国际数学奥林匹克的中国经验

熊斌 蒋培杰

摘要：國际数学奥林匹克是最重要的、影响最大的全球青少年智力竞赛之一，但在国家层面如何有效组织这项赛事使它助力于数学和科技英才培养的研究非常少，数学奥林匹克起源于求解数学难题的竞赛，不少卓越的数学家和科学家都曾是国际数学奥林匹克的优胜者，他们或多或少从中受益，数学奥林匹克有助于选拔和培养数学资优学生已经是共识.中国参与国际数学奥林匹克所取得的优异成绩是世所瞩目的，中国在国际数学奥林匹克中表现优异的队员后来很多都成为杰出的数学家和科技工作者.这些成绩有必要得到宣传，数学奥林匹克的中国经验需要总结和推广.本文主要对国际数学奥林匹克的历史作了简单梳理，并基于文献对国际数学奥林匹克的中国实践进行了述评，中国通过全国高中数学联赛、全国中学生数学冬令营和国际数学奥林匹克国家集训队三级选拔，选出参加国际数学奥林匹克选手的数学竞赛组织方式，以校级培训为主阵地的多级培训体系，以及相关学习资料的积累和出版，是中国在国际数学奥林匹克中取得卓越成绩的重要保障.新冠肺炎疫情暴发对国际数学奥林匹克的正常开展产生了影响，但中国以成功的实践给出了有效的应对措施.当下中国社会各界对数学奥林匹克仍存在一些误解，适当地介绍一些参与过国际数学奥林匹克竞赛并因此在以后的工作中取得卓越贡献的代表性人物，有助于大众更全面地认识数学奥林匹克.同时，国际数学奥林匹克的中国经验对于其他国家组织数学竞赛培训以及选拔和培养数学资优学生具有借鉴价值.

关键词：国际数学奥林匹克;数学竞赛;历史;数据;经验

中图分类号：0119;G630文献标志码：ADOI：10.3969/j.issn.l000-5641.2021.06.001

The Chinese experience at the International Mathematical Olympiad

XIONG Bin1，2，JIANG Peijie1，3

（1. School of Mathematical Sciences，East China Normal University，Shanghai 200241，China;

2. Shanghai Key Laboratory of Pure Mathematics and Mathematical Practice，Shanghai 200241，China;

3. School of Mathematics and Statistics. Hunan Normal University^ Changsha 410081，China）

Abstract：The International Mathematical Olympiad （IMO）is one of the most important and influential global youth intellectual competitions. However，there is little research on how to effectively organize the competition at the national level to help cultivate talent in mathematics，science，and technology. The Mathematical Olympiad originated from a competition to solve mathematical problems. Many outstanding mathematicians and scientists have been prior winners of the IMO and have reaped benefits subsequently to some extent. The Mathematical Olympiad helps to select and train gifted students in mathematics. China's outstanding historical achievements in the IMO have attracted the attention of the world. Many of China's students，who exhibited exceptional performance at the IMO. later became outstandingmathematicians，scientists，and technologists. These achievements need to be publicized，and the Chinese experience at the Mathematical Olympiad needs to be summarized and promoted. This article summarizes the history of the IMO and reviews the practices of the IMO in China based on the literature. China uses a number of strategies to ensure outstanding results in the IMO，including：the selection of contestants from existing domestic programs （National High School Mathematics Joint Competition. Chinese Mathematical Olympiad，and National Training Team）;a multi-level educational system based on school training;and the accumulation and publication of relevant learning materials. The outbreak of the novel coronavirus has affected the normal proceedings of the IMO，but China has implemented effective countermeasures. There are still some misunderstandings about the Mathematical Olympiad in China. By introducing prior contestants，who have participated in the IMO and made outstanding contributions. China can help the public better appreciate the Mathematical Olympiad. At the same time，the Chinese experience at the IMO is an important reference for other countries in organizing competition training and selecting and nurturing gifted students in mathematics.

Keywords：IMO;mathematics competition;history;data;experience

0引言

中国应该成为21世纪的数学大国[1].中国的数学已经取得了很大的进步，在国际数学界已经有了一定地位，但我们与数学强国还有距离，最主要的差距是我们缺乏引领国际数学研究方向的强有力的学术领军人物，缺乏大师级的数学家[2].建设数学强国，数学人才的早期发现和培养十分重要.一个国家的国力、科技的水平很大程度上是通过其精英来体现的.虽然数学奥林匹克的优胜者不一定能成为数学家，数学资优生的培養也不是只有数学奥林匹克这一个途径，但是数学奥林匹克在发现和培养数学人才的工作中起着不容忽视的作用[3].数学竞赛有助于选拔出有数学才能的青少年[4]，数学竞赛对于普及数学文化、发展青少年的数学兴趣以及锤炼青少年的思维品质具有特殊的、不可替代的价值.现代意义上的数学竞赛源于1894年匈牙利组织的一次数学竞赛，一批世界一流的数学家和科学家都曾是匈牙利数学竞赛的优胜者，数学竞赛由此引起了欧美各国的重视[5].自从1980年国际数学教育委员会决定成立国际数学奥林匹克委员会作为其下设的一个专业委员会（1981年4月正式成立），关于国际数学奥林匹克及相关数学竞赛的研究成为数学教育研究中的一个重要课题.由于数学竞赛对发现和培养青少年的数学才能具有重要影响，每年世界上许多国家都会举办各种各样的中小学数学竞赛. 中国自1985年以来在国际数学奥林匹克竞赛中取得了辉煌的成绩[6]，举世瞩目.为什么中国的国际数学奥林匹克成绩能做到长期保持国际领先地位？中国成功的经验是什么？同时，尽管中国在国际数学奥林匹克中的表现卓越，但是中国数学奥林匹克的价值受到过质疑叫社会媒体以及广大家长对数学奥林匹克的认识仍然较为片面，甚至还存在误解.为澄清人们对数学奥林匹克的认识，更好地发现和培养数学资优人才，助力我国早日成为数学强国，有必要对中国参与国际数学奥林匹克的各方面情况做一个总结.

