关于超椭圆纤维化的奇异性指数

郭志明

摘要：为了研究超椭圆纤维化，肖刚引入了一系列奇异性指数.然而第二个奇异性指数的非负性仍是不确定的问题.本文得到了局部情况下一组使第二个奇异性指数随着亏格增大趋近负无穷的例子.此外，通过分析分歧轨迹，得到了指定亏格时奇异性指数的一个下界估计.由此证明了g=2，3，4时纤维化第二个奇异性指数的非负性.

关键词：代数曲面;超椭圆纤维化;奇异性指数

中图分类号：O187.1文献标志码：ADOI：10.3969/j.issn.l000-5641.2021.06.007

Singularity indices of hyperelliptic fibrations

GUO Zhiming

（School of Mathematical Sciences，Soochow University，Suzhou Jiangsu 215006，China）

Abstract：Xiao introduced a series of singularity indices to survey hyperelliptic fibrations. However，it remains unknown whether the second singularity index，s，is non-negative. In this paper，I demonstrate a series of examples of degeneration of curves where s tends to -∞as the genus g grows. Moreover，I obtain a lower bound for sfor a given genus g，thereby confirming that the index s of fibrations for genus g=2，3，4 is non-negative.

Keywords：algebraic surfaces;hyperelliptic fibrations;singularity indices

0引言

本文中，除了特别指出的情形外，我们所说的曲面都是指定义在复数域C上的代数曲面.曲面S在B上的一亏格为g的纤维化是指一个纤维连通的满态射f：S→B.从历史上看，纤维化的研究起源于Kodaira对紧复曲面的系统性研究，这也成为代数几何中很多其他研究方向的开端.

为研究椭圆纤维化，Kodaira首先完成了奇异纤维（实际也是纤维芽）的分类与构造[1].在这种情况下，这个分类本质上是由奇异纤维的拓扑单值以及模点完全决定.

受Kodaira关于椭圆纤维化研究的启发，人们尝试着将类似的方法推广到高亏格纤维化上.然而此时遇到了种种椭圆纤维化时不曾遇到的困难：

（i）随着亏格增大，奇异纤维的种类会变得极多.

（ii）奇异纤维的类型不能完全决定奇异纤维的芽[2].

（iii）即使奇异纤维的拓扑单值以及模点一致，也不能说明奇异纤维的芽同构[3].

为此，Namikawa和Ueno[2]在拓扑单值以及模点以外引入了“次数”这一某种意义上估计模映射的量，完成了g=2奇异纤维的分类.但是同时，上面發现的种种复杂现象也暗示着Kodaira意义下的分类对于一般亏格纤维化已经失去了实际意义.

此后，Horikawa[4-6]利用二次覆盖和典范解消等技巧完成了亏格2纤维化奇异纤维的一种更实际的分类.受Horikawa的启发，肖刚[7-8]通过引入一系列奇异性指数s，s，…，s，将Horikawa意义下的研究方法推广至一般亏格超椭圆纤维化.与纤维化其他重要的不变量一样，这些奇异性指数也可以局部化至临界值.

由定义，s以外的奇异性指数都是非负的.一般地，我们无法确切知道s是否成立.但至少局部时，Kornio[9]构造了第一个s（F）<0的局部纤维化.

设f：S→B是相对极小的亏格g超椭圆纤维化，本文的主要研究对象是奇异性指数s，特别是局部纤维化奇异纤维F的奇异性指数s（F）.对于局部纤维化的情况，我们构造了一组随着亏格增长第二个奇异性指数趋近负无穷的例子（见例4），并通过分析对s（F）产生负贡献的分歧轨迹中的分支，给出了指定亏格时s（F）的一个下界，得到了如下结论.

定理1设f：S→B是一个亏格g、相对极小的超椭圆纤维化，F是f的一条奇异纤维，则

其中[x]表示不超过x的最大整数.

1预备知识

本章将简述奇异性指数的定义以及所需的基础知识，更多的细节请参见文献[7-10].

如无特殊说明，用f：S→B表示一相对极小的亏格g超椭圆纤维化，F表示临界值p（∈B）上的奇异纤维.

定义1设D是S上的一条既约曲线.定义D的分歧指数为（K+D）D，这里K表示纤维化f的相对典范除子.

此时，分歧指数可以局部”至的临界值.

