电工磁性材料损耗特性计算方法综述

朱聪聪，李丹丹，乔振阳，吴宇翔，宋寅卯

（郑州轻工业大学 建筑环境工程学院，郑州 450001）

引言

由于资源的长期滥用与浪费，能源和环境问题日益严重，节能环保逐渐成为当今时代的主题。电机、变压器作为主要的电气设备，如何提高它们的效率以降低能源消耗已经成为国内外学者关注的问题[1,2]。众所周知，电机的效率与其损耗密切相关，降低电机中的各项损耗对提高电机效率有着至关重要的作用，因此，精确求解出磁性材料的铁心损耗尤为重要。

铁耗是指在铁磁材料上施加交变或旋转磁场，铁磁材料所产生的损耗。根据磁畴和磁畴壁的运动规律，可以将铁耗分为磁滞损耗、涡流损耗和杂散损耗[3]。磁滞损耗是由于铁磁材料置于交变磁场中，材料被反复交变磁化，磁畴相互不停的摩擦造成的损耗；当通过铁心的磁通随时间交变时，根据电磁感应定律，铁心中将产生感应电动势，并引起涡流，涡流在铁心中引起的损耗，称为涡流损耗；杂散损耗是材料在磁化过程中，磁畴壁弯曲所产生的损耗。

目前针对磁性材料损耗的研究，国内外学者已提出大量的理论和计算方法。计算方法大致分为以下3类[4]：（1）基于实验数据拟合的Steinmetz经验公式法[5]；（2）基于损耗机理的Bertotti损耗分离法[6]；（3）基于磁化物理机制的磁滞损耗模型[7]。其中，磁滞模型主要有Preisach模型、Jiles-Atherton(J-A)模型和 Enokizono and Soda（E&S）模型。

本文从经典的损耗计算公式出发，分别对各类损耗计算公式的发展历程、适用范围进行了全面综述。目的在于从多个角度对损耗计算公式的应用与发展趋势进行归纳和分析，为后续学者对于损耗计算的研究提供方向。

1 Steinmetz经验公式

基于磁滞损耗形成机制，Steinmetz S于1892年提出了著名的磁滞损耗计算的原始Steinmetz经验公式[（5]OSE）。

式中：kh、α、β为正弦交流电激励下测得的经验参数，f为铁磁材料的磁化频率，Bm为最大磁感应强度。

该方法计算公式简单，计算参数少，从而广泛应用于各类电工设备铁耗的计算。但因其只适用于正弦激励下的铁耗计算，限制了这种方法的适用范围，所以国内外学者对其进行了深入的研究，使其能够在更宽广的范围内使用。

Reinert J等[8]指出由磁畴壁运动产生的铁心损耗直接取决于磁感应强度变化率dB/dt，并将一个完整再磁化周期内的磁感应强度变化率取平均值，整理得式（2）。

式中：ΔB=Bmax-Bmin，Bmax、Bmin分别为一个磁化周期内磁感应强度的最大值和最小值，Ḃ为平均再磁化速率。

在正弦激励波形条件下，式（2）可以进行归一化处理。根据平均再磁化速率，用归一化常数2/Bπ2计算出等效频率feq如式（3）所示。

将等效频率代入式（1）中，得到Steinmetz修正公式（MSE）如式（4）所示。

Abdallah等在文献[8]基础上进一步完善了铁耗取决于平均再磁化率的假设[9]，认为铁耗不仅与磁感应强度变化率相关，还取决于瞬时参数B(t)，以减小在文献[8]中改进的Steinmetz公式预测铁耗的误差，为了考虑小磁滞回环对铁心损耗的影响提出了广义Steinmetz公式（Generalized Steinmetz Equation，GSE），如式（5）所示。

式中系数k1的计算公式如式（6）所示。

Venkatachalam等认为铁心损耗仅仅取决于磁感应强度变化率dB/dt和B(t)，过分简化了物理现象[10]，并没有考虑到磁通波形磁化历史对损耗带来的影响。故将文献[9]中的磁感应强度瞬时值B(t)替换为磁通量密度变化的峰峰值ΔB，得到了广义Steinmetz改进公式（IGSE），如式（7）所示。

式中系数ki的计算公式如式（8）所示。

为了使OSE适应更加复杂的谐波条件，Shen W等引入了“磁通波形系数”的概念[11]，它通过计算通量密度波形的平均值，将非正弦波形与具有相同峰值磁通密度的正弦波形相关。磁通波形系数由磁通密度和电压波形计算得出。将波形系数乘以式（1）即可得到Steinmetz波形系数公式，如式（9）所示。