1国际数学奥林匹克及中国参与情况

1.1国际数学奥林匹克竞赛简介

1.1.1数学竞赛的发展和国际数学奥林匹克的诞生

诞生于1959年的国际数学奥林匹克竞赛（International Mathematical Olympiad，IMO），是世界范围内青少年最高级别的智力活动之一.数学奥林匹克起源于解数学难题的竞赛.一般认为，世界上第一个真正有组织的中学生解数学题目的竞赛开始于匈牙利.

1894年，匈牙利教育部门通过一项决议，准备在中学举办数学竞赛.当时著名的科学家J.埃特沃什（J. von Etövös）男爵担任教育部部长.在他的积极支持下，这项中学生的比赛逐渐发扬光大[8].部长的儿子、物理学家R.埃特沃什（R. von Etövös）成功地用实验验证了爱因斯坦广义相对论的等效原理，这是匈牙利科学家在世界舞台上崭露头角的标志性事件，从此，匈牙利数学竞赛的奖励亦被称作“埃特沃什奖”.之后，匈牙利产生的许多著名科学家都曾从数学竞赛中获益，比如分析学家费叶尔（L. Fejér）、舍贵（G. Szegö）、拉多（T. Radó）、哈尔（A. Haar）、黎斯（M. Riesz），组合数学家寇尼希（D. König），以及举世闻名的空气动力学家冯·卡门（T. von Kármán），1994年获诺贝尔经济学奖的博弈论大师豪尔绍尼（J. C. Harsanyi）等，他们都是数学竞赛的优胜者.

1934年，在当时的列宁格勒（今圣彼得堡），由著名数学家狄隆涅（B. Deione）主持举办了中学生数学竞赛;1935年，莫斯科也开始举办数学竞赛.除了因“二战”曾中断过几年，这两个竞赛都延续至今.苏联和俄罗斯是数学奥林匹克大国，包括最伟大的数学家柯尔莫哥洛夫（A. N. Kolmogorov）在内的许多大师级人物都热心于数学竞赛事业，亲自参与命题.苏联还把数学竞赛称作“数学奥林匹克”，认为数学是“思维的体操”，这些观点在教育界的影响很大.1998年菲尔兹奖获得者康采维奇（M. Kontsevich）曾获全苏竞赛第二名;享誉全世界的国际象棋棋王卡斯帕罗夫（G. Kasparov）曾获第三名.

在美国，由于著名数学家伯克霍夫（Birkhoff）父子和波利亚（G. Pólya）的积极提倡，于1938年开始举办低年级大学生的普特南（Putnam）数学竞赛，这项竞赛中的很多题目是属于中学数学范围的[9].普特南竞赛中成绩排在前五位的人，就可以成为普特南会员.在这些人中出现了许多杰出人物，包括大名鼎鼎的费曼（R. Feynman，获1965年诺贝尔物理学奖），还有威尔逊（K. Wilson，获1982年诺贝尔物理学奖）、米尔诺（J. Milnor，获1962年菲尔兹奖）、芒福德（D. Mumford，获1974年菲尔兹奖）、奎伦（D. Quillen，获1978年菲尔兹奖）等.

在许多国家（尤其是东欧国家）已有的国内数学竞赛的基础上，罗马尼亚在1956年向东欧7国倡议举办国际数学竞赛，并于1959年主办了首届国际数学奥林匹克，简称IMO[3].国际数学奥林匹克是当前最有影响力的中学数学竞赛，近年来参与这一赛事的国家和地区已经超过100个，并且世界上的主要大国全部参与该项赛事.

在获得IMO奖牌的学生中，有不少日后成为大数学家.据不完全统计，IMO获奖学生日后获得菲尔兹奖的有：1959年银牌得主Gregory Margulis （俄罗斯，1978年）;1969年金牌得主Valdimir Drinfeld（乌克兰，1990年）;1974 年金牌得主Jean-Ghristophe Yoccoz（法国，1994年）;1977年金牌、1978年银牌得主Richard Borcherds（英国，1998年）;1981年金牌得主Timothy Gowers（英国，1998年）;1982年金牌得主Grigori Perelman（俄罗斯，2006年）（解决了庞加莱猜想）;1985年银牌得主Laurant Lafforgue（法国，2002年）;1986年铜牌、1987年银牌、1988年金牌得主Terence Tao（美国，2006年）;1986年金牌、1987年金牌得主Stansi-lav Smirnov（俄罗斯，2010年）;1988年铜牌得主Elon Lindenstrauss（以色列，2010年）;1988 年金牌、1989年金牌得主Ngo Bao Chau（越南，2010年）;1994年金牌、1995年金牌得主Maryam Mirzakhani（女，伊朗，2014年）;1995年金牌得主Artur Avila（巴西，2014年）;2004年银牌、2005年金牌、2006年金牌、2007年金牌得主Peter Scholze（德国，2018年）;1994年铜牌得主Akshay Venkatesh（澳大利亚，2018年）.可见，参与国际数学奥林匹克的经历与成为大数学家的关系十分密切.

