利用对称性解二次函数中面积相等及角相等的问题

夏满

【摘要】二次函数是初中数学中的重要内容，也是难点之一，此处知识点多，题型复杂多变，大多是二次函数结合几何图形进行考查.在本文中，作者基于自己的教学体会对知识点逐一剖析，供大家参考.

【关键词】二次函数;对称性;面积相等;角相等

一、知识点剖析

如图1，在线段AB外有一点C.

（1）过点C作直线m∥AB，如图2所示，

则直线m上任意一点D与点A，B构成的三角形的面积与△ABC的面积相等.

（2）作点C关于直线AB的对称点C′，如图3所示.

①过点C′作直线n∥AB，则直线n上任意一点D与点A，B构成的三角形的面积与△ABC的面积也相等;

②连接AC′，BC′，则△ABC≌△ABC′，有对应边相等，对应角相等.

二、典例赏析

如图4，抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A，B两点，交y轴的正半轴于点C，点D为抛物线的顶点，点P在x轴上，连接PC.

（1）若∠PCB=∠CBD，求点P的坐标.

（2）在上一问的条件下，若点P在线段OB上，在抛物线上是否存在点M，使得S△PCB=S△MCB？若存在，求出点M的坐标.

解 （1）①点P在点B的左边.

如图5所示，过点C作直线l∥BD，此时直线l与x轴的交点即为点P1.

由抛物线的函数解析式，易得A（-1，0），B（3，0），C（0，3），D（1，4），

∴直线BD的函数解析式为y=-2x+6.

∵l∥BD，∴设直线l的解析式为y=-2x+b.

将C（0，3）代入，解得b=3，∴直线l的解析式为y=-2x+3.

将y=0代入y=-2x+3，解得x=1.5，

∴P1（1.5，0）.

②点P在点B的右边.

方法一：利用对称性.

如图6所示，作点P1关于直线BC的对称点P′1，连接P1P′1交CB于点E，连接CP′1与x轴交于点P2.

∵B（3，0），C（0，3），

∴直线BC的函数解析式为y=-x+3.

设直线P1P′1的函数解析式为y=kx+b.

∵P1P′1⊥CB，∴-1×k=-1，解得k=1.

将P1（1.5，0）代入y=x+b，解得b=-1.5，∴y=x-1.5.

∵点E为BC，P1P′1的交点，∴-x+3=x-1.5，解得x=94.

将x=94代入y=x-1.5，解得y=34，∴点E的坐标为94，34.

∵点E为P1P′1的中点，∴点P′1的坐标为（3，1.5），

∴直线CP′1的函数解析式为y=-12x+3.

将y=0代入y=-12x+3，解得x=6，∴P2（6，0）.

方法二：构造全等形.

∵直线BC的函数解析式为y=-x+3，∴∠CBP1=45°.

如图6所示，过点B作直线a⊥x轴，截取BP′1=BP1，∴△BCP1≌△BCP′1（SAS）.

∵B（3，0），P1（1.5，0），∴BP1=BP′1=1.5，∴点P′1的坐标为（3，1.5）.

设直线CP′1的函数解析式为y=kx+b，

将C（0，3），P′1（3，1.5）代入，可求得y=-12x+3，

再将y=0代入y=-12x+3，解得x=6，∴P2（6，0）.

（2）由上一问可知点P（1.5，0）.

①点M在线段CB的下方.

如图8所示，过点P作直线m∥CB，交抛物线于点M1，M2，此时S△PCB=S△MCB（同底等高，面积相等）.

∵点P在线段OB上，∴P（1.5，0），

∴直线m的函数解析式为y=-x+1.5.

∵点M1，M2为直线m与抛物线的交点，

∴-x+1.5=-x2+2x+3，解得x1=-15+32，x2=15+32，

将x1=-15+32，x2=15+32分别代入y=-x+1.5，解得y1=152，y2=-152，

∴M1-15+32，152，M215+32，-152.

②点M在线段CB的上方.

方法一：利用对称性.

由上一问的“对称性解法”可知，点P关于BC的对称点P′的坐标为（3，1.5）.

如图9所示，过点P′作直线n∥BC，交抛物线于点M3，M4，此时S△PCB=S△MCB.

由题意可得直线n的函数解析式为y=-x+92.

∵点M3，M4为直线n与抛物线的交点，

∴-x+92=-x2+2x+3，解得x1=-3+32，x2=3+32，

将x1=-3+32，x2=3+32分别代入y=-x+92，解得y1=3+62，y2=6-32，

∴M3-3+32，3+62，M43+32，6-32.

方法二：構造全等形.

如图10所示，由上一问的“构造全等形解法”可知，过点B作直线a⊥x轴，截取BP′=BP，则△BCP≌△BCP′（SAS）.

∵B（3，0），P（1.5，0），∴BP=BP′=1.5，

∴点P′的坐标为（3，1.5）.

过点P′作直线n∥BC，交抛物线于点M3，M4，此时S△PCB=S△MCB.

由题意可得直线n的解析式为y=-x+92.

∵点M3，M4为直线n与抛物线的交点，

∴-x+92=-x2+2x+3，

同上可得M3-3+32，3+62，M43+32，6-32.

三、结 语

二次函数中面积相等和角相等的问题，它们的解法有很多类似的地方.找角相等可利用平行线的性质“两直线平行，内错角相等”;找面积相等则可利用“平行线间的距离相等”.而问题的难点在于如何将其他情况利用已掌握的知识加以解决.本文给出了两种方法：①利用对称性;②构造全等形.对比两种解法，我们可以发现“构造全等形解法”较为简便，但是具有局限性，如题目中出现30°，45°，60°等特殊角时可以采用，若问题中给出的不是特殊角，该方法可能就无法使用.“对称性解法”能解决的问题较为广泛.两种解法都要掌握.

【参考文献】

[1]陈汝作，钱耀邦.初中数学解题技巧[M].上海：东方出版中心，1995.