注理解除法竖式的价值，根据被除数和除数的特点，理解“分”的过程，将“分的过程”与“除的步骤”相结合，理解每一步计算结果是怎么得到的，沟通算理与算法之间关系。

【教学过程】

一、交流引入，别具一格的“0”

1.揭示课题，启发思考。

师：今天这节课，我们要学习和0 有关的除法。前面我们学习的除法，还从来没有出现和某一个数相关的除法，你觉得这是为什么？0 特别在哪里？

（学生独立思考0 的特殊意义）

2.交流0 的特别之处。

师：0 表示的含义比较特殊，表示没有。

师：今天我们研究除法，除法算式中有三个数：被除数、除数、商，你想研究什么？0 在除法中的什么问题？

（让学生自己说一说，如0 可以作为除法中的哪个数？）

【设计意图：学生可以借助已学知识对本节课的计算内容进行迁移，学习的探究兴趣点容易降低，从0 的特殊性引入教学，根据学生的知识基础，将0 作为被除数的问题抛给学生自主探究，激发学生研究的兴趣。】

二、说理辨析，被除数是0

1.0 可以作为除法中的哪个数？

师：0 可不可以做被除数、除数、商，每位同学选择一个想一想，结果会怎么样？

2.反馈交流：0 不能做除数或商。

学生自己说一说0 为什么不能做除数或商？从两个角度进行说明：

（1）0 乘任何数都等于0，因此如5÷0 的结果可以是任何数，而0 乘任何数都不等于5，找不到得数。

师：0 作除数，没有讨论的价值，所以0 不能作除数。

（2）0 表示没有，任何数除以0 表示没有分，就没有除法表示平均分的意义，不符合除法的意思，所以0 不能作为除数。

3.0 可以作为被除数。

（1）能不能举出反例说明0 不能作为被除数？（2）请学生列一个0 做被除数的算式，说说算式表示的意义。

（3）像这样的算式你还能写出哪些？自己写一个，和同桌说说算式的意义。

（4）0÷6= 0÷16= 0÷66=

0÷600= 0÷6000=

师：你有什么发现吗？

生：0 除以任何数都等于0。

生：0 表示没有东西，不管想分成几份，每份的结果都是0。

师：运用“0 除以任何不是0 的数都得0”这一结论，可以解决计算中遇到的新问题。在计算除法商的时候，0 也会发挥很大的作用，接下来我们来研究商里面有0 的除法。

【设计意图：“0 除以任何不是0 的数都得0”，很多学生已经对这句话有了一些了解，但不理解为什么0 不能作为除数，为什么0 除以任何不是0 的数都等于0。让学生自己选择感兴趣的问题，进行知识辨析，通过对0 乘任何数都等于0 的知识迁移和结合0 的特殊意义进行解释，既调动学生参与的积极性，又通过说理辨析加深了学生对知识的意义理解。】

三、自主探究，商中间有0 的除法

1.独立尝试。

出示例题：随着疫情取得阶段性成效，各地迎来了复学，王老师为班级准备了抗疫物资，买了两瓶消毒液，一共花了208 元，一瓶消毒液多少钱？买两袋口罩用了216 元，每袋口罩多少钱？