1.1.2国际数学奥林匹克的试题和评分

国际数学奥林匹克试题的合理性与有效性是很重要的，每届IMO试题都会对各国数学奥林匹克的培训工作产生不同程度的影响[10].

IMO试题涉及的数学内容包括：代数、组合、几何、数论4大板块，各国数学竞赛的命题围绕这4个板块的内容进行.除了最初几届外，IMO都是6道试题，比赛时间定于每年的7月.正式比赛分两天，每天4个半小时做3道题目.每题满分7分，总分42分;团体总分252分.约有一半选手可获奖牌，其中有1/12左右的选手获得金牌，2/12左右的选手获得银牌，3/12左右的选手获得铜牌.如果有哪个学生提供了比主试委员会的官方解答更别致的解答，可以获得特别奖.

IMO由参赛国轮流主办，经费由东道国提供.IMO规定，正式参加比赛国家和地区的代表队由6名学生组成，另派1名领队（Leader）和1名副领队（Deputy Leader）.试题由各参赛国提供，然后由东道国组织专家组成选题委员会对这些试题进行研究和挑选，从中选出约30道试题作为预选题（shortlist problems），代数、几何、组合、数论这4块内容各7～8道试题，然后提交给由每个国家的领队组成的主试委员会（July meeting）讨论投票表决，最终产生6道试题作为正式考题.东道国不提供试题.试题确定之后，写成英语、法语、德语、俄语、西班牙语这5种工作语言，各国领队将试题翻译成本国语言，每个学生可以有两种语言的试题.

学生的答卷先由本国领队参照评分标准评判，然后与东道国组织的协调员进行协商，如有分歧，再到主试委员会上仲裁.主试委员会由各国的领队及主办国指定的主席组成.主试委员会除了选定试题，还有以下几个方面的职责：确定评分标准;确定如何用工作语言准确表达试题，并翻译、核准译成各参加国文字的试题;比赛期间，确定如何回答学生用书面提出的关于试题的疑问;处理个别领队与协调员之间在评分上的不同意见;根据学生成绩决定金牌、银牌和铜牌的个数与分数线（因为每年试题难度不完全相同）.

1.2中国参与国际数学奥林匹克的情况

在中国，从老一辈数学家、中青年数学家直至中小学老师，成千上万人的共同努力才在数学竞赛方面获得了今天的成就[11].中国的数学竞赛始于1956年，这一年在北京、天津、上海、武汉四大城市分别举办了高中数学竞赛[12].华罗庚、苏步青、江泽涵等当时中国最有威望的数学家都积极领导和参与这项工作.但是从1956年至1965年這十年间，只零零星星举办过6届数学竞赛.“文化大革命”开始后，数学竞赛更被戴上“封、资、修”的帽子，被完全加以禁止[13].1978年，我国的数学竞赛活动又重新开始，并从此走上了高速发展的道路.1980年，中国数学会成立了普及工作委员会，我国的数学竞赛活动有了明确的组织，完成了一些规范化、制度化的建设后情况才开始转变[14].自1985年起我国开始参加国际数学奥林匹克，国内各级各类竞赛活动蓬勃开展，学习材料丰富多样，数学竞赛的培训成为部分学生的第二课堂，甚至成为数学资优生的“第二学校”，我国的数学竞赛迅速达到并常年保持国际领先水平.

关于中国首次参加IMO的经历，裘宗沪先生曾做过回忆[15].1980年三四月份的时候，邓小平办公室的工作人员询问过中国科学院院部：我们国家可不可以组队参加IMO？中科院有关领导就此询问王寿仁与裘宗沪的意见，他们表示中国可以参加而且应该参加.1981年IMO在美国举行，这是IMO第一次在欧洲以外举行，所以美国很重视.从1980年夏天开始，中国前后共收到美国IMO组委会发来的四封邀请信.不料在1980年11月中国科协的负责人未予批准参赛.从1981年开始，在很多人的努力下，历经曲折，1985年中国首次非正式地参加了第26届IMO，当时只有两名学生参赛.裘宗沪和王寿仁作为观察员带队，两名学生分别是北大附中的王锋和上海向明中学的吴思皓，中国科技大学的单博老师受邀辅导这两位学生.中国第一支数学奥林匹克代表队提前到达芬兰赫尔辛基熟悉比赛环境，并于到达赫尔辛基的第三天正式到IMO组委会报到.由于是第一次参与IMO，队员比较紧张，并且当年的赛题偏难，两名队员中只有吴思皓获得了铜牌，这是中国参与IMO获得的第一块奖牌.从赫尔辛基回国后，王寿仁和裘宗沪等即着手准备下一届IMO，并思考如何将IMO引进中国.1985年12月，基于为IMO选拔学生的需要，“数学冬令营”作为活动名称在中国数学会50周年纪念会上首次被提出.

