高等数学习题微课的设计与实践

倪柏竹

【摘要】本文提出以微视频的线上教学方式代替或补充线下习题课教学，探索了线上习题微课的教学设计，并以一类硕士研究生入学试题为例，介绍了习题微课的教学方案设计与教学实践。

【关键词】微课  罗尔定理  积分中值定理

【基金项目】牡丹江师范学院教育教学改革项目（19-XJ21025）;东北师范大学访学课题项目：全国教育科学“十三五”规划2017年度国家一般课题“核心素养的学校课程转化模式研究”（BHA170148）。

【中图分类号】G434;P13-4 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2020）48-0021-02

1.引言

著名数学教育家、中科院院士刘应明教授曾指出：“有效的解题训练，不仅可以使学生深入理解所学的知识，还能通过对各类问题的分析研究及寻求解法来培养学生的思维条理和创造力。”高等数学作为高等院校必修的一门重要公共基础课程，不仅对学生学习后续课程及培养理性思维能力和科学的思想方法起着重要的作用，也为学生考研及将来从事专业技术工作及其它工作奠定了重要的数学基础。而在实际的高等数学教学中，由于整体教学课时紧张，用于习题课教学的课时更是有限，以至于学生不能深入理解和内化学科知识，出现学习兴趣减弱，解决问题能力降低等现象。

然而，随着网络信息技术的迅速发展，微课正在成为一种新型、高效的教学手段，为高等数学习题课教学提供了一种新的理念和方式。目前国内专家学者对微课的定义有着共识的内容，他们所描述的微课是围绕某一个问题或者知识点进行的，目标非常明确，课程进行的载体是微型视频，包括微课件和微教案等。笔者希望通过对高等数学习题课教学的研究，分析传统习题课教学现状，并分析高等数学习题微课实现的可行性，提出高等数学习题微课的设计过程，并以一类硕士研究生数学入学试题为例，介绍习题微课的教学实践。

2.传统习题课现状分析

（1）习题课课时过少

课堂讲授和习题课教学是高等数学教学的两大重要环节，教师为了完成授课大纲的任务，无形中压缩了习题课的时间。这样使得学生虽然听懂了上课的内容，但由于习题练习的少，经常出现上课能听懂，做题时却毫无头绪。

（2）习题课选题随意，缺乏典型性

大多时候的习题课模式就是一节课由五、六道题组成，做题半节课，讨论讲评半节课，选的例题习题是“东一榔头西一棒子”，东拼拼，西凑凑，很随意，学生上完课后，不能说一头雾水，至少不清楚这节课解决了什么，对于提高解题能力帮助不大。

（3）习题课选题散

因为选题随意，所以习题的安排一定是无序的，没有从学生的认知规律先易后难，先单个后综合，先正面再反面的顺序出发。在实际的习题教学中学生获得的是一些零散的知识点，对概念、性质、定理没有一个全面的系统的深刻认识，这也无法提高学生发散思维，实现举一反三，活学活用的目的。

3.习题微课的可行性分析

（1）教师的角度分析

微课是应高等数学习题课现状而生的，具有时间较短、内容集中的特点，一个微课大约5-10分钟左右。教师需要先从教学结构角度对教学重难点进行简单梳理，然后在视频中需要融入动画这种直观展示，充分吸引学生的目光，这种方式在带动学生学习积极性方面可以起到很好的作用。作为高等数学习题课的辅助资源，这种“小而精”的特点适合每位学生的需求。

（2）学生的角度分析

在线上习题课教学过程中，学生可以随时查看过去已学习的教学资源，可以反复观看微课的教学内容，同时也可以查找优秀教学资源，提高学习效率，达到更好的自我复习的效果。

（3）基础条件分析

在设计习题微课的过程中教师需要使用计算机和录屏软件，制作PPT录制教师的板书和声音等内容。为了达到更好的播放效果，可以利用“会声会影”等软件修剪视频，添加背景音乐，字幕等，以保证微视频播放的质量。

4.高等数学习题微课的设计过程

虽是微课，但教学理念与传统教学一样，体现以学生为中心，教学方法可以多种方式结合，比如讲授法，案例式教学法，启发式教学法和练习法等都是常用的教学方法，教学的组织也遵循引入、教学、评价等环节。具体设计过程如下：

（1）习题的选择

制作微课的习题遵循两条原则：一是典型性，二是层次性。所谓习题的典型性，是指这个习题在所讲授的章节中，有一定的典型性，掌握了它，对掌握别的一些题目有触类旁通的作用。典型题代表了某类数学问题，体现了某种数学思想和方法，可以让学生形成整体脉络，但忌讳综合性过强，计算量过大，题意过于复杂，方法过于特殊的习题。