事实上，取p∈B，设是D的正规化，与分别是中在下关于点p的水平与垂直分支.令.此时有

其中ω是对偶化层.于是，對于p∈B，我们可以定义：

（i）r（p）为在的所有点上，在通常意义下的分歧指数之和.

（ii）r（p）为的各不可约分支的拓扑Euler示性数之和.

（iii）r（p）为上线丛的次数.

记r=r（p）-r（p）+r（p），则对于D上的光滑点p，r=0.

称r是D在p的局部分歧指数.

注1如果中有有理分支，那么r（p）>0，故r有可能为负.

对于上述的f，一般纤维F的超椭圆对合σ可以诱导S的一个双有理B-对合.因为f相对极小，这个双有理B-对合可以唯一扩张为S的一个B-对合σ：S→S.

用表示对σ的所有孤立不动点的爆发，是由σ诱导的的B-对合.则是一个光滑射影曲面，商映射是一个二次覆盖.此外，f诱导了上的一个直纹.记此二次覆盖对应的二次覆盖数据[2，5]为.

取的一个相对极小模型，是对应的双有理态射.将分解为爆发的复合：，其中ψ：P→P是以x∈P为中心的爆发.令P=P，，，.对于每个二次覆盖数据（R，δ），i=，r-1，…，1，归纳地定义R=（ψ）R，则R上x的重数为m.此时

此外，存在δ∈Pic（P），使得，R～2δ.通过R构造[2]正规曲面S，使得S→P是在R分歧的二次覆盖.记θ：S→P，可以看出存在双有理态射τ：S→S，使得

记，则就是文献[4]第2节意义下的典范解消.从二次覆盖的角度看，就是既约偶除子在文献[7-8]意义下的极小偶解消.

由于相对极小模型的选法不唯一，需要规定一种标准的选法.

定义2[7-8]的一个相对极小模型ø：P→B称为是一个标准模型，如果上面定义的既约偶除子R满足：

（i）R关于ø的水平部分R上的奇点的阶不超过g+1.

（ii）R是满足（i）的的所有极小模型中最小的.

注2根据文献[7-8]，标准模型存在.

命题1[7]对于标准模型ø：P→B，如果纤维化的亏格g是偶数，则R上奇点的阶至多为g+1.

为了计算中收缩的（-1）曲线的个数，需要引入下面这样特殊的奇点.

定义3[7-8]设R上的点x是阶为2k+1的奇点，如果以x为中心的爆发产生的例外曲线E上只有唯一的一个2k+2阶奇点y，那么，把两个奇点的对（x，y）看作一个奇点，称作一个（2k+1→2k+1）型奇点.根据二次覆盖不变量的公式，我们还可以定义可忽略奇点：如果x是一个阶为2或阶为3的奇点，但不属于某个（3→3）型奇点，那么称x为一个可忽略奇点.如果x不是可忽略奇点，称其为不可忽略奇点.

设是R的不可忽略奇点的偶解消，是对应的既约偶除子.记是将中除去孤立垂直（-2）曲线后剩余的部分.

在进行了以上的准备后，我们便可以给出奇异性指数的定义了.

定义4[8]设ø：P→B是f的标准模型，ø在f（F）处的纤维为F.对于f的任意纤维F，定义第i个奇异性指数s（F）（i= 2，3，…，g+2）如下.

（i）F上R的（2k+1→2k+1）型奇点的个数之和定义为s（F）（k≥1）.

（ii）F上R的阶数是2k或者2k+1，且不属于某个（2k+1→2k+1）或（2k-1→2k-1）型奇点的个数之和定义为s（F）（k≥2）.

（iii）在f（F）上的局部分歧指数定义为s（F）.由于除了有限个F外s（F）=0，定义

为f的第i个奇异性指数.如果不产生混淆，也可以记作s.由命题1，如果g是偶数，则s=0.

注3这里定义的奇异性指数以及关于奇异纤维的奇异性指数的合理性见文献[8].

具体的计算可以利用定义1来完成.

例1设（x，t）是上的局部坐标，这里∆是单位圆盘.考虑由

y=x+t

定义的局部纤维化，F是0∈∆处的奇异纤维.