从1986年开始，除了1998年在中国台湾举行的那次，中国队都派足了6名队员正式参加IMO.其中，1989年在原德意志联邦共和国举办的第30届IMO，中国队获4金2银，首次获得总分第一.这次比赛的正副领队是马希文与单博.1987年，IMO的常设委员会同意了中国承力、IMO的申请，并确定由中国举办1990年的第31届IMO.

自从1987年确立1990年在中国举办第31届IMO后，中国的数学家与中学老师们都深受鼓舞，从各个方面进行了积极的筹备，最后取得了成功[13].第31届IMO由国家教委、北京市政府、中国科协、国家自然科学基金委及中国数学会5个单位联合举办.组织委员会主任为李铁映（国务委员兼教委主任）、副主任由王元（中国数学会理事长）、柳斌（国家教委副主任）、陆宇澄（北京市副市长）、曹令中（中国科协书记处书记）和王仁（国家自然科学基金委副主任）担任.组织委员会任命王寿仁为秘书长，裘宗沪为常务副秘书长.第31届IMO的参赛队伍多达54个，在参赛队数量上破了纪录.由于财政部批准的120万元经费比预算少20万元，秘书处委派吴建平与晁洪由北京至广州一路集资，经一个月集资20万元，其中大部分是由各地教育出版社资助的.我国参加第31届IMO的代表队由单博与刘鸿坤任正副领队，杜锡录协助训练和照顾队员日常生活，赛前队员在北戴河集训了一个多月.在这届IMO中，中国队以5金、1银及总分230分的总成绩获得总分第一.经过这届IMO，中国高中生的数学竞赛模式已经程序化、制度化地固定下来，即经由全国高中数学联赛、全国中学生数学冬令营、国际数学奥林匹克国家集训队选出参加IMO的选手.

截至2021年8月，我国IMO参赛队员共218人（其中女生9人），他们来自五湖四海，其中湖北33人，上海32人，北京29人，广东22人，湖南21人，浙江12人，江苏11人，辽宁7人，山东7人，四川7人，吉林5人，天津5人，河南4人，陕西4人，重庆4人，福建3人，河北3人，黑龙江3人，江西3人，安徽2人，新疆1人.

人数分布见条形图（见图1），湖北、上海、北京、广东、湖南、浙江和江苏产出的IMO队员是最多的，这些省份都是教育文化浓厚、教育水平较高的省份，广西、云南和甘肃等省份还没有产出过IMO队员，可见数学奥林匹克的培训质量与当地教育水平有关.

截至2021年8月，中国数学奥林匹克国家队领队和副领队情况见表1.领队和副领队等相关人员的辛勤付出为国家队取得优异成绩提供了重要的保障.其中，裘宗沪、熊斌和冷岗松教授因对中国数学竞赛的发展做出突出贡献，分别于1994年、2018年和2020年获得由世界数学竞赛国家联盟颁发的保罗·厄尔多斯奖（Paul Erdös Award）.

1.3疫情对IMO的影响及中国的应对措施

2020年年初，新冠肺炎疫情暴发，对IMO的正常开展产生了影响.原定于7月在俄罗斯圣彼得堡举行的第61届IMO，被延期至2020年9月18—28日在线上远程举行，来自105个国家和地区的616名选手参加了此次比赛.

为了确保竞赛的保密性和公正性，每个参赛的国家和地区都按组委会的要求设置了独立的考试中心，并由中立的国际数学奥林匹克专员在现场监考，考试试题在考前3小时发给领队翻译，经过确认的试题在考前15分钟发给IMO专员进行打印，然后发给学生.

考试时间按照格林威治标准时间为每个参赛的国家和地区选择了特定的时间窗口，时长为4小时30分钟.组委会给出的时间窗口是格林威治时间（UTC）上午7点30分到中午12点.所有参赛队伍都必须在这个时间段里选择开始考试的时间，中国队选择的是最早开始考试的时间：9月21日UTC 07：30～12：00，北京时间是15：30～20：00;9月22日UTC 07：30～12：00，北京时间15：30～ 20：00.中国队的考试场地在北京大学数学科学学院内.

在中国国家队队员的选拔和集训上，由于疫情的影响，原定于3月份举行的选拔出6位国家队队员的国家集训队集训没能如期举行，中国数学会一直希望在疫情缓解时举行国家集训队的集训活动，但到5月底需要报送国家队名单时，还未能进行国家集训队的活动，中国数学会决定将2019年中国数学奥林匹克（冬令营）成绩排在前6名的学生作为2020年的国家队队员.自2020年6月初确定国家队名单后，国家队教练组就开始对6名学生进行了线上培训，基本上是每周1～2次.9月17—19日，中国国家队在北京大学数学科学学院进行了考试前的集训和准备.