2.交流探究。

（1）判断算式：208÷2。

师：求每瓶多少钱就是把208 平均分成2 份，求每份是多少钱，所以用除法做。

（教师板书：208÷2）

（2）算法辨析。

出示学生的典型算法，观察哪种不正确，说说自己的判断理由。

生：③号不正确，我验算了，14×2=28 不是208，所以计算错误。①、②号的计算结果都正确。

师：你说出了错误原因，真了不起。谁能结合算式的意义来说一说自己的理由？

生：208 元买两瓶消毒液，可以先分2 个100 元的，每瓶就是100 元，剩下的8 元每瓶分到4 元，100+4=104（元）。

生：③号的十位0÷2=0，这个0 应该写在商的十位上，0 起占位的作用，不能不写。

师：①、②号两种写法有什么不一样？你更喜欢哪一种？

生：②号写法的第二步0÷2=0，0×2=0，0－0=0 的步骤省略了，更简便一些。

（3）规范竖式书写。

【设计意图：结合当前社会热点问题引入现实的问题情境，学生可以结合具体情境解释算法与结果。同时这是本单元最后一节新授课，大部分学生能正确计算出结果，只是书写格式不够规范或不简便，所以给学生充足的时间进行自主思考与交流，在方法比较和辨析中使其真正理解竖式的意义。】

3.尝试计算216÷2。

（1）学生先独立计算。

（2）全班交流辨析。

①先判断对错，说说判断的理由。

算式一错误，理由：180×2=360。

算式三错误，理由：103×2=206。

②交流正确算法。

216-200=16，16 里面只有1 个十，不够十个十个分成2 份，十位上没有分到1 个十，十位余1 个十要与个位落下来的6 个组成16 再去除以2，所以商是108。

结合情境解释：200 元分到一盒100 元，剩下16元，16÷2=8，所以100+8=108。

③规范竖式书写，错误的学生进行纠正。

4.总结辨析。

（1）比较208÷2 和216÷2 这两个算式的共同点和不同点。

共同点：商的中间都是0。

不同点：208÷2 时，商中间的0 是十位的0 除以2 得到的，而216÷2 时，商中间的0 是十位的1 除以2 不够除，用0 来占位。

（2）概括特点。

师：自己写一个和208÷2 与216÷2 类似的算式，想一想商中间有0 的算式有什么特点？（写完后全班交流）

生：被除数的百位是除数的倍数，被除数的十位比除数小。

【设计意图：动手实践、自主探索、合作交流是学习数学的重要方式。商中间有0 的除法对学生来说是一个难点，但教师不能因为难就包办代替，让学生在自主探索、交流的过程中去明辨对错，弄清算理，明白算法。在教学组织的交流中，从计算检查的角度出发，先根据验算方法判断计算结果是否正确，再让学生在说理中明晰算理。】

四、自主辨析，商的末尾是0

1.思考算式特点，尝试写算式。

师：三位数除以一位数，如果“被除数的百位是除数的倍数，被除数的十位比除数小”时，商的中间是0。如果商的个位上是0，这样的除法算式又会有什么特点呢？请你试着写一个。

2.小组合作学习。

要求：

（1）计算同桌写的三位数除以一位数的商末尾是0 的算式，判断算式是不是符合商的末尾是0；

（2）同桌检查计算是否正确；

（3）四人小组交流，商的个位上是0 的除法算式的特点。

3.全班交流。

（1）让学生说说算式的特点，并举例。

特点：被除数的百位或十位上的数都是除数的倍数，或者前两位够除。

（2）交流竖式计算时的注意之处。

【设计意图：通过前面的教学，学生对于竖式计算的基本法则已经清晰，放手让学生自己根据商的特点写算式并计算，让学生真正参与到学习中去，主动辨析算式的特点，有助于学生利用算式的规律进行计算。】

五、练习辨析，加深理解

1.判断。

（1）0 除以任何数都得0。（）

（2）0 除以任何不是0 的数都得0。（）

（3）被除数的中间有0，商的中间一定有0。（）

2.教材第24 页做一做第2 题。

402÷2 609÷3

615÷3 624÷6

3.回顾总结。

师：今天我们是怎么学习的？

【反思：本节课的教学设计，特点是不追求表面热闹的课堂，通过扎实高效的自主探究学习，引导学生关注数学本体知识，关注计算算理。放手让学生自己运用已学知识去辨析0 在除法算式中的位置和意义，比较发现算式的特点。在商的数位上有0 的算式教学中，学生在自主计算、算理辨析、规律辨析中，纠正计算方法，解释正确的算理。】