由于R上有唯一一个（3→3）型奇点.经不可忽略奇点的偶解消，是3个光滑的局部分支的不交并.于是在0的局部分歧指数只有定义1意义下的r部分不为零，且每个分支对整体的贡献量为2-1=1.于是，s（F）=3，s（F）=1.

根据定义，对于i=3，…，g+2，s≥0.但s的非负性并不是显然的.这是因为由注1，在纤维芽（局部）的情况下，奇异纤维的第二个奇异性指数s（F）有可能为负.有Konno的如下例子.

例2[9]设（x，t）是上的局部坐标，这里∆是单位圆盘.考虑由

y=t（x+t）（（x-a）+t）（（x-a）+t）（（x-a）+t）

定义的亏格g=5的局部纤维化，其中a，a，a是两两不同的非零复数.F是0（∈∆）上的奇异纤维.此时是由直纹P在0（∈∆）上的纤维Γ在的原像以及12个水平光滑分支构成的.于是奇异性指数s（F）仅有垂直（-4）曲线的贡献量.由此，s（F）=-2.

关于s（F）的非负性，有以下已知的结论.

命题2[9]如果F是f在p上的奇异纤维，s（F）≠0，则s（F）≥g+1.

命题3[8]如果f：S→B是半稳定的，F是f在p上的奇异纤维.那么s（F）≥O.

注4进一步，刘小雷[11]通过比较半稳定纤维化模不变量与奇异性指数之间的关系，给出了此时奇异性指数在模空间下的几何意义.

命题4[8]如果f：S→B是亏格2的纤维化，F是p上的奇异纤维.那么s（F）≥0.

注5文献[12]中实际上证明了此时奇异性指数由奇异纤维本身唯一决定，并且计算出了此时所有亏格2奇异纤维的奇异性指数.

2奇异性指数的估计

本章中，f：S→B仍表示一相对极小的亏格g超椭圆纤维化.用F表示p（∈B）上的奇异纤维.

下面是除例2外另一个满足s（F）<0的重要例子.

例3设（x，t）是上的局部坐标，这里∆是单位圆盘.考虑由

y=t（x+t）（（x-t）+t）（（x-a）+t）（（x-a）+t）

定义的亏格g=5的局部纤维化，F是0（∈∆）处的奇异纤维.其中a，a是不同的非零复数.此时由以下部分组成：P在0上的纤维Γ在的原像C（这是一个垂直（-3）曲线），爆发奇点（0，0）产生的例外曲线在中的原像C′（也是一个垂直（-3）曲线）以及12个水平光滑分支.此外，C与C′横截相交.奇异性指数s（F）為两个垂直曲线C、C′的Euler数的和与通常二重点q=C∩C′的贡献之和.经计算得s（F）=-2.

从例2和例3这两个例子可以看出，为了使s（F）取负值，偶解消时的奇点不能太一般.

为了估计s（F）可能的下界.我们需要考虑中对奇异性指数产生负的贡献量的分支.可以证明，这样的分支只有上面两类，这里的证明参考了文献[9].

引理1设F是f的一个奇异纤维，若s（F）<0，则中含有关于p的垂直曲线D，其中，D是以下两类曲线之一：

（i）D=C+C′是中的孤立垂直曲线，且C=-2m-1，C′=-2n-l，C与C′横截相交，这里m，n是正整数.

（ii）D=C是中的孤立垂直（-2n）曲线，这里n是大于1的正整数.并且经计算知，的每一个这样的分支都对s（F）产生-2的贡献.

证明由注1，中对s（F）产生负的贡献的分支是关于p垂直的有理曲线.设C是这样的一个分支.注意到

由我们的取法，此式是负的.这意味着.

（i）假设，则C是孤立曲线，且其对s（F）的贡献为-2.由此C是的孤立垂直（-2n）曲线.根据的定义，n≥2.

（ii）假设，这意味着存在与C横截相交的的分支C′.假如C′是水平分支，则此时C对s（F）的贡献为-1，因为通常二重点C∩C′对s（F）的贡献为+2，所以对s（F）的贡献合计为+1，矛盾.因此，C′是垂直分支.如果，同样的理由可以推出矛盾.从而，这意味着C+C′是孤立的曲线.经计算，C+C′对s（F）的贡献为-2.

复杂的奇点使我们期待s（F）可能有一致下界.但下面这一系列的例子说明，随着亏格增大，s（F）可以趋向-∞.