在这不平凡的第61届IMO中，中国队以总分215分获得团体第一名.获得团体总分前10名的队分别是：中国（215分）、俄罗斯（185分）、美国（183分）、韩国（175分）、泰国（174分）、意大利（171 分）、波兰（171分）、澳大利亚（168分）、英国（167分）、巴西（164分）.这届IMO中国队的领队为熊斌，副领队为何忆捷，观察员为姚一隽、瞿振华、付云皓.中国队的6名队员分别是重庆市巴蜀中学校（高二，42分，金牌）的李金琨，浙江省乐清市知临中学（高三，40分，金牌）的韩新淼，中国人民大学附属中学（高二，37分，金牌）的依嘉，浙江省杭州市学军中学（高三，36分，金牌）的梁敬勋，华南师范大学附属中学（高二，31分，金牌）的饶睿，南京师范大学附属中学（高三，29分，银牌）的严彬玮（女）.这届IMO的金牌分数线是31分，银牌分数线是24分，铜牌分数线是15分.在全球几乎所有活动都受到疫情影响的环境下，中国队准备IMO的应对措施积极有效，再次取得世所瞩目的成绩.

2021年7月14—24日在俄罗斯圣彼得堡市举行的第62届国际数学奥林匹克，来自107个国家和地区的619名选手参加了此次比赛.经过7月19日和20日的两场考试，中国队以总分208分获得团体第一名.上海华东师范大学二附中王一川同学获得唯一的满分，所有隊员都获得金牌并进入个人前20名.

2中国参与国际数学奥林匹克取得的成绩

2.1团体总分和获得奖牌情况

根据IMO官网的数据（以下原始数据均来自官网）[16]，截至2021年8月，中国队自1985年首次参加IMO以来，共参加了36届IMO，有22次为团体第一名，8次为团体第二名，获得168枚金牌（其中有35人共38次获满分），36枚银牌，6枚铜牌.中国队获团体总分第一的次数和金牌总数均位居世界第一.团体总分和获奖等具体情况见表2.

从表2可以看到，历届IMO中国队团体总分的波动较大，这或许与题目的难度波动有关.中国队6名队员全都获得金牌共13次，并且近年来中国队的团体成绩已经稳定在前三名，并主要集中在第一名，中国的IMO成绩是所有参赛国成绩中最为优异的.

图2为我国自第27届以来历届代表队获得金牌数及团体名次的柱形图（其中深色条形表示金牌数，浅色条形表示名次）.浅色条形图显示中国团体名次多数分布在前2名，只有1次获得第8名，1次获得第6名，1次获得第4名，2次获得第3名.

在国际数学奥林匹克（截至2021年）中获得金牌3枚及以上（全国前十六）的中国学校获奖情况见表3.表中学校在数学奥林匹克教育中都是有专长、有特色的学校，这些学校共获得金牌102枚，它们分布在北京、上海、湖北、广东、湖南和浙江等省份.

2.2典型的成功个案

在近20年的菲尔兹奖获得者中，有一半以上是IMO的优胜者.中国的数学竞赛选手中已经涌现出许多优秀的青年数学人才，例如恽之玮、张伟和许晨阳等，未来可期.以下是对他们中一部分代表所取得成就的简介.

恽之玮是2000年第41届IMO满分金牌获得者，2012年获得拉马努金奖，2018年获得科学突破奖之数学新视野奖，2019年获得华人数学家大会金奖，2018年应邀在国际数学家大会上做45分钟报告，2019年入选美国数学会会士，获美国Packard基金和Simons学者基金支持.

张伟是2000年中国数学奥林匹克（冬令营）选手，2010年获得拉马努金奖，2013年获得斯隆研究奖，2016年获得ICCM数学Morningside金奖，2017年获得Simons奖，2019年获得克雷研究奖（Clay Research Awards）.

许晨阳是1999年中国国家集训队队员，2016年获得拉马努金奖，2017/2018担任庞加莱讲座教席（The PoincaréChair），2017年荣获“未来科学大奖——数学与计算机科学奖”，并获得100万美元奖金，2021年获得科尔代数奖.

刘一峰是2003年国家集训队队员，2017年获斯隆研究奖，2018年获得拉马努金奖.

张瑞祥是2008年IMO金牌获得者，美国普林斯顿大学博士，师从Wolf奖得主Peter Sarnak，其3篇论文已在世界数学界四大顶级期刊中的Annals of Mathematics和Inventiones Mathematicae上发表.

韦东奕是2008年、2009年IMO满分金牌获得者，获得丘成桐大学数学竞赛代数、分析、几何、概率、应用及个人全能金奖，已经完成了25篇学术论文，多数文章已发表在国际一流期刊上.

孙斌勇是1995年国家集训队队员，2014年获得陈嘉庚青年科学奖，2016年获得中国优秀青年科技人才奖，2016年获得中国科学院青年科学家奖，2018年获得国家自然科学二等奖，2019年成为中科院院士，2020年获得第二届全国创新争先奖.

袁新意是2000年IMO金牌获得者，2008年博士毕业时获得美国克雷研究奖，成为第一位荣获该奖的华人.

以上仅是一部分代表所取得的成绩，中国的数学竞赛优胜者中已经有很多在数学研究上取得了重要的成果，做出了突出的贡献.相信在不远的将来，中国将会出现不少菲尔兹奖获得者.无论从整体还是从个别、从国外还是从国内来看，数学竞赛对数学与科学英才的教育都有非常重要的价值.

