不同的引入各显精彩*——以“求解二元一次方程组(1)”为例

福建省三明市梅列区第一实验学校(365000) 青海师范大学数学与统计学院(810008) 郑培珺

在一节课的教学设计中,引入部分问题情景的创设引起越来越多的教师来设计和研究.引入注重新颖性;与学生的实际生活密切相连;要能激发学生的学习兴趣;能体现本节课学习的“必要性”和“可学性”;能体现数学的本质;从已有数学知识中延生问题; 让学生体会到传统的数学文化等等.不同的引入各显精彩,下面以北师大版八年级上册第五章第二节“求解二元一次方程组(1)”为例来分析.

1 简单着手层层深入

引入1果汁店中有A、B 两种果汁,B 种果汁的价格是A 种果价格的两倍,小彬和同学买了4 杯A 种果汁,3 杯B种果汁,一共花了60 元.A 种果汁、B 种果汁每杯分别是多少元?

问: 上节课学了二元一次方程组,我们能否用二元一次方程组解决这个问题?

若设A 种果汁每杯x元,B 种果汁每杯y元.如何列二元一次方程组?

思考: 如何求解这个二元一次方程组?

教师组织学生分小组讨论.

生: 将①中的y带入②中,即②中的y用2x代替.

师: 为何将①中的y带入②中? 也就是为何②中的y能用2x代替?

生: ①中的y和②中的y所表示的量相同, 都表示“A种果汁每杯x元”.

在上一题的基础上变换式子

教师再问如何解这个方程组解方程组?

学生在上一题的启发中, 能够想到将①中的x带入②中,即②中的x用代替.

观察以上两题, 思考: ①式代入②式, 方程组发生了怎样的变化? 未知数个数发生怎样的变化?

通过学生观察思考,总结: 由二元一次方程组变成一元一次方程;由二元变成一元.将未知数的个数由多化少,逐一解决的方法叫做消元法.

思考: 能把①式直接代入②式消元,对①式的形式有什么要求?

通过学生观察思考,总结: 要将方程组中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来.

分析引入1 以实际生活中学生最熟悉的问题入手,列出一个最简单的方程组.这个方程特殊在①中的y直接表示成x代数式的形式.由于两个方程中y所代表的对象相同,这样学生便可以直接把②中的y用①中x代数式的形式替换,从而得到一个一元一次方程.此过程由复杂的二元问题转化成简单的一元问题,是化归思想运用的体现.由一个最简单的特殊方程组引入,最后过渡到任何一个一般的求解二元一次方程组问题,是特殊到一般的数学思想体现.

2 由新问题联想旧知识

引入2夏天到了,有8 个人约好一起去游泳,买游泳票共花34 元.成人票5 元一张,儿童票3 元一张.请问去了几个成人、几个儿童?

先引导学生列二元一次方程组.设他们中有x个成人,y个儿童.学生列出方程组:

师: 你们会解这个二元一次方程组吗?

生: 不会.

师: 这个问题还有其他方法解吗?

接下来引导学生想以前学习过的一元一次方程,可用一元一次方程求解方程组.分别列出用一元一次方程和用二元一次方程组求解的过程,如下表1

表1 一元一次方程和二元一次方程组求解过程对比表

观察: 列二元一次方程组和列一元一次方程设未知数有何不同? 这两种方法对你解二元一次方程组有何启示?

若学生没想出来, 教师可以进一步引导学生观察, 把二元转化成一元形式来求解.由二元一次方程组①中写出y= 8－ x, 再将其代入②, 就转化成了一元一次方程5x+3(8－x)=34.

分析在解应用题时,教师先引导学生列出二元一次方程组,若学生不会解这个方程组,教师再引导学生用已学过的方法求解.学生列出一元一次方程,通过观察两种方法,教师引导学生把不会的问题(二元)转化成会的问题(一元)来求解,实现了化归,即在遇到未知问题时,把它转化成更简单的已知的问题来解决.

3 由已知探求未知

引入3夏天到了,有8 个人约好一起去游泳,买游泳票共花34 元.成人票5 元一张,儿童票3 元一张.请问去了几个成人、几个儿童?

在学生已有经验知识的基础上,要能完整解答此题.多数学生首先会想到列一元一次方程.设去了x个成人,则去了(8－x)个儿童,根据题意,得: 5x+3(8－x) = 34,解得x= 5.再由教师引导,若用二元一次方程组的知识如何解决问题? 设x个成人,y个儿童,根据题意,得:

问: 如何求解这个方程组?

观察两种列式, 学生可以从二元一次方程组①中写出y= 8－ x, 再将其代入②, 就转化成了一元一次方程5x+3(8－x)=34 求解.

分析与引入2 的背景问题相同,学生学习一元一次方程在先,先用已学过的知识解题.教师在引导学生列二元一次方程组,思考如何解这个方程组.把已知的一元一次方程解法和现在的二元一次方程组问题放在一起看,引导学生把二元转化成一元来化归.

