多复变整函数涉及全导数的Picard型定理

周胜瑶 杨刘

摘要：本文中，我们利用多复变对数导数引理将Milloux不等式推广至关于整函数全导数的微分多项式.作为应用，我们证明了两个多复变Picard型定理：设f是上的一个整函数，a，b是两个判别复数且b≠0，（1）如果f≠a，f关于全导数的微分多项式，则f是常函数;（2）如果，且，则f是常函数，其中Df是f的k阶全导数.

关键词：整函数;多复变;全导数;微分多项式

中图分类号：O174.5文献标志码：ADOI：10.3969/j.issn.l000-5641.2021.06.005

Picard-type theorems for entire functions of several complex variables with total derivatives

ZHOU Shengyao，YANG Liu

（School of Mathematics and Physics^ Anhui University of Technology，Maanshan Anhui 243032，China）

Abstract：In this paper，we use the logarithmic derivative lemma for several complex variables to extend the Milloux inequality to differential polynomials of entire functions. As an application，we subsequently apply the concept to two Picard-type theorems：（1）Let f be an entire function in  and a，b（≠0）be two distinct complex numbers. If f≠a，，then f is constant. （2）If  and ，then f is constant，where Df is the k-th total derivative of f and  is a differentialpolynomial of f with respect to the total derivative.

Keywords：entire function;several complex variables;total derivative;differential polynomial

0簡介及主要结果

著名的Picard定理说明，复平面上不取三个值的亚纯函数必为常函数.我们把有关亚纯函数蜕化为常函数的定理称为Picard型定理.例如，由Milloux不等式可以得到整函数涉及导数的Picard型定理.

定理A设f是上的一个整函数，k是一个正整数.若f≠0，f≠1，则f是常函数.

Hayman在文献[1]中将定理A进一步推广到亚纯函数.

定理B设f是上的一个亚纯函数，k是一个正整数.若f≠0，f≠1，则f是常函数.

在文献[1]中，Hayman还得到涉及导数的另一种形式的Picard型定理.

定理C设f是上的一个整函数，k>1是一个正整数.若ff′≠1，则f是常函数.

在文献[1]和文献[2]中，Hayman猜想：定理C在k≥1时均成立.1967年Clunie在文献[3]中证明了这个猜想成立.这些结果引起国内外学者对涉及导数的亚纯函数值分布理论的关注和研究.另一方面，一个很自然的问题是：如何将上述涉及导数的Picard型定理推广至多复变情形.为此，2003年金路在文献[4]中引入多复变上全导数的概念，并将定理A和定理C推广至多复变整函数情形.

定义1设f是上的一个整函数，f的全导数是

其中是f关于z的偏导数（j=1，2，…，n）.设k是一个正整数，归纳地定义f的k阶全导数为Df=D（Df），且约定Df=f.

定理D设f是上的一个整函数，a，b是两个判别复数且b≠0，k是一个正整数，若f≠a，Df≠b，则f是常函数.

定理E设f是上的一个整函数，b是一个非零复数，k是一个正整数且k≥2.若f·Df≠b，则f是常函数.

近年来，有不少涉及多复变整函数或亚纯函数全导数的研究，例如多复变的Picard型定理（见文献[4]和文献[5]），多复变唯一性的问题（见文献[6-8]），以及多复变的正规定则（见文献[9]和文献[10]）等.本文的主要目的是考虑全导数整函数的微分多项式，将定理D和定理E推广至更为广泛的形式. 为方便叙述，我们首先定义一些符号.

如果f是上的一个整函数，S是非负整数（0≤j≤k），则称

是f关于全导数的一个微分单项式.

分别称为微分单项式的次数和权重.如果是整函数f关于全导数的p个不同的微分单项式，记.设a是上的整函数，，且除去一个Lebesgue测度有限集外的所有的r有T（r，a）=O（log（rT（r，f）））成立，1≤i≤p，则称

为f关于全导数的一个微分多项式，相应地，对于微分多项式，

分别称为微分多项式的次数和权重.我们的主要结果如下.

定理1设f是上的一个整函数，是由式（1）所定义的一个微分多项式，a.b是两个判别复数且b≠0.若f≠a，，则f是常函数.

注1定理1中取微分多项式即得定理D.

定理2设s是一个非负整数，s，…，s，t，…，t都是正整數，f是上的一个整函数，b是一个非零复数.若，且满足，则f是常函数.

由定理2可推得一些关于微分多项式的Picard型定理.如取q=1，s=1，则立刻得到如下结论.

