离散数学研究型教学模式的探索

苏延森 张磊 程凡

摘要：离散数学是计算机科学中的基础课程。传统教学模式难以培养学生的抽象思维及发散思维，难以调动学生的学习主动性。针对离散数学在计算机专业课程中的基础性地位及其理论概念抽象的特点，从培养创新型研究人才的需求出发，开展基于问题驱动的研究性教学示范课程建设是很有必要的。笔者就开展离散数学课程研究型教学的难点进行了分析，并提出了解决方法和措施。

关键词：离散数学;研究型教学;问题驱动

中图分类号：TP317.1      文献标识码：A

文章编号：1009-3044（2020）30-0085-02

离散数学是现代数学的一个重要分支，是计算机科学中的基础理论的核心课程。该课程包括数理逻辑、集合论、代数结构、图论等内容，其主要目标是离散量的结构和相互间的关系。由于离散数学课程所涉及的基本概念与基本理论是多门计算机专业课的基础，因此该课程与计算机科学中的数据结构、操作系统、编译原理、算法分析、逻辑设计、系统结构、容错诊断等课程具有紧密联系。离散数学不仅是为专业服务的基本理论，而且通过该课程可以培养学生的抽象思维和缜密概况的能力。

单向式的传统教学模式中，课堂教学基本上是教师一堂言，学生机械地接收教师传授的知识，且被动地采纳教师的观点。传统教学模式难以培养学生的抽象思维及发散思维，难以调动学生的学习主动性。由近两年的离散数学课程的试卷分析来看，学生对教材上重要概念及定理的运用能力不够，对重要的概念及定理理解水平尚待提高。由此可见，传统式离散数学课程教学所培养出的学生的数学思维能力及逻辑推理水平与该课程的教学目标尚存在较大差距。

研究型教学是教师以课程内容和学生的学识积累为基础，引导学生创造性地运用知识和能力，自主地发现问题、研究问题和解决问题，并在研讨中积累知識、培养能力和锻炼思维的教学模式。离散数学的基本概念及定理较为抽象，教师若是能在教学方法、教学内容以及教学组织形式上，以问题为载体，特别注意激发学生的学习兴趣，将会达到较好的教学效果。针对离散数学在计算机专业课程中的基础性地位及其理论概念抽象的特点，从培养创新型研究人才的需求出发，开展基于问题驱动的研究性教学示范课程建设是很有必要的。

1《离散数学》开展研究型教学的难点

《离散数学》课程理论性较强，包含大量公式及推导，容易使计算机专业的学生产生畏惧心理，因此，如何引导学生对这门课的学习兴趣，改变他们对教材整体感觉枯燥的印象非常关键。

第一，研究型教学注重培养学生发现和提出问题、探究和解决问题的能力。发现和提出问题以及探究和解决问题能力的培养需要在教学过程中以问题为载体展开。然而目前已有的离散数学教材很少采用问题驱动式的模式进行编排。因此，选取恰当的素材，开展问题驱动式教学将是该课程开展研究型教学的难点之一。

第二，研究型教学注重提高学生的主体意识，激发学生的学习兴趣。离散数学课程包括数理逻辑、集合论、关系、函数、集合、代数系统、格、图论等八个章节的内容。目前教学总学时为102。对于抽象的知识，如果不在课堂上进行深入讲解，学生难以理解;若对每个知识点都仔细讲解，将需要更多的课时。课时短，教学任务重。如何合理安排教学内容及教学过程，使得学生能够较大程度地发挥其主体意识，高效地吸收知识将是离散数学开展研究型教学需要考虑的核心问题。

第三，研究型教学注重培养学生的研究与实践能力以及合作与发展意识。其难点在于如何合理安排教学内容、教学过程及学习质量评价标准，以锻炼学生的合作及研究能力。对于离散数学课程而言，有若干问题具有实际的应用场景。例如旅行商问题，最短路径问题。如何安排教学过程，使得学生能够就具体的应用问题展开合作研究，理解解决应用问题所需的理论基础将是该课程开展研究型教学的又一难点。

笔者在近三年的教学过程中，结合离散数学教学内容的特点，主要开展的措施如下：（1）针对代数系统等抽象的教学内容，尽力做到由具体到抽象再到具体的内容编排。（2）针对数理逻辑，穿插讲解数理逻辑发展史，使学生对数理逻辑的发展有基本的认识。（3）在课后辅导中，耐心、细致地解答学生所遇到的问题。（4）期末试卷，减小客观题所占的比重，增加应用题，用于评价学生对重要概念及定理的理解及迁移能力。