4 已有问题的进一步深入探究

北师大版八年级上册第四章涉及到用待定系数法求一次函数表达式.在题目中所给的两个已知点坐标,其中一个点一定是一次函数与y轴的交点.因为将轴上的点坐标代入二元一次方程组时,b值可直接求出,这样便把求解二元一次方程组转化成了求解一元一次方程.这时如果给出的两个点均不是与y轴的交点,要求学生求一次函数表达式.如下引入4:

引入4如图1,在平面直角坐标系xOy中,一次函数图象经过点A和点B,求一次函数的表达式.

设一次函数的表达试为y=k1x+b1,由图可知图像经过A、B两点,将A(0,2)、B(2,4)代入y=k1x+b1,可得

师: 这个方程组如何求解呢?

生: 将①程中的b1= 2 代入②,得到关于k1的一元一次方程,解这个一元一次方程可求k1.

师: 一次函数图像中已知的两个点坐标,其中一个在y轴上,将其代入,可直接求出b1.若已知的两个点都不在y轴上.那又应该如何来求解呢? 请看下面变式.

图1

图2

变式: 如图2,在平面直角坐标系xOy中,一次函数图象经过点C和点B,求一次函数的表达式.

设一次函数的表达试为y=k2x+b2,由图可知图像经过B、C两点,将B(2,4)、C(－1,1)代入y=k2x+b2,可得

师: 这个方程组如何求解呢? 回顾上一题是如何求解的呢?

生: 把①中的b1=2 代入②,得到一元一次方程.

师: 这里我们能不能参考前一题的做法,把b2代入②也得到一元一次方程呢? 接下来引导学生思考如何将b2代入②?

探讨得出要将二元一次方程组中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来.也就是写成b2=1+k2,再代入②,得到式子4=2k2+(1+k2),这样就把二元转化为一元求解.

分析引入4 是把上一章的求一次函数表达式问题作为切入口.基于北师大教材安排的顺序,因为还未学求解二元一次方程组,所以在求一次函数表达式中给出的已知点,有一个一定在y轴上,这样能直接求出b的值.但还有更一般的情况,若已知点均不在y轴上,就涉及到更一般的二元一次方程组的解法.这种引入方法则是以已学知识的延伸扩展出相关的问题,不断拓宽学生的思维,这个过程涉及到从特殊到一般的数学思想.

5 复习温故知新

引入5先复习二元一次方程组的定义和二元一次方程组的解的定义.

生: 选C.把x的值和y的值带入方程组,同时满足两个方程则为方程组的解.

师: 如果每一次都要知道x的值和y的值,再带进去验证才知道方程组的解,这样子非常麻烦.如果给你一个方程组,你能不能直接求出它的解呢?

上一节课我们讲了老牛和小马驼包裹的故事[1].老牛驮了x个包裹, 小马驮了y个包裹.我们可以得到方程组

如何求解这个方程组呢?

如何解?

通过这题总结出要将二元一次方程组中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来.

这样的方程怎么办?

分析引入5 以复习回顾旧知的方式开场,先回顾解二元一次方程组的定义及其的解的定义.以一个判断二元一次方程组的解的简单问题进一步延伸,如果每一次都要知道方程组的解,再去验证,十分不便.教师提出“能不能直接求二元一次方程组的解呢? 怎么求? ”这样的引入让学生明白学习求解二元一次方程组的必要性,十分自然.

6 HPM 视角品味数学文化

HPM(History and Pedagogy of Mathematics)是指“数学史与数学教育之间关系”的研究领域或数学教学中“融入数学历史”的一种视角[2].也就是将数学的发展历史融入数学教育,在数学课堂教学中展现数学知识发展脉络和数学传统文化,目标是通过数学历史的运用,提高数学教育的水平.

卡约黎(F.Cajori,1859-1930)在《数学史》中提到“在历史的解说中,教师可以让学生明白: 数学并不是一门枯燥呆板的学科,而是一门不断进步的生动有趣的学科”[3].学者汪晓勤将数学课堂中运用数学史教学的方式划分为四种,如表2.

在论述古典数学与现代数学关系上,克莱因提出数学教学的四个基本原则: 文化原则、有趣原则、直观原则及有效原则.汪晓勤此基础上提出HPM 教学设计的五项基本原则:科学性、有效性、新颖性、可学性及趣味性[4].二元一次方程组解法涉及代入消元法和加减消元法,下面对数学史融入二元一次方程组解法(代入法、加减法)教学的相关研究进行分析.本文研究求解二元一次方程组第一课时(用代入消元法求解二元一次方程组),以下学者对二元一次方程组解法的教学做了研究,其中有涉及加减法消元部分也可对HPM 视角下代入法消元法的教学设计起借鉴作用.

汪晓勤以前一节课中的问题为背景,引导学生探索代入消元法,再练习.之后借丢番图《算术》中的问题引出加减消元法,接着练习巩固,之后再探究其他解法[5].学习过程中的方程组问题出自《计算之书》、《算法统宗》、《九章算术》等著作.以数学概念的历史发展顺序(即发生教学法)展现代入消元法和加减消元法.其中二元一次方程组的历史发展概况、方程组的问题均来自数学史文献,是数学史复制式的直接运用.