推论1设f是上的一个整函数，b是一个非零复数，k，l都是正整数，且k≥l+1.若f·Df≠b，则f是常函数.

注2定理E就是推论1中l=1的特殊情形.

1基本概念和引理

我们简述一些相关事实和概念，更详细的内容可以参阅文献[7]和文献[11-13]等.对.定义

其中r>0.记，定义

则σ（z）是S（r）上的正测度.令，设是上的一个全纯函数，任意取定，可以写作，其中。或者P是v次多项式，且.上述非负整数m由f，a，z唯一确定，称为f在z处的a值点重级，记作，称映射为全纯函数f的a值点除子，其支撑集.记

其中

表示除子在0处的Lelong数.记f关于∞的临近函数为

f关于a的临近函数为

第一基本定理可叙述为：设f是上的一个整函数，a∈C，则

注3对上任意的整函数g和h及，成立如下全导数运算法则：

D（g+h）=D（g）+D（h），D（kg）=kD（g），D（gh）=D（g）h+gD（h）.

引理1[4]设f是上的一个超越整函数，则对于任意的正整数k，Df也是上的超越整函数，且除去一个Lebesgue测度有限集外的所有的r，都有

注4若f是上的一个多项式，显然D^kf也是上的多项式，从而是上的有理函数，因此，即引理1对于非常数的整函数均成立.

引理2设f是上的一个d次多项式，若Df是常函数，则f是常函数，且.

证明因f是上的一个d次多项式，则f可以写成下列形式：

其中P（z）或者恒为0，或者是一个v次齐次多项式（v=0，1，…，d）.经计算可得

因为Df是常数，所以，即.故f是常函数，且.

2定理1的证明

下面的引理在我们证明定理1中起到关键作用.

引理3如果f是上的超越整函数，a，b（b≠0）是两个判别复数，是由式（1）所定义的微分多项式，则

对除去一个Lebesgue测度有限集外的所有的r成立.

证明分别令集合

显然，I∪I=S（r），I∩I=∅，且

注意到对任意的1≤i≤p，有，所以在I上有

由恒等式

并根据式（3）、式（4），有

由式（2）、式（5）得

对式（6）中项利用临近函数的性质和引理1，得

下面考虑项.由恒等式

其中b≠0，可得

由引理1，有

由引理1，Df（z）也是超越整函数，所以

根据的定义，由式（9）和式（10）得

因为是整函数，由第一基本定理和Jensen公式得

将式（11）、式（12）代入式（8）得

在不等式（7）的左右两端同时加上，得

联立式（13）和式（14）得

而由第一基本定理和式（15）得

引理3得证.

定理1的证明如果f是上的一个超越整函数，则由引理3得

因为由已知条件f≠a，，所以T（r，f）=O（log（rT（r，f）））.这与f是超越整函数矛盾，因此f是一个多项式.又由f≠a，所以f是一个常函数.

3定理2的证明

为了证明定理2，我们先引入下列引理.

引理4如果f是上的超越整函数，b是一个非零复数，是由式（1）所定义的微分多项式，则

对除去一个Lebesgue测度有限集外的所有的r都成立.

证明首先，由引理3有

然后，处理式（16）中的项.为此，设为f的τ级零点，则在z的邻域内，f可以展成关于z-z的齐次多项式的幂级数形式：

又由P（z-z）的齐次性可得

因此

其中Q（z-z），或者恒为0，或者是关于z-z的。阶齐次多项式.所以z为Df的零点重数至少是τ-1.归纳可知，z为Df（z）的零点重数至少是τ-j.故x为的零点重数大于或等于

z为的零点重数大于或等于

记m为z点在的计数，注意到

于是，

故

将式（17）代入式（16）得

引理4得證.

定理2的证明若f是一个超越整函数.取微分多项式为，由数学归纳法容易证明，D（f）可以表示成若干个形如微分多项式的和，其中是常数，.经过简单计算得

由引理4和式（18）得

由于，则在式（19）中，

即

结合条件，可得T（r，f）=O（log（rT（r，f））），这与f是超越整函数矛盾.即f是上的一个多项式，故也是多项式，又由多项式，得为常数.由于多项式的次数不超过多项式的次数，从而是一个常数.由引理2，是常函数，故f也是一个常函数.

[参考文献]

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[11]顾永兴，庞学诚，方明亮.正规族理论及其应用[M].北京：科学出版社，2007.

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[13]RU M. Nevanlinna. Theory and Its Relation to Diophantine Approximation [M]. Singapore：World Scientific，2001.

（责任编辑：林磊）