除了典型性原则外，还要遵循层次性原则。心理学研究指出，知识只有组织成系统，才会被学生迅速、准确而牢固地记忆并迁移，而这个系统应该是有序的，有层次的。有层次性的习题要按照由易到难，分门别类，有机串联，最后形成一个比较清晰的线索，一个比较完整的结构，达到习题课“形散神不散”的境界。层次安排想要达到有机串联的境界的话，主要通过变式，从一个题出发，通过变化条件、变化结论，逆向调换条件和结论得到新的题即一题多变，或者同一种解法，涉及了不同知识点的若干个题组合在一起得到多题一解，多题归一的习题。笔者认为高等数学习题微课选择的内容应是具有某类数学问题的解决方法的结构，即所谓的解题模块。本文将以一类硕士研究生入学试题的解答为例，探索解题模块在高等数学习题微课设计的作用。

（2）制作課件

按照微课的设计思路，用PowerPoint或Flash 软件将课件制作完整，再配合课件写好讲稿，一般来说建议16：9的课件模版制作，避免宽屏时因拉伸导致文字图片变形。

（3）录制视频

课件和讲稿设计好后，利用计算机和录屏软件等媒体技术将所要讲解的内容录制下来，再通过会声会影软件进行修剪形成微视频。

（4）上传视频

将制作好的微视频上传到相应网站或学生公共邮箱，供学生学习。

5.高等数学习题微课的教学实践

高等数学习题微课的教学过程为：首先教师设计教学内容，制作并上传微视频，其次学生观看学习微视频，最后师生互动交流，微信群、QQ群收集学生问题并答疑。

为进一步理解习题微课是如何落地的，本文以一类硕士研究生入学试题为例，展示如何进行教学设计。本文列举的一类硕士研究生试题分为三种类型，每种类型本文列举一到两个典型例子，具体内容如下：

第一种类型：应用积分第一中值定理和罗尔定理

这道习题符合前文介绍的典型性原则，通过这道题的学习让学生掌握解决这一类数学问题的方法。本题的重点内容是学会如何从已知条件出发，构造出新函数，采用启发式教学法，引导学生分析题目并学会总结类型。首先复习罗尔定理和积分第一中值定理的内容，其次引导学生分析问题，是先从结论入手还是从已知条件入手？如果从结论入手，思路是什么？如果从已知条件入手，思路又是什么？再次，将两种方法的解题过程在课件中展示出来;最后总结此题的教学重难点，易错点，此题的教学重点是学会应用积分第一中值定理，构造出新函数，难点是让学生理解从结论入手和从已知条件入手，这两种方式的区别与联系是什么？易错点是在已知条件中应用积分第一中值定理时需要注意区间的选择，这里要强调，让学生仔细体会，最后要将此题的一般方法应用于其他例子。

本题的类型是在第一类型的基础上，重点内容是学会应用推广的积分第一中值定理和罗尔定理，难点内容是引导学生分析此类型和第一种类型的区别与联系。教学方法仍是启发式教学法。首先复习推广的积分第一中值定理，其次，引导学生分析问题，如何出现g（a）=g（b）？当应用推广的积分第一中值定理时，分析将哪个函数提到积分号前可以得到罗尔定理的第三个条件，g（a）=g（b）呢？再次将此题的分析过程制作成课件展示出来。最后，总结此题的教学重点是深入理解推广的积分第一中值定理应用，教学难点是学会根据题目形式，提取恰当的函数，凑出罗尔定理的第三个条件，朝着g（a）=g（b）的目标前进，从而抽象出新函数，易错点仍是区间的选择。

第三类型：前两种类型的综合应用

本题是第一种类型和第二种类型的综合应用，教学重点是引导学生将此题变式，教学难点是理解变式后的习题规律。事实上，此题是习题1的一种变形，类似的变形多种多样，因此要向学生强调可以将已知条件中的f（1）改成：

6.总结

有关高等数学习题微课的教学设计与实践，本文重点介绍了习题选择原则，并介绍了如何制作和上传微视频。随着微课的不断发展，微课的前景也更加广阔。利用微课可解决高等数学教学中因课时不足，学生水平参差不齐导致的习题课教学难以实施的问题，改善了传统习题课教学中诸如当堂课没有解决，下课再重复讲的现象，节约了课内教学时间，提供给学生较大的自主学习空间，特别对于拓展性空间较大，解题方法较多的习题，利用微课学习的效果更好，因此习题微课也要因题而异。在接下来的工作中，笔者将按照习题的选择，继续将习题微课类型化，并进行长期的实证研究，根据实践反馈不断地改进，期待经过实践的修正，有更加完善的教学设计与学界分享。

参考文献：

[1]高文华.浅谈高等数学习题课教学[J].高等数学研究，2011（5）：35-37.

[2]张国铭.改进的积分第一中值定理的应用[J].高等数学研究，2011（6）：25-27.

[3]劉三阳.积分中值定理的推广及其应用[J].高等数学研究，2016（6）：26-28.

[4]蒋永锋，娄建军.陕西省专升本高等数学考试证明题解法探析[J].高等数学研究，2013（6）：37-38.