赋值法解决与二次函数系数有关的问题

广东省广州市白云广雅实验学校(510430) 袁 宏

广东省广州市民航职业技术学院(510403) 李宗涛

在初中数学学习中,函数这个模块是非常重要的一部分知识,之所以重要是因为这个知识点也最好的彰显数学“以形表数,以数释形”数形结合的思想.对于二次函数这个知识点的学习中,我们是要教会学生会根据二次函数的图像,提取相关信息,从而解决相关的问题.在这些相关的问题中,二次函数二次项系数、一次项系数和常数项有关的代数式问题是各地中考的热点之一,往往在各地的中考中常常作为选择题或是填空题的压轴题的形式出现.

例如: 二次函数y=ax2+bx+c(a ／= 0)的图象如图所示,通过图象观察下面的式子哪些是正确的? (天津市中考题)

(1)b ＜a+c; (2) 4a+ 2b+c ＞0; (3) 2c ＜3b; (4)a+b+c ＞m(am+b)+c(m／=1).

由图象可以提取信息: 抛物线的开口向下, 此时抛物线有最大值; 对称轴为直线x= 1; 抛物线与x轴有两个交点,且这两个交点一个介于－1 和0 之间,另一个介于2 和3 之间; 抛物线与y轴交点在y轴正半轴上.

在抛物线的学习探究中我们已经熟知抛物线的开口方向和开口大小、最值、对称轴及其和坐标轴的交点等这些知识都和二次函数各项的系数有密切的关系.开口方向决定a的符号,开口向上⇔a ＞0,开口向下⇔a ＜0;开口大小由|a|决定,开口越大⇔|a|越小,开口越小⇔|a|越大;对称轴的位置由a,b共同决定,即对称轴为直线图象与y轴的交点的纵坐标就为常数项c;抛物线与x轴交点的个数与相对应的一元二次方程ax2+bx+c= 0(a ／= 0)的根的判别式息息相关,即抛物线与x轴有两个交点⇔Δ＞0,抛物线与x轴有一个交点⇔Δ = 0,抛物线与x轴无交点⇔Δ＜0.也就是说,我们可以把图象中反映出来的信息可以转化为二次函数各项的系数之间的一些代数关系式,这样就可以达到由“形”到“数”的转化.

由以上知识储备, 对于天津市的这道中考题, 我们就可以解决.对于第(1)b ＜a+c和第(2) 4a+2b+c ＞0这两个式子的判断, 可以采用赋值法来解决.赋值法即指把一些特殊值代入函数解析式中, 根据图象观察当x取这些特殊值时, 对应的y的取值.赋值法是数学中, 由“特殊到一般”的数学思想的体现.所以, 对于(1) 式, 可以变形为a － b+c ＞0, 对比一次项的系数为－b, 赋给x=－1 这个数值, 这样y=a－b+c, 对照图象可以看出当x=－1 时,y ＜0, 因此式子(1)b ＜a+c是错误的结论.同理, 当x= 2 时,y= 4a+2b+c, 由图象可得, 当x= 2 时,y ＞0, 因此式子(2) 是正确的.对于(4) 的判断,需要对不等式右边的式子做一下变形, 利用乘法分配律得,m(am+b)+c=am2+bm+c,此式子可以利用赋值法得到,显然,当x=m时y=am2+bm+c,又由图象可以提取到的信息,抛物线有最高点,即二次函数有最大值,当x= 1时,ymax=a+b+c.

对于(1)(2)(4)三式的共同特点: 这些式子是判断的二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项这三者的关系,对于此类题目的判断利用赋值法是比较容易判断出来.学生感觉困难的是(3)2c ＜3b这种类型的题目, 此类题目的共同特点: 题目是二次函数二次项系数、一次项系数和常数项这三者中的任意两者组合的关系,这个关系可以是相等关系也可以是不等关系.比如此题的(3)式是判断的一次项系数和常数项之间的不等关系.学生在处理这类问题时往往是多次试探,把各种关系综合应用,最终推出结论.为了避免学生在解决这类问题时的盲目性,我们可以找出这类问题的通解——利用赋值法来解决.

接下来详细介绍用赋值法判断(3) 式是否正确.首先(3) 式可以变为2c－3b ＜0, 由赋值法可以看到, 无论赋给变量x什么数值, 函数值中c的系数都是1, 所以把2c－3b ＜0 式中c的系数化为1, 得到式所以要判断(3) 式是否成立, 需要判断式是否成立即可.式子中只含有c,b两个系数, 若是想用赋值法来解,少了系数a,如何补上系数a,这需要借助对称轴得到a,b之间的关系, 由图象可得对称轴为直线x= 1, 再由一般形式的二次函数y=ax2+bx+c(a ／= 0) 的对称轴为直线得到所以式子判断是否成立,只需要判断a－b+c ＜0 是否成立即可.由赋值法容易看出,当x=－1 时,y=a－b+c,并且由给出二次函数的图象得到,当x=－1 时,y ＜0.所以a－b+c ＜0,这样得到(3)2c ＜3b正确.由以上的解答过程,可以看到赋值法是可以解决二次函数中和各项系数相关的代数式的比较好的方法.接下来,用赋值法来解下面问题.

(15年乌鲁木齐市中考题)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a ／= 0)的对称轴是x=－1,且过点判断下列结论是否正确?

(1)a+2b+4c=0;(2)25a－10b+4c=0;(3)3b+2c ＞0.

由图象可得以下信息,抛物线的对称轴为直线x=－1,即同时抛物线过点可以得到抛物线过另一点即当c=0;当

由上面题目的分析,利用赋值法解决这类问题关键是无论赋给x什么值,c的系数都是1,所以对于(1)、(2)式,需要做的是先把c的系数化为1,所以(1)式(2)式可以变形为:

(1)a+2b+4c=+c=0,(2)25a－10b+4c=

由b的系数可得, (1) 式即为当时, 对应函数值

对于(3)3b+2c ＞0 的判断利用赋值法就比较容易解决了.把(3) 式c的系数变为1, (3) 式变形为要想判断+c ＞0, 利用上面的分析对称轴得到的a,b的关系得到得到+b+c=a+b+c,而此式正是当x=1 时对应的函数值,由图象可知当x=1 时y ＜0,所以a+b+c ＜0,即所以(3)3b+2c ＞0 是错误的.

由以上两题可以看出来,对于二次函数各项系数之间的关系式的相关问题,采用赋值法这种通解的方法来完成,是非常高效的方法.