辫子向量代数V（R′，R）

胡红梅

摘要：辫子向量代数是辫子张量范畴中一类非常重要的霍普夫代数.本文通过证明量子向量空间和辫子向量代数作为结合代数是同构的，从而从量子包络代数U（g）表示的角度详细刻画了辫子向量代数定义中的关系式，以及定义中两个重要的R-矩阵R′，R满足的三个等式关系的由来.

关键词：辫子向量代数;R-矩阵;辫子张量范畴

中图分类号：O154.1文献标志码：ADOI：10.3969/j.issn.l000-5641.2021.06.004

Braided vector algebra V（R′，R）

HU Hongmei

（School of Mathematical Sciences，Suzhou University of Science and Technology，Suzhou Jiangsu215009，China）

Abstract：Braided vector algebras are an important class of Hopf algebras in braided tensor categories. In this paper，it is shown that braided vector algebras are isomorphic to quantum vector spaces as associative algebras;hence，the algebraic structure of braided vector algebras and three equalities of the pair （R′，R）are recovered from representations of quantized enveloping algebras U（g）.

Keywords：braided vector algebras;R-matrices;braided tensor categories

0引言

量子群理論同数学领域的很多分支、理论物理等都有着密切的联系，一直吸引着很多数学家和物理学家的关注.作为有限维单李代数g的普遍包络代数U（g）的量子化的量子包络代数U（g）是一类非常重要的量子群，且量子包络代数U（g）的拟三角结构使得它的表示范畴不再是简单的张量范畴，而是辫子张量范畴.辫子张量范畴的理论已经被Majid在他一系列文章（[1-3]）中发展得比较完备. Majid将辫子张量范畴中的霍普夫代数称为辫子群.特别地，Majid在文献[4]中建立了辫子张量范畴中著名的双重玻色化理论.粗略来说，在一个拟三角的霍普夫代数的左（右）表示构成的辫子范畴中，从和两个相互对偶的辫子群出发，通过双重玻色化在张量空间上构造出唯一的霍普夫代数，使得两个玻色化产生的霍普夫代数和可以作为子霍普夫代数被嵌入中.由此可见，双重玻色化理论一方面可以构造新量子群，另一方面，从李代数的Cartan数据出发，Majid构造了一个霍普夫代数H，然后将量子包络代数的“正（负）”部分看成表示范畴中相互对偶的辫子群，双重玻色化理论得到的新量子群就实现了量子包络代数U（g）.基于此，Majid认为双重玻色化理论使得所有的量子包络代数U（g）都可通过一步步递归构造得到.这个猜想已经被文献[5]、[6]等一系列文章所证实.在这些文章的递归构造中用到的一个非常重要的对象就是Majid在文献[7]中定义的辫子向量代数V（R′，R）.但在文献[7]中辫子向量代数V（R′，R）的定义（见下文）不能明显地得到其代数关系，定义中用到的重要矩阵对（R′，R）满足的三个等式（如下文式（1））的来源是什么都是不得而知的.这就引发了本文的研究动机：希望能够从量子包络代数U（g）表示的角度去理解辫子向量代数定义中的结构关系式，因为辫子向量代数中重要的数据——R-矩阵是同量子包络代数U（g）的拟三角结构及其表示有着密切联系的.本文的第1章介绍量子向量代数、量子向量空间、普遍R-矩阵等预备知识;第2章介绍同样与R-矩阵密切相关的量子向量空间概念，并在其与辫子向量代数之间建立作为结合代数的同构关系（见定理1），从而可以通过量子向量空间去理解辫子向量代数.

1预备知识

首先，我们来回忆Majid在文献[7]中给出的辫子向量代数的定义.设R是一个可逆的R-矩阵，且存在另一个矩阵R′，满足如下的关系式：

这里的矩阵P是通常的置换矩阵，即其第（ij）行第（kl）列的元素是.

定义1[7]辫子向量代数V（R′，R）是由1和生成的结合代数，且满足关系式：

注记1辫子向量代数V（R′，R）是文献[8]中著名的FRT-双代数A（R）的右余表示辫子范畴中的代数.同时它有一个对偶对象——辫子余向量代数.是由1和生成的，且满足关系式.

由上面的定义可以看出辫子向量代数V（R′，R）的代数关系式是由矩阵R′决定的，而R′是通过上面的关系式（1）和一个R-矩阵建立关系的.乍看上去，这个定义给得很奇妙，但矩阵对（R′，R）的关系式（1）是怎么得到的？而且代数关系式又是怎么得到的？这引发了本文对同样与R-矩阵有密切关系的量子向量空间这个概念的关注.量子向量空间的定义如下.