3国际数学奥林匹克的中国经验

3.1国际数学奥林匹克的中国组织方式

经过多年的探索与实践，中国已形成比较完整的数学竞赛组织体系，中国数学会普及工作委员会（现为中国数学会数学竞赛委员会）负责全国数学联赛和数学科普活动，中国数学会奥林匹克委员会（现为中国数学会数学竞赛委员会）负责中国数学奥林匹克（CMO）选手的选拔、国家代表队的培养和对外联系.国际数学奥林匹克的中国组织方式是围绕IMO中国国家隊的选拔工作，发展出金字塔式的数学奥林匹克选拔体系.IMO中国国家队的现行选拔流程大致可由图3表示.以下对各个赛事做简单介绍.

全国高中数学联赛是一项群众性的、影响力颇大的课外数学活动.近些年，全国每年约有5万名中学生参与此项竞赛（如果算上各省市组织的预赛，则有大约100万人）.因为参与人数众多，数学竞赛对数学的普及工作有着重要的作用.同时，全国高中数学联赛还肩负着一项重要的选拔任务——每年选出各省市最优秀的选手（每年共350～400人）获得中国数学奥林匹克（CMO）的参赛资格.

中国女子数学奥林匹克（CGMO）每年举行一届，已经举办了20届（2021年），比赛时间在每年8月中旬，每次比赛大约有40个代表队参加，每队派4名选手，美国、俄罗斯、菲律宾、新加坡、英国、日本、韩国、中国香港、中国澳门和中国台湾也都曾派队参加中国女子数学奥林匹克.中国女子数学奥林匹克与IMO接轨，进行两天的笔试，每天上午考4道题目，考试时间为4小时（8点到12点）.中国女子数学奥林匹克命题的范围与IMO一样，涉及代数、几何、组合、数论等4个领域，但赛题的难度低于IMO.竞赛评出团体总分第一名和个人金、银、铜牌.从2019年起，总分前15位的选手获得参加中国数学奥林匹克的资格.

中国数学奥林匹克（CMO）即全国中学生数学冬令营，由中国数学会数学奥林匹克委员会组织，是面向高中生的顶级数学竞赛之一.CMO的参赛者包括各省（直辖市）高中数学联赛的优胜者，CGMO的优胜者，中国香港、中国澳门以及应邀参加的其他国家的代表队.中国数学奥林匹克的难度与IMO相当，设一、二、三等奖.从中再选拔60名学生组成CMO中国国家集训队.这60名学生可以保送进入国内的顶尖大学就读.国家集训队在每年的3月份进行集训，通过若干次考试，从中选拔出6名学生组成中国数学奥林匹克国家队，参加当年的IMO.

3.2国际数学奥林匹克的中国培训体系

中国的数学竞赛培训体系呈现“校级一省市级一省际级”的结构，兼顾普及与提高，交叉覆盖到学生的各个年龄段以及各学习水平层次.其中，省际级数学竞赛活动主要由一些区域性数学竞赛和特色夏令营活动组成，每年可以生成大量的共享资源.此外，教练员培训也是整个培训体系的一部分.

3.2.1校级培训的组织方式

数学资优生的选拔是校级培训的首要任务，不能面向所有学生进行数学竞赛的培训.数学资优生的识别有以下值得关注的几个方面[17]：对数学的领悟力与理解的深刻性（体现在模式迁移、方法迁移、思想迁移和创新与突破上），对数学的痴迷度与专注度（体现在释疑的坚持性、探究的坚持性、成败的坚持性和完美的坚持性上）和数学思维的缜密性与跳跃性等.

校级培训是我国广泛开展奥林匹克数学教育的基层力量，主要采取第二课堂的形式，有兴趣小组、拓展课程等，贯穿中学的各个年级，大多属于数学竞赛的普及教育，作为课堂学习的补充.但在一些有理科特长的重点中学中，校级培训的专门性强、训练水平高，成为培养高水平数学奥林匹克选手的主阵地.

从课程与教学的角度来看，数学资优教育主要有3种基本形式：充实、区分和加速[18].充实是指为资优生提供更丰富的学习材料，以扩大学生的知识视野;区分则是在某种意义下进行能力分组，改编课程，以便为不同水平的学生提供合适的学习机会;加速则是提供给学生密集的材料或更多的信息，以更快的速度进行教学，使资优生尽早获得进一步发展所需的高级知识体系.在数学竞赛的校级培训中，这3种形式并存.

充实是指学校开设不同主题的数学拓展型课程，涵盖数学竞赛、数学解题思想与方法、数学建模、数学史与数学文化等，以提供给不同兴趣、不同层次的学生多样化的选择，有益于学生加深数学理解，提升素养，开阔视野.对于数学资优生，有的学校组织数学竞赛小组，利用一些课余时间进行拓展讲座或训练，学生自愿参加，为一些数学竞赛做准备.区分是将少数有数学天赋、成绩优秀的学生汇集在一个班级内，凡是上数学课时就分到另一个教室进行小班化教学.竞赛水平突出的学校，会在每个年级开设数学重点班或理科重点班，学生入校时即对整个学段的教学作整体规划，且对于重点班内的学生进行更细的分层教学.以上海市上海中学为例，学校自2008年至2014年，连续7年培养出IMO金牌选手，其分层模式从1990年开始建立，每年从上千名对数学感兴趣、有较强学习能力、参加数学竞赛的上海市高一新生中选拔40多名组成数学班，创设专门的课程进行培育.从1998年开始，每年又从数学班挑选10余名数学领悟能力强的学生组成数学小班，进行小班化教育，并对其中涌现的3～4名具有数学强潜能、高天分学生进行个别化教育[17].许多情况下，采取区分教学的组织方式是为了便于对数学资优生进行加速教学，即让学生更快速地掌握课本知识以及数学竞赛中的基础知识与常规技能，为进一步提高打好基础.加速是在区分教学完成之后，进行数学解题的强化训练.

