五轴义齿加工中心位置无关几何误差的辨识与补偿研究

蒋鹏飞, 田晓青, 姜 阳, 吴 雨

(合肥工业大学 机械工程学院,安徽 合肥 230009)

0 引 言

五轴机床可以同时控制加工过程中刀具相对于工件的位置和方向,具有很强的加工适应能力。大型五轴机床在能源、国防、航空航天等领域常被用于复杂零部件加工。目前在义齿加工领域,五轴机床也因其巨大的优势而快速普及[1]。

五轴机床相比于三轴机床多了2个旋转轴,在提高切削效率和加工适应性的同时,也带来了更多的几何误差项。为提高五轴机床加工精度,对五轴机床几何误差进行补偿就变得十分重要。

文献[2]将几何误差的补偿过程概括为3个步骤，即建立机床的误差辨识模型、利用测量装置测得各项误差数据、利用误差模型进行补偿。本文将从这3个方面叙述补偿方法的建立过程,为此类结构和功能较为特殊的五轴加工设备的几何误差补偿提供一种思路。

1 运动学建模

运动学建模是为了描述刀具与工件间的相对运动,建立刀具相对于工件的位姿数据与数控指令之间的转换关系。正向运动学模型将数控指令转换为刀具相对于工件的位姿信息;逆向运动学模型通过刀具相对于工件的位姿信息推导机床所需的数控指令。

文献[3]将D-H法运用于五轴机床的运动学建模中,但该方法需要在各轴上建立局部坐标系、计算相邻局部坐标系间的齐次变换矩阵,过程较繁琐;文献[4]将广泛应用在机器人运动学建模中的旋量理论运用到机床的运动学建模中,该方法只需从全局坐标系上对设备的运动进行描述,而不需要针对每个运动轴上建立局部坐标系,建模过程较简便;文献[5]对旋量理论进行了深入研究,推导了一般五轴机床的通用运动学模型。为便于计算机编程,文献[6]提出了多体系统理论,以低序体阵列作为描述多体系统拓扑结构的数学工具,将复杂的机械系统提炼为带编号的单元体,通过齐次坐标变换,获得各单元体之间的相互关系；文献[7]利用该理论建立了多轴机床的运动学模型及综合误差补偿模型。

1.1 正向运动学建模

本文使用旋量理论,对合肥工业大学CIMS研究所自主研发设计的一款五轴义齿加工中心进行建模,设备结构如图1所示。设备由X、Y、Z3个直线轴和A、B2个旋转轴组成,电主轴安装在Z轴上,环状的义齿坯夹具安装在A轴上。这种特殊的结构使得义齿加工中心只需1次装夹就能完成义齿坯的上、下2个面的加工，同时也导致义齿加工中心与普通五轴机床在建模和误差测量方面的区别。

图1 义齿加工中心的结构示意图

首先建立义齿加工中心的基坐标系。令主轴远离工件的实际运动方向为ZM轴正方向;XM轴设置在ZM轴与X轴实际运动方向构成的平面上,且与ZM轴呈90°;YM轴垂直于ZM轴和XM轴,建立空间笛卡尔坐标系,坐标系的基点设置在A、B2个回转轴线的公垂线与A轴轴线的交点处。将上述坐标系作为设备的基坐标系OMXMYMZM。

对理想状态下各轴的运动信息进行描述。各轴处于初始位置时,X轴运动方向的单位向量为vX,Y轴运动方向的单位向量为vY，Z轴运动方向的单位向量为vZ，A旋转轴线的方向向量为ωA，B旋转轴线的方向向量为ωB，A旋转轴线上的任一点坐标为QA，B旋转轴线上的任一点坐标为QB。这些坐标和向量都是基于设备基坐标系OMXMYMZM定义的。

工件坐标系OWXWYWZW固接在工件上,基点设置在A、B2个回转轴线的交点处,各轴运动量均为0时,工件坐标系与基坐标系重合。

刀具坐标系OtXtYtZt固接在刀具上,基点设置在刀尖点处,各轴运动量均为0时,刀具坐标系与基坐标系重合。

五轴义齿加工中心从基坐标系到工件坐标系的运动链为工件运动链，从基坐标系到刀具坐标系的为刀具运动链。这2个开环运动链组成工件坐标系到刀具坐标系的整体运动链,如图2所示。