表2 数学教学中运用数学史的方式

顾海萍、汪晓勤以欧洲中世纪、古中国和古代巴比伦数学著作中的二元一次方程组相关问题,组成美妙的方程组画卷.从古代数学文献中四类最典型的二元一次方程组问题中各选取1 个问题为素材[6]展现二元一次方程组的历史和发展,体会方程思想在解题中的重要性.以古代二元一次方程组为算题,但没有探究其解法的历史形成过程,属于重构式的间接运用.

沈志兴基于学生的认知起点,以《孙子算经》中的“雉兔同笼”问题为背景,讲解了古代算式解法的思考过程,分析古代算式解法和今日加减消元解法之间的联系,再通过《算法统宗》中的牛马问题引出新课并让学生归纳出解方程组的步骤,理清加减消元法的“可学性”和“必要性”的问题[7].高树成、段娟引出《孙子算经》中“雉兔同笼”问题[8][9],让学生思考有哪些解法? 第一,“假设法”,假设笼中全是鸡或全是兔,列算式求解.第二,“砍足法”,将所有动物的脚数除以二.此时鸡一头一脚,兔一头两脚.脚比头多多出的便是兔的脚.第三,列一元一次方程解题.第四,列二元一次方程组解题.之后再讲解如何求解二元一次方程组.引入过程中展现了数学史上“雉兔同笼”问题的求解,既让学生体会到了传统的数学文化,也展现了一题多解,自然过渡到方程组的求解.“雉兔同笼”问题属于复制式的直接运用方式.

洪燕君、李霞、常道宽等人通过《九章算术》中的直除法、互乘相消法、方程新术等历史解法与现代解法的对比,在直接运用展示传统文化魅力的同时, 讲解每种解法的特点.重构数学史料,以丢番图《算术》中的题温故知新,利用学过的等式性质引出“加减消元法”,让学生体会加减消元方法解决问题的优越性和必要性[10].该教学设计是在代入法学完的基础上进行的,没有完全按照数学史发展顺序设计.其中对数学史运用属于复制式和重构式直接运用和间接运用相结合.

通过对以上研究者的分析,以数学知识的历史发展顺序设计教学能激发学生的学习兴趣,展示数学知识发生的过程能促进学生对数学本质、数学发展、数学思想的理解.在数学史融入二元一次方程组解法的教学中,大多数是以融入古算题的方式进行,因为二元一次方程组解法的发展复杂,初中阶段的学生可能不能理解其发展过程,所以基本没有完全按照二元一次方程组解法的历史顺序进行教学.因此,求解二元一次方程组教学中,基于历史发生原理,参考数学史发展顺序设计教学方案,展示在HPM 视角下,用代入法解二元一次方程组的引入案例.

引入6我国南北朝时期的古书《孙子算经》下卷中第31 题“雉兔同笼”流传广泛.今有雉(鸡)兔同笼,雉23 只,雉兔共有九十四足.问雉兔各几何?

(1)笼中雉是兔的1.5 倍,雉兔共有九十四足,问雉兔各几何?

(2)今有雉(鸡)兔同笼, 上有三十五头, 下有九十四足,问雉兔各几何?

解: (1) 设笼中有x只鸡,y只兔.由题意可得

师: 如何求解这个二元一次方程组?

接下来解方程组的分析、探究、讲解同引入1.

(2)设笼中有m只鸡,n只兔.由题意可得

师: 如何求解这个二元一次方程组?

由(1) 得到启示, 首先要在方程组中选一个恰当的方程,将其中的未知数表示成另一个未知数的形式.如此题中,由①可得m=35－n(或n=35－m),在将其代入②,便可得到一个一元一次方程.

分析引入6 在原来“雉兔同笼”的问题上改编,加入一个更简单的问题.让学生先得到一个最简单的二元一次方程组,这个方程组特殊在其中一个方程的未知数已经表示成另一个未知数代数式的形式.这样的表示形式便可将其直接带入第二个方程,将二元问题转化为一元问题.再给出《九章算术》中“雉兔同笼”的原始问题,得到一个更一般的方程组.通过借鉴前一题的解法,引导学生在(2)中,首先要选一个适当的方程,将其中一个未知数表示成另一个未知数代数式的形式.再带到另一个方程中将二元转化成一元问题求解.这样的引入体现了特殊到一般的数学思想和化归的数学思想.在HPM 视角下借鉴、改编重组数学问题,提炼出数学思想方法,属于重构式的间接运用数学史.

7 结束语

本文以北师大版八年级上册“求解二元一次方程组(1)为例”,研究了六种引入方式所呈现的不同教学效果.六种引入的教学涉及将“二元”问题转化为“一元”问题来处理,让学生体会数学化归思想.六种不同的引入,展现了六种不同的精彩,没有绝对的优劣之分,各显千秋.教师应从根据本班学生数学学习实际情况和教学需要出发,借鉴和设计适合自己教学的引入.