在以上3种数学资优教育的形式中，“充实”更着眼于数学竞赛的普及教育，“区分”与“加速”则兼有普及与提高的功能.区分教学与加速教学会增加学生的学习负担，因此并不适合大多数学生.

对于高中数学竞赛，较多学校采用“1+n”的导师带教模式叫即对有数学天赋的学生安排一个数学教师作为长期带教的核心教师，同时整合校内数学教学团队成员（甚至是校外数学教授指导团队）的智慧.核心教师要充分了解每名学生的特点，对学生未来作预测，观察他们在高中阶段的表现与能达到的高度，制订出个性化的培养计划，同时设计好每一个时间节点完成适当的任务，并在恰当的时间邀请各方向上的专家教授来做专门指导.这个模式的优势在于基础与提高并重，让学生接触到不同的老师思考数学问题的不同习惯、切入角度等个性化的东西，得到更大的发展.

校级培训往往会从课内教学开始，到竞赛普及，再到竞赛提高.整个过程大致可分为基础训练、专题训练、强化训练、赛前训练这4个阶段，各个阶段强调的重点有所不同[19]。

基础训练阶段的教学任务是教完高中（初中）教学内容，使学生的数学知识达到毕业水平.其教学形式和教学方法与常规教学相近，但在内容上有适当的加深与拓宽，在方法上注重渗透竞赛中的思想方法.专题训练阶段的主要任务是系统讲解数学竞赛知识、问题与方法，同时也要正确引导，使学生养成良好的学习习惯，进一步提升自学意识和自学能力，并始终保持积极向上的学习情感.经过此阶段，学生可以加深对数学知识的理解，建立结构化的认知，领悟思维方法，拓宽知识面.强化训练一般仅针对极少数水平突出的学生（主要是CMO及以上水平的参赛选手）.这个阶段是用高水平的竞赛题来训练学生，让顶尖层次的学生相互竞争与合作，并辅以心理引导工作.强化训练的主要目的是让学生进入较好的赛前状态，比如通过模拟测试，让学生熟悉将要参加的比赛形式，增强临场考试的经验，以及通过较平和的填空题训练，使學生避免知识的生疏，并对知识和方法的缺陷做进一步弥补.在参加一些省市级以上的重要数学竞赛之前，不少学校会利用假期、课余时间，或是赛前一到两周的时间，为参赛选手组织赛前集训，这也是校级培训的一个重要组成部分.大体上说，前两个阶段与课内学习的关系相对密切，后两个阶段则着眼于竞技水平和竞技状态的提升.

3.2.2省市级数学竞赛与培训组织

我国有多项省、市级的初、高中数学竞赛.这些竞赛活动一般由省、市的数学会主办.北京、上海等地常年开展初中、高中的数学竞赛，并有历年试题解答等系统性的出版资料.有些省份则将省数学竞赛作为全国数学联赛的预赛.

除举办比赛之外，各省、市的数学会还组织一些数学竞赛的培训工作.多个省市常年举办数学竞赛夏令营活动，聘请高校教授、中学特级教师、一线教练员为学生授课.以浙江为例，浙江大学数学系与浙江省数学会每年联合举办浙江高中数学夏令营活动，按“高考、高中联赛一试、高中联赛加试”分层次开展培训，旨在提高中学生的竞赛水平和高考水平.

上海则采用另一种颇有特色的培训模式——中学生业余数学学校.近二十年来，上海学生在国内外的数学竞赛中取得好成绩与上海市中学生数学学校有很大关系.上海市中学生数学学校是由著名数学家苏步青先生倡议，经上海市教委同意，由上海市数学会主办、接受市教委教研室指导的一所中学生业余数学学校.学校自1987年建校至今已开办二十多年.学生分布于六年级至十二年级，每个年级有400名左右学生，集中了上海市最优秀的数学尖子.学校聘请了复旦大学、华东师大的教授及上海市最优秀的数学竞赛教练员给学生进行授课，每个周日给学生进行2小时左右的数学课外辅导.

数学学校的课程与中学普通课程的节奏大致吻合，故比较符合资优教育中的“充实”形式.另外，受上海市数学会的委托，上海市中学生业余数学学校还承办了上海市高中数学竞赛和上海市初中数学竞赛的命题和组织工作，从中选拔一些最优秀的学生组织成一个小班再进行特殊的辅导.从1987年以来，上海市进国家队的学生基本上都在数学学校经历过特殊的辅导.省市级培训与校级培训交叉配合，使数学尖子生进一步得到发展，同时也推动教练员队伍的建设.

3.2.3数学竞赛教练员的培训

中国数学会普及工作委员会于1988年起建立了“中国数学奥林匹克等级教练员制度”，中国数学会及各省市的数学会，经常开设有中学青年教师的培训班，最后通过解题、教案等考核来作出相关的评定.教练员在职前也有一些学习的机会，例如在一些师范院校，除了数学教育的基础课程与教学实习之外，还会开设数学竞赛与解题原理、数学方法论等选修课程，为师范生踏上教练员岗位做好前期准备.