图2 义齿加工中心运动链示意图

利用各轴运动信息和运动链架构,可得出五轴义齿加工中心的正向运动学模型。

工件坐标系相对于基坐标系的齐次变换矩阵为:

(1)

刀具坐标系相对于基坐标系的齐次变换矩阵为:

(2)

对于旋转轴,其转动旋量指数的运算为:

(3)

其中

vi=-ωi×qi

(4)

(5)

(6)

对于直线运动轴,其旋量的指数运算为:

(7)

将(3)～(7)式代入(1)式、(2)式中,解出gMW(θX,θB,θA)、gMt(θY,θZ)刀具坐标系相对于工件坐标系的变换矩阵为:

gWt(θX,θB,θA,θY,θZ)=

[gMW(θX,θB,θA)]-1gMt(θY,θZ)

(8)

记刀具在刀具坐标系的位置和方向分别为rpt、rot,刀具在工件坐标系的位置和方向分别为P、O,则有:

(9)

(9)式即为五轴义齿加工中心运动学正解模型。

1.2 逆向运动学建模

利用旋量理论对五轴义齿加工中心进行反向运动学建模。刀具的平移运动只影响刀具在工件坐标系中的位置,而不会影响刀具相对于工件坐标系的方向,因此齿加工中心的运动学正解可以简化为:

(10)

根据旋量理论中的逆解公式和各轴运动信息可解得五轴义齿加工中心的反向运动学模型。

令

u=rot,v=O,

(11)

z=k1ωA+k2ωA+k3(ωA×ωA),

则2个旋转轴的运动学逆解为:

(12)

(11)式中k3的正负号需要根据旋转轴位移的连续性和旋转轴B的初始位移量来确定。

因为旋转轴的运动既能影响刀具在工件坐标系中的方向,又能影响到刀具在工件坐标系中的位置，所以得出2个旋转轴的逆解后,才能进行直线轴逆解的计算。将(12)式代入直线轴的逆解公式后,可得:

(13)

则直线轴的运动学逆解为:

(14)

2 误差分析与测量

五轴机床的各项误差来源中,几何误差、热误差、力误差是最主要的几项,总共约占比85%以上。义齿加工中心所处的工作环境较为恒定,且切削力、切削热较小,导致几何误差在义齿加工误差中的比重变得很大。

五轴机床的几何误差又可分为与位置相关的几何误差(position dependent geometric errors, PDGEs)和与位置无关的几何误差(position independent geometric errors, PIGEs)。PDGEs的大小与部件的实际运动量有关,是一个以部件实际运动量为自变量的函数,其大小和波动范围与部件本身的制造精度有关,例如直线轴的定位误差。PIGEs的大小与该部件的实际运动量无关,是一个常数值,主要由装配偏差造成,例如直线轴间的角度偏差。

本文集中讨论装配偏差导致的PIGEs对五轴义齿加工中心加工精度的影响。

2.1 PIGEs分析

由基坐标系建立过程可知，ZM方向与实际Z轴方向重合;实际X轴与XM间存在一个绕YM方向的角度误差ΔβX;实际Y轴与YM存在绕ZM方向的角度误差ΔγY和绕XM方向的角度误差ΔαY;B轴轴线和理想方向间存在绕XM方向的角度误差ΔαB、绕ZM方向的角度误差ΔγB;A轴轴线与理想方向间存在绕YM方向的角度误差ΔβA、绕ZM方向的角度误差ΔγA;由于装配缺陷,A轴轴线与B轴轴线不一定相交,导致B轴相对于A轴存在沿ZM方向的平移误差ΔZAB。

义齿加工中心与位置无关的几何误差项见表1所列。

表1 义齿加工中心与位置无关的几何误差项

2.2 PIGEs测量

针对五轴机床的几何误差测量,国内外学者作了很多研究。文献[8]提出了“九线法”对三轴机床的几何误差进行测量,简化了激光干涉仪测量直线轴几何误差的步骤,降低了数据处理的复杂程度。激光干涉仪也可以用于测量旋转轴的定位误差，但对于旋转轴定位误差外的其他五自由度误差及旋转轴的轴间误差目前并没有较好的直接测量手段。球杆仪也常被用于测量五轴数控机床的几何误差,文献[9]利用球杆仪模拟锥面侧铣加工过程,间接实现了五轴机床各轴几何误差的测量。文献[10]设计了一条新的测试轨迹,得到了旋转轴的误差,为了避免其他误差的影响,每个测量步骤中只有1个旋转轴参与联动,并采用不同长度的球杆仪对旋转轴的位置误差与方向误差进行测量。但球杆仪只能测得杆长方向的一维长度数据,因此一些能够实时测得三维位移的新型传感器和测量装置如R-test、 3D probe ball、 CapBall也被设计用于测量五轴机床的几何误差。