例4设j是正整数，（x，t）是上的局部坐标，考虑由

定义的亏格为9j-1的局部纤维化，F是0上的奇异纤维.以j=1为例，不可忽略奇点的偶解消如图1所示.

类似例2，可计算得s（F）=-4j.

由例4，不存在关于奇异性指数的统一下界，故我们的目标是对于指定亏格g，找到s（F）的一个下界.

由于中对s（F）产生负的贡献的垂直分支只有引理1中的两类，故为了找到s（F）的一个下界，只需要估计对于指定亏格g的超椭圆纤维化f：S→B，中这两类垂直分支的个数.注意到KF=2g-2，且f相对极小，于是对于F的任意分支Γ，KΓ≥0.

下面回到我们的问题，为了估计s（F）的下界，只需要估计引理1中两类垂直曲线D的数量.为此，注意到为了得到引理1中的第1类曲线，我们至少需要爆发2n个奇点;为了得到引理1中的第2类曲线，我们至少需要爆发2m+2n+1个奇点.

如果爆发的奇点中存在如（3→3）型奇点，那么中分歧指数（定义1中的r（p））对s（F）的贡献至少为+2.从而我们需要忽略这种情况，只计算对s（F）产生负贡献的D的数量.由于今后的讨论对于引理2中的两种情况都类似，本文只考虑（i）中的情况.

我们首先证明以下引理.

引理2设D=C为如上的曲线，直纹P→B在p的纤维为Γ.则C或者来自爆发Γ上的2n个不同奇点，或者来自爆发某个奇点后产生的例外曲线E，爆发E上的2n-1个不同奇点.

证明假设C是来自爆发Γ上奇点得到的.如果爆发Γ上的奇点后，Γ的严格原像上仍有奇点，那么这个相切的（不可忽略）奇点对s（F）的分歧部分的贡献（定义1中的r（p））大于+2，这样D与我们的约定矛盾.于是，以上奇点都在不同位置.

如果C是某个落入分歧轨迹中的例外曲线爆发其上奇点产生的，同样的理由，这些奇点也需要在不同的位置.

下面的引理是估計D数目的关键部分.

引理3对于引理2中每一个奇点的爆发，奇异纤维F中都至少存在分支Γ′，使得KΓ≥2.

证明考虑这样的一个奇点.设对这个奇点的爆发产生的例外曲线为E.如果经过一次爆发，在E上分歧轨迹只有光滑点，或者通过计算分歧指数对s（F）的贡献可知：为了使整体对s（F）的影响为负，或者分歧轨迹与例外曲线都是横截交，或者存在一个2次相切的光滑点.经过分析，根据存在与不存在2次相切的光滑点，例外曲线的原像在F中或者是自交数为（-2）的椭圆或超椭圆曲线（根据交点数目），或者是自交数为（-2）带一个结点且亏格分别比上面情况小1的曲线（这是由2次相切得到的）.但无论哪种情况发生，都说明了奇异纤维F中至少存在分支Γ′，使得KΓ′≥2.

假如经过一次爆发后例外曲线上分歧轨迹仍有奇点.此时，为了使s（F）为负，由于可忽略点的导子的贡献（定义1中r（p）的部分）至少为+2，这些奇点必是不可忽略奇点.对这个不可忽略奇点的爆发产生的例外曲线是与Γ在F原像相连的是一个自交数至多（-4）的有理曲线Γ′，KΓ′≥2.

下面，我们来证明本文的主要定理.

定理1的证明由上面两个引理，对于引理1中对s（F）产生负贡献的任意D，对情况（i），奇异纤维F中至少存在分支Γ′，使得KΓ′≥6.对于情况（ii），也有相同的结论.

于是，中至多存在个对s（F）产生负的贡献的垂直分支.每个这样的垂直分支对s（F）有不超过-2的贡献，故.

注6从证明可以看出，我们的不等式不是严格的.

作为推论，我们可以得到小亏格纤维化f的第2个奇异性指数是非负的.

推论1如果f：S→B是亏格g<5的相对极小超椭圆纤维化，则s（F）≥0.

证明当g≠4时，直接由定理1可得结论.当g=4时，由命题1，R上奇点的阶最多为5.于是引理2中的第二种情况不可能发生.重复定理1的证明得.

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（责任编辑：林磊）