定义2[9]设f={f，…，f}是带有一个变量的复多项式f构成的非空集合，R是任意可逆的R- 矩阵，V是带有基x，…，x的N维向量空间，V′是其对偶空间.是张量代数T（V′）商去其双边理想的商代数，由作用在空间的映射f（PR）（m=1，…，n）的像生成.映射f（PR）其实是张量空间上的变换f（PR）的转置.因此当假设是由x，…，x生成的，则其代数关系式为

注记2量子向量空间也有一个对偶的对象，代数是张量代数T（V）商去双边理想的商代数，由作用在空间的映射f（PR）（m=1，…，n）的像生成. 也就是说，是由x，…，x生成的代数，且满足关系式：

下一章将建立这两个对象之间的同构，从而可通过量子向量空间来理解辫子向量代数的概念.

2同构定理

复单李代数g的普遍包络代数所对应的量子包络代数U（g）是一个带有如下普遍R-矩阵的拟三角霍普夫代数（参见文献[9]），

因此从任意一个不可约的有限维U（g）-模T和普遍矩阵出发，都可以通过如下的等式来得到一个真正的R-矩阵，将其记为R.

其中映射B的定义是.首先设表示T的张量空间的分解为，而且假设这些直和项V是互相不同构的，也就是说对应的辫子矩阵PR是可对称化的，其存在m个不同的特征值.将这m个不同的特征值记为λ，…，λ，因此辫子矩阵PR有如下关系式：

（PR-λI）…（PR-λI）=0.（4）

定理1令多项式

其中，λ≠0.从矩阵R出发可以找到矩阵对（R，R′），使得如下映射

φ：x→e，i=1，…，N，

给出量子向量空间和辫子向量代数V（R′，R）之间的结合代数同构.

证明首先設辫子矩阵PR的谱分解为

PR=λP+…+λP，（6）

可通过关系式（4）和得出谱分解中每个投射P（i=1，…，m）可以有如下形式：

另一方面，对每一个特征值λ，将关系式（4）左边的每个因式项除以-λ，从而可得

然后令，再将式（7）的分子、分母的每个因式都除以-λ，可得

将式（9）代入式（8），则可得

因此，令

则有

然后通过关系式（10），得到矩阵对（R′，R）满足如下等式：

（PR+I）（PR′-I）=0.（13）

同时将式（9）代入式（11），可得到矩阵R′其实是关于矩阵R的多项式形式，因此很容易验证矩阵R′满足关系式（1）中的第一个和第三个等式.至此，从量子包络代数不可约表示的张量积的谱分解的投射项中得到了辫子向量代数V（R′，R）定义中需要满足关系式（1）的矩阵对（R′，R）.现在从这些同样的数据出发，然后取定义2中的多项式集合f ={f（x）}，即只有一个元素构成的集合.然后对于辫子向量代数V（R′，R）的关系式，有如下等价关系：

由式（5）确定的多项式f（x）及R，R′的定义，得到

其中第二个等式由式（10）得到.因此根据式（14）和式（12），可得

从而得证.

[参考文献]

[1]MAJID S. Algebras and Hopf algebras in braided categories [J]. Lecture Notes in Pure and Appi Math，1994，158：55-105.

[2]MAJID S. Braided groups [J]. Pure and Applied Algebra，1993，86：187-221.

[3]MAJID S. Foundations of Quantum Group Theory [M]. Cambridge：Cambridge University Press，1995.

[4]MAJID S. Double-bosonization of braided groups and the construction of U（g）[J]. Math Proc Cambridge Philos Soc，1999，125：151- 192.

[5]HU H M，HU N H. Double-bosonization and Majid's Conjecture （I）：Rank-inductive of A，B，C，D [J]. J Math Phys，2015，56：1-16.

[6]HU H M，HU N H. Double-bosonization and Majid's Conjecture （IV）：Type-Crossings from A to BCD [J]. Sci China Math，2016，59：1061-1080.

[7]MAJID S. Braided momentum in the q-Poincarégroup [J]. J Math Phys，1993，34：2045-2058.

[8]KLIMYK A，SCHMÜDGEN K. Quantum Groups and Their Representations [M]. Berlin：Springer-Verlag，1997.

[9]RESHETIKHIN N Y，TAKHTAJAN L A，FADDEV L D. Quantization of Lie groups and Lie algebras [J]. Leningrad Math J，1990，1（1）：193-225.

（责任编辑：林磊）