由于五轴义齿加工中心各部件尺寸较小,激光干涉仪和一些新式传感器难以安装；且其工件夹具结构特殊,球杆仪会在测量过程中与工件夹具产生碰撞。因此本文选择了千分表对义齿加工中心的PIGEs进行测量。

2.2.1 直线轴相对于基坐标系的PIGEs测量

测量直线轴相对基坐标系的PIGEs时,要用高精度直角方尺作为基准。测量原理如图3所示。

图3 直线轴之间误差的测量原理示意图

用表座将千分表安装在T1轴上,使千分表测头垂直压在直角方尺对应面上,利用数控系统驱动T1轴,带动千分表运动,记录千分表的示数。以T1轴的运动量为横坐标,以该运动量时对应的千分表示数为纵坐标绘制折线图,则折线图线性拟合后的斜率即为T1轴相对于直角方尺对应面的角度Δφ1。同理可测出Δφ2。则T1轴、T2轴间与位置无关的几何误差Δφ3可通过Δφ1与Δφ2之和求出，即Δφ3=Δφ1+Δφ2。该测量方法可用于测量ΔβX、ΔαY、ΔγY这3项位置无关几何误差。

2.2.2 旋转轴线相对于基坐标系的PIGEs测量

为测量旋转轴线相对于基坐标系的PIGEs,需要利用1块与义齿坯形状相同的饼状基准试件,试件上、下2个表面进行了研磨,平面度达0.015 mm,两表面间的平行度为0.01 mm,两表面的粗糙度为Ra 0.2。

旋转轴线相对于基坐标系的PIGEs测量原理如图4所示。

试件处于位置Ⅰ时,用表座将千分表安装在T3轴上,使千分表测头垂直压在试件上平面,利用数控系统驱动T3轴,带动千分表运动,记录千分表的示数。

图4 旋转轴线相对于基坐标系的PIGEs测量原理示意图

以T3轴的运动量为横坐标,以该运动量时对应的千分表示数为纵坐标绘制折线图,则折线图线性拟合后的斜率即为试件上平面相对于T3轴的角度Δφ7；再将试件绕旋转轴R的轴线转动180°,使试件处于位置Ⅱ,重复上述步骤测出Δφ8；易知旋转轴R的轴线相对于直线轴T3的角度误差为Δφ5=(Δφ7+Δφ8)/2；再结合2.2.1节中测得的直线轴相对于基坐标系的误差,旋转轴R的轴线与对应基坐标系的坐标轴TM间的位置无关几何误差Δφ6=(Δφ4+Δφ5)/2。该测量方法可用于测量ΔβA、ΔγA、ΔαB、ΔγB这4项位置无关几何误差。

2.2.3 旋转轴线间的PIGEs测量

旋转轴线间的PIGEs可以看作是五轴义齿加工中心2条旋转轴线的公垂线距离,根据义齿加工中心的工件和夹具结构,易知该误差近似发生在工件的中轴线上。

旋转轴线间的PIGEs测量原理示意图如图5所示。

图5 旋转轴线间的PIGEs测量原理示意图

利用数控系统驱动五轴义齿加工中心各轴运动到初始位置,用表座将千分表安装在五轴义齿加工中心Z轴上,使千分表测头垂直压在试件上平面中心点D1处；然后不调整千分表和表座,只通过驱动直线轴使千分表和表座远离旋转轴组件,防止旋转轴运动时与测量装置发生干涉；接着驱动旋转轴,使θA=180°,θB=0°,再驱动各直线轴回到初始位置,记录此时千分表的示数Δd1。同理测出θB=180°,θA=0°时千分表的示数Δd2。则ΔZAB=0.5Δd=0.5(Δd1-Δd2)。该测量方法可用于测量位置无关几何误差ΔZAB。