式中：FWC为磁通波形系数，当励磁电压波形为方波时，FWC为π/4；当励磁电压波形为三角波时，FWC为π/3。

2 Bertotti损耗分离法

Bertotti[7]等在1988年提出了著名的铁心损耗分离模型，根据铁心损耗产生的机理不同将铁耗分为磁滞损耗、涡流损耗和杂散损耗3部分，铁耗分离模型如式（10）所示。

式中：Ph、Pcl和Pe分别为磁滞损耗系数、涡流损耗系数和杂散损耗系数，β为实验测得的经验参数。

该模型在磁性材料的损耗计算中应用十分广泛，但在高频或者谐波条件下，该模型的计算精度仍有待提高，针对其缺点，国内学者都进行了深入的研究。

张宁在非正弦激励条件下，推导了修正的铁耗分离法[12]。并在此基础上，考虑了磁心叠片的趋肤效应，对铁耗分离公式进一步改进，经验证所得的修正铁耗分离模型在高频环境下有很强的适用性。

张冬冬为了能够在较宽频率和磁密范围内准确计算铁耗，提出了一种用于损耗精细化分析的分段变系数铁耗模型[13]。通过引入涡流损耗附加磁通密度高次项和磁滞损耗附加磁通密度低次项，解决了因磁路饱和导致涡流损耗增加以及因谐波磁场导致磁滞损耗增加的问题。

刘任基于损耗分离理论，分别推导了Amar算法、Boglietti算法和Barbiso算法在三角波、方波激励下的损耗计算公式，通过测量与计算结果在计算精度和模型参数提取上的对比分析选出了综合性能最优的算法[14]。为磁性元器件的设计优化等领域求解磁性材料在非正弦激励下的损耗提供了最优算法。

刘刚对比分析了Steinmetz损耗模型、磁场有限元软件MagNet中的损耗模型和Bertotti损耗模型在损耗计算中的拟合精度，并基于损耗分离模型，引入了磁滞损耗参数中关于磁感应强度的三次多项式，提高了磁滞损耗的计算精度[15]。

针对谐波激励下铁心损耗的计算问题，赵志刚基于Bertotti损耗分离模型，在考虑谐波相位、谐波阶次和谐波含量对磁滞损耗和涡流损耗的影响基础上，引入修正因子对磁滞损耗和涡流损耗进行了修正，实现了谐波激励下铁心损耗的计算[16]。

3 磁滞模型

3.1 Preisach模型

Preisach模型是由德国物理学家Preisach F[17]于1935年提出的一种磁滞模型，是最早被提出的一种磁滞模型。1983年Krasnoselkii用纯数学理论描述了Preisach模型，形成了经典的Preisach模型，如式（11）所示。到目前为止，Preisach模型是发展历程最长、应用最为广泛的一种磁滞模型，在电磁学领域得到了普遍的认同。

式中：f(t)为磁化过程中在给定某一时刻输入值u(t)的情况下所对应的输出值；μ(α，β)为Preisach分布函数；α，β分别为算子输入的上、下阈值。

Preisach模型计算损耗的基本原理是通过对分布函数的辨识预测铁心工作点的磁滞回线面积计算出损耗[18,19]。所以，快速准确地辨识出Preisach模型的分布函数尤为关键。目前对Preisach分布函数的辨识主要分为两种方法，一是用其他函数逼近Preisach分布函数，二是通过构造Everett函数计算得出分布函数[20]。

1980年Vecchia R D[21]提出在Preisach模型中引入Everett函数，不仅可以确定任意时刻的磁通密度，而且可以简化复杂的磁化过程，如式（12）所示。

Naidu根据Preisach模型的定义提出了一种利用极限磁滞回线的模拟方法[22]，该模型可以模拟不同工况下的磁滞回线。Dlala在此方法的基础上，利用极限磁滞回线测量值推导出了Evereet函数表达式[23]，并利用了Evereet函数的双线性和双三次插值技术，有效地提高了该方法的计算精度和速度，并提高了Preisach模型在有限元中的适用性。

李琳在文献[23]方法的基础上，结合Preisach模型的同余特性，利用Evereet函数模拟出高阶回转曲线的方法，有效地减少了对实验数据数量的需求，简化了复杂磁化过程的模拟[24]。

赵志刚等[20]利用磁滞回线的对称性，用两个一维函数的乘积来表示Preisach分布函数，将Preisach分布函数的辨识问题转化为求解双线性方程组的问题，在保证计算精度的同时减少了计算量。

李富华等[25]利用Lorentzian函数近似代替Preisach模型的分布函数，分别用解析法和神经网络法对分布函数进行识别，避免了使用材料一阶回转曲线对分布函数辨识的不便。