为了不断提高中国数学竞赛的命题水平，特别是中学数学竞赛教练员的命题水平，让一线的中学数学教练员能参与各级各类数学竞赛的命题工作，加强各学校间的交流，原中国数学普及工作委员会主任裘宗沪教授提议举行一项全国性的数学竞赛命题研讨活动.2010年，由华东师范大学国际数学奥林匹克研究中心主办的首届全国数学竞赛命题研讨会在上海中学举办.截至2021年，全国数学竞赛命题研讨会已经顺利举办了11届.命题研讨会为命题和训练提供了切磋交流的平台.在历届命题研讨会中，对如下主题进行了深入的探讨、研究和交流：什么是好的数学竞赛题;数学竞赛命题的常用方法;命题教师的命题经验和体会分享;国内外数学竞赛的历史与现状;数学资优生发现与培养的理论与实践;数学竞赛与数学研究等.

3.3国际数学奥林匹克中国学习资料的出版

虽然中国的数学奥林匹克图书市场规模在缩小[20]，但是中国的数学奥林匹克学习资料已经十分丰富.中国剛开始举办数学竞赛的时候，华罗庚等老一辈数学家直接给中学生做报告，在这些报告的基础上，出版了一批优秀的课外读物——《数学小丛书》[21]，在中国流行颇广.自1985年中国正式参加国际数学奥林匹克以来，数学竞赛的研究和阅读材料在中国蓬勃发展，其内容广泛，风格多样，可以为不同层次的学生提供丰富的学习资源.以华东师范大学出版社为例，它不仅为高于平均水平的学生出版书籍，如《从课本到奥数》《优等生数学》和《解题高手》等，也出版竞赛科普书籍，如《奥数教程》[22]和《数学奥林匹克小丛书》[23]系列等，书中问题均有解答或提示.此外，国内还出版了《高中数学联赛备考手册》（当年各省市预赛题汇编）和《IMO：奥林匹克数学问题集锦》等收集国内外不同层次、不同类别高中数学竞赛问题与解答的书籍.

与此同时，在著名数学家、教育家波利亚问题解决思想的影响下，我国开展了一些基于数学方法论的竞赛数学问题解决理论与实践的研究.这些书主要讲方法论和策略，与课堂教学重叠，有利于加深对知识的理解和寻找解决问题的思路.例如，单博的《解题研究》[24]等书籍是将数学问题中的竞赛数学与解题策略相结合的优秀作品，对竞赛参与者和指导老师都有很大的启发.

由于信息获取和交流的便利，从事竞赛数学教育工作的中国专家收集了各种国际资料，并逐步将IMO预选题和其他国家的数学奥林匹克竞赛的问题和解答发表出来.这些资料开阔了学生们的视野，成为奥数爱好者了解世界各地数学竞赛的一个窗口.在数学竞赛研究和普及的浪潮中，数学家、教育研究者和高中教师（甚至学生）都纷纷在各种数学教育刊物上报道他们的研究成果.其中一些杂志为参赛选手和教练提供了很好的阅读材料.例如，《中等数学》是天津师范大学、天津市数学学会、CMS普及委员会主办的专业月刊，内容以高中数学竞赛和课外活动为主.该刊设有“数学活动课程讲座”“问题提出与问题解决”“学生写作”“基础数学研究”“竞赛之窗”和“课后训练”等栏目.每年，它还发行两种特别补充刊.一系列学习资料的出版是中国IMO成绩卓越的重要助力.

4总结

数学奥林匹克是青少年的一项智力竞赛，在以基础科学为竞赛内容的智力竞赛中历史最久、举办国家最多、影响最大.开展世界范围的数学竞赛，对于提高中学生数学水平、实现中学数学教育的现代化和发现有数学天赋的青少年都有着重要作用[25].虽然中国是从1985年才开始参加IMO，但自从参加IMO后便迅速取得了优异的成绩，至今一直处于世界领先水平.这是值得自豪的，也是值得宣传的.但是成绩的取得并不容易，中国之所以在国际数学奥林匹克中取得优异成绩，是因为中国具备了符合本土特点的、系统的数学竞赛的培训体系和丰富的数学竞赛活动组织形式，并且有一批热爱数学普及事业、专注数学资优教育的专家教授和一线教练们在不懈努力.虽然当下社会各界对数学奥林匹克还存在一些误解，但数学奥林匹克发现和培养数学资优生的作用是毋庸置疑的.很多在数学和科学技术上做出突出贡献的工作者曾经有过数学奥林匹克学习和获奖的经历，数学奥林匹克优胜者日后做出重大科学发现的案例有必要让大众了解.同时，中国在IMO中取得佳绩是很多人努力的结果，他们中有数学家、一线数学教师、校长和教练员等，其不平凡的历程应该为世人所知.此外，中国组织数学奥林匹克的经验以及数学奥林匹克的中国培训方案应该得到梳理和总结，以便在中国以及更大的范围内更好地发现和培养数学资优生，从一个侧面助力中国乃至世界数学拔尖人才和科技创新人才的培养.

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（责任编辑：林磊）