2.3 实际运动学模型

五轴义齿加工中心的运动学模型是由3个直线轴的单位方向向量vi(i=X，Y，Z)和2个旋转轴线方向的单位向量ωi(i=A，B)以及旋转轴线上的任一点坐标Qi(i=A,B)等运动信息所确定的。因此,将实际的运动学信息vi*(i=X,Y,Z),ωi*(i=A,B),Qi*(i=A,B)代入(1)～(14)式中,取代其中的理想运动学信息vi、ωi、Qi,即可得出五轴义齿加工中心的实际运动学模型。各轴的实际运动学信息的具体运算如下:

其中,Rot(XM,Δα)、Rot(YM,Δβ)、Rot(ZM,Δγ)分别为绕XM、YM、ZM旋转Δα、Δβ、Δγ的齐次变换矩阵,即

3 误差补偿

3.1 补偿方法原理

本文提出的补偿方法是一种离线补偿方法,通过对G代码的离线修改,使存在与位置无关几何误差的加工中心用修改后的G代码准确实现原G代码的预设轨迹。补偿方法流程如图6所示。

图6 补偿方法流程

首先编制G代码信息提取模块,识别G代码中字符型的各轴运动量信息,并将其转换成适合运算的浮点型存储到各轴对应的变量空间中;接着利用理想运动学正解模型,计算出原G代码指令想要控制刀具到达的位置和在该位置上的刀具姿态(合称刀具位姿);再将上述刀具位姿代入实际运动学逆解模型,反求出刀具呈现该位姿时五轴义齿加工中心各轴所需的实际运动量,且当(11)式中k3取+1和-1都能满足旋转轴运动范围时,根据旋转轴的位移连续性以及旋转轴B的初始位移量来进行取舍;最后利用各轴实际运动量,重新编写G代码以实现与位置无关的几何误差的补偿。

3.2 仿真验证

利用Vericut仿真软件对加工过程进行仿真,模拟在义齿坯上切去一个深度为5 mm、曲面半径为60 mm的 “凹坑”的加工过程。

将义齿加工中心的三维模型导入软件中,通过“配置模型”功能,让各轴绕原点转动或沿坐标轴方向移动,以模拟各位置无关几何误差项;再调整好各轴初始位置和刀具参数,导入毛坯和设计(即理想零件模型),最后导入补偿前的G代码文件,进行仿真加工。仿真结束后,使用Vericut自带的 “自动比较”功能,分析仿真加工结果与设计的差别,确认加工效果,如图7a所示;更换补偿后的G代码文件,重复上述步骤,补偿后的加工效果如图7b所示。

由仿真结果可以看出,补偿后误差数目和误差值大小均有很大的改善。

图7 补偿前、后的加工效果

3.3 试验验证

本文依据美国航空航天工业协会(Aerospace Industries Association of America,AIA)提出的NAS 979标准中的三轴机床检测试件和五轴机床检测试件,设计了2个类似的、适用于义齿加工中心的检测件,并进行了试加工,如图8所示。

图8 补偿前、后试件的外观与表面微观

图8a、图8b分别为补偿前和补偿后的三轴试件,图8c、图8d分别为补偿前和补偿后的五轴试件。加工过程中义齿机运转平稳,噪声和振动情况正常。

加工后采用螺旋测微器对试件的尺寸误差进行测量,采用角度游标卡尺对试件的角度误差进行测量,测量结果见表2、表3所列。

表2 补偿前、后三轴机床试件的误差参数 mm

表3 补偿前、后五轴机床试件的误差参数

4 结 论

本文建立了五轴义齿加工中心的运动学正逆解模型、测量了五轴义齿加工中心与位置无关的几何误差,并设计了一种离线式补偿方法对误差进行补偿。仿真和试验结果表明，该方法确实能对义齿加工中心的加工效果产生影响,但因为义齿加工中心的误差检测过程和试切工件各项参数的检测过程均受到仪器精度、检测方法的原理误差和操作人员技术水平的限制,所以反映在试切工件上的补偿效果并不能保证与实际效果一致，但仍不失为一套完整的补偿方案设计,为日后更加深入地研究这类结构和功能较为特殊的机床的加工精度问题打下了基础。