3.2 J-A模型

Jiles和Atherton基于磁畴壁移动和旋转思想建立了铁磁材料磁滞特性的数学理论[26]，采用改进的Langevin函数拟合各向同性材料的理想磁化曲线，然后引入磁滞损耗，根据能量守恒原理推导出了磁滞回线方程[27]。又根据磁畴运动机理将实际磁化强度分解为可逆磁化分量和不可逆磁化分量[28]，即：

可逆磁化分量可表示为：

由式（13）和式（14）可得不可逆磁化分量为：

式中：Man为理想磁化曲线，其公式为：

式中：He=H+αM为有效磁场强度。

能量守恒方程为[29]：

联立公式（13）至（17），可得到磁化强度M与磁场强度H的关系式为：

将磁化强度M和磁场强度H之间的关系转化为B-H的关系，之后模拟出磁性材料的磁滞回线，由磁滞回线面积即可求得磁滞损耗。其中确定Ms、a、α、k、c这五个磁滞参数是准确使用J-A模型的前提。

石红等[30]基于磁化机理认为损耗系数k仅与不可逆分量有关，进而提出应采用不可逆磁化强度为自变量的修正函数对损耗系数k进行修正，即

李超通过引入最大磁化强度Mm和局部修正系数λ，提出磁滞参数k、a、c的修正公式，有效提高了二次磁滞回线仿真的精确度[28]。

刘任提出一种基于随机性优化算法提取J-A模型参数的方法[31]，该方法综合了模拟退火与确定性优化算法全局搜索能力强以及Levengerg-Marquardt算法局部收敛速度快的优点，在保证计算精度的同时缩短了计算时间。

3.3 E&S模型

Enokizono M[32]在Chua模型的基础上提出了E&S矢量磁滞模型。该模型不仅考虑了交变磁化的影响，而且能考虑旋转磁化的影响，可以准确地模拟电工钢片矢量磁滞特性。该矢量磁滞模型通过描述磁场强度H和磁通密度B之间的关系，利用下式可以计算出铁心损耗。

式中：ρ是材料密度，Hx、Hy、Bx、By分别是矢量H和B的两个正交分量。

该模型可以表示为：

式中：τ=ωt；vxr、vyr为磁阻系数，vxi、vyi为磁滞系数，计算公式如下：

式中：k=x,y；系数由二维磁特性测量数据计算得出。

式（23）考虑了H波形的5次谐波分量[33]，而且简化了传统E&S模型中磁阻系数和磁滞系数的表达式，避免了Bk，∂Bk/∂τ的4次方项而带来的有限元分析的复杂性，并且提高了计算精度。

为了使复数E&S模型与有限元结合时既能够节省时间又能够保证材料特性模拟的准确性，提出了利用磁能密度平均值和磁滞损耗密度分别计算磁阻系数和磁滞系数的方法[34]，该磁滞模型可表示为

4 发展趋势

Steinmetz公式因参数较少，表达形式简单，计算速度较快得到了广泛的应用，但其缺乏对磁滞现象物理机理的解释，且损耗系数只通过大量的测量数据拟合，所以其适用的磁密和频率范围较小[35]。在今后的研究中，要着重于Steinmetz公式在高频高磁密或者高次谐波激励条件下的适用性和精确性。

Bertetti从损耗机理出发，将铁心损耗分为3部分，并提出了各个部分的损耗计算公式。针对影响损耗计算精度的各个因素都可以找到相应的损耗部分去修正，大幅提高了该模型的适用范围与计算精度。在未来的研究中，可以多考虑在旋转激磁条件下提高Bertotti损耗分离法的计算精度的方法。

磁滞模型计算法虽然可以精确地计算出铁心损耗，但是依赖于大量的实验数据进行参数辨识，辨识过程复杂繁琐，工作量巨大，在实际应用中很不方便。而且针对不同的模型，需要辨识的参数大有不同，通常每种模型都有特定的测量方法与测量设备，在研究过程中成本较高，限制了磁滞损耗模型计算方法的推广和应用。未来对磁滞损耗模型的改进首先要基于测量设备测量精度的提高，在拥有高精度测量设备的前提下，简化磁滞模型中的参数，使辨识过程简单化。

5 结束语

通过分析各国学者对这三类计算方法的研究进展，发现对Bertotti损耗分离法的研究最为广泛，在谐波磁场或者磁路饱和等因素的影响下，可以通过引入修正因子对磁滞损耗和涡流损耗进行准确的计算分离。因此Bertotti损耗分离法更适合于复杂谐波磁场下的损耗计算，不断完善损耗分离法有助于精确计算铁心损耗，对提高电气设备的性能有重要的指导意义。