结合上述已有措施可见目前《离散数学》课程教学尚存在以下不足：未开展对抽象教学内容的问题驱动式教学，学生对抽象内容的理解及运用能力有待提高;仅采用课堂教学课后辅导的方式难以调动学生的学习主动性;未安排教学内容及教学过程，使得学生的研究能力及团队合作能力未得到锻炼。

2解决方法和措施

针对《离散数学》课程中的教学内容，采用合理的教学组织形式，并使各种有效的教学方法、教学手段在相应的组织形式中加以运用。

2.1 基于问题驱动的探究式教学的探索与实践

离散数学的内容是前人研究的成果。所涉及的知识一般都经历了漫长的历史过程而产生的。但为了简明起见，教材中相关内容几乎均以定论的形式出现，略去了知识发展的过程、命题的形成过程和问题的探索过程。拟通过展现重要概念的产生过程、揭示命题的形成过程、展现思路的获得过程，采用基于问题驱动的探究式教学模式，即首先教师引出问题，其次引导学生探讨问题，最后帮助学生通过分析、归纳、综合得出结论。例如，讲解定理“每个循环群都是Abel群”时，传统教学通常只会带着学生证明下定理的正确性，而不去深究。可以带领学生思考为何要提出该定理，定理的形成过程以及定理的逆命题是否成立。整个教学过程中鼓励学生思考，强调师生互动。

2.2 主题贯穿式教学的探索与实践

在教学过程中，拟针对教学内容的特点制定主题，围绕主题，重点阐述抽象的概念、定理之间的异同及逻辑演化关系。例如，第六章第七节的教学内容包括群的定义及性质，及子群、半群、置换群、循环群、正规子群、商群等多个特殊群的定义及性质。如果逐条讲解各知识点，那么学生难以掌握学习群的意义。为此，拟设置“构造具有特殊结构的群”这个主题，带领学生积极思考，构造完第一种特殊结构的群后，通过设置问题，启发学生思考，引出下一种特殊类型的群。

2.3 专题讨论的探索与实践

1）概念定理专题的讨论，培养学生科学研究能力。教师在上节课布置下专题讨论题目。鼓励学生查看与该定理相关的背景资料，从而培养学生科学研究能力。结合生活实际来揭示概念的提出、发现、抽象和概括的过程，让学生更深刻认识概念、理解概念本身的价值。例如，利用信息编码实例解释代数系统中群、环、域的概念。

2）应用性专题的讨论，培养学生的团队合作能力。教师提供典型案例，将学生引入到一个特定的真实情景中，让它们识别、分析、解决具体问题。其间教师将尊重学生探究方式的多样性，首先鼓励学生各自独立思考、判断，在此基础上把个人思考取得的结果与小组其他成员进行交流、讨论，进行思维的碰撞，由此相互推动对问题的深入理解，最终寻找问题的解决途径。例如，在中国的一些一线城市如北京、上海、广州、深圳等，一般从A点到到达B点都要通过几次地铁、公交的换乘才可以到达。有些朋友想用最短对的时间，有些朋友想花最少的金錢，这就涉及不同的方案，那么如何才能最快地计算出最佳的方案呢？该问题可以应用迪杰斯特拉算法设计最佳方案。在案例教学中加深学生对算法的理解，提高学生解决实际问题的能力。

2.4 综合利用多种教学手段

在教学手段上，不局限于传统的黑板板书教学，把现代化教学手段引入课堂，充分利用计算机技术和网络技术，让学生获得更多的知识。例如，在讲解环的概念及分类时，可以利用多媒体展示多种类型的环之间的关系，这样不但可以减少老师在课堂上的作图时间，并且可以建立模型演示，让学生更加直观地认识抽象的代数系统。

2.5 加入教学过程评价

传统的教学模式下，仅利用单一的笔试来评价学生和评判人才培养的得失。本项目拟采用一套行之有效的适应研究型教学的考试方式和方法来评价。例如，设计专题讨论的评价方法，使其评价结果作为教学过程的一部分成绩。最终的教学评价包含教学过程考核及考试。

3结束语

离散数学教学应关注如何促进学生学习，使他们掌握学习方法，并在学习过程中培养积极思考的习惯。开展离散数学课程的研究型教学为解决该课程教学中概念繁多、公式抽象、学生学习兴趣不高等问题提供了新的途径。此外，为了更好地遵循现代教学思想，即从单纯发展智力为中心转到全面提高学生素质，在实际的离散数学教学实践过程中需要积极探索更多有效的研究型教学模式。

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