基于灵巧性的3-UPRR 并联机构尺度综合研究

史素敏，杨春长

（1.商丘学院机械与电气信息学院，河南 商丘 476000；2.32148 部队，河南 驻马店 463000）

1 引言

并联机构较串联机构具有刚度大、承载力大、精度高等诸多优点[1]。以三自由度为代表的少自由度的并联机构，因其具有结构简单、工作空间大、灵巧性高等特点应用于医疗、航空、3D 打印、运动模拟器等诸多方面[2]。近年来，三自由度并联机构备受学者及工业界的关注。

并联机构的运动学分析及尺度优化是并联机器人结构设计和机构控制的基础[4]。机构工作空间、运动灵巧性、等运动学性能是衡量一个机构优良的重要评价指标[5]。具有三个自由度的并联机构可能具有不同的运动结构，文献[6]提出一种简单的三自由度并联机构，并利用一种新型数值算法对其进行运动学的逆解分析、工作空间求解。文献[7]研究了一种3 自由度3PUS-UP 并联机构，在运动学分析的基础上分析了机构的可达工作空间内的灵巧性、刚度等运动性能指标。文献[8]利用虚功原理建立3-UPU 对称并联机构动力学模型，并采用联合仿真技术对其验证分析。文献[9]对纯平动3-UPU 并联机构进行运动学分析、动力学分析以及工作空间分析，并基于matlab 进行动力学仿真。文献[10]分析研究了三自由度并联机构的灵巧度和各向同性等性能指标，然后利用Isight 软件对并联机构进行了多目标优化。

受文献[11]启发，提出一种结构简单且支链对称的3UPRR 并联机构，通过几何法分析3UPRR 并联机构的逆解，并分别对机构的工作空间、灵巧度等性能指标进行研究。在此基础上，以一种兼顾运动灵巧性和运动稳定性的综合运动指标作为优化目标，基于智能全局优化的遗传算法结构参数尺度优化分析。最优化参数为该机构应用研究奠定了理论基础。

2 机构运动学分析

2.1 机构描述与坐标系建立

3-UPRR 并联机构的并联机构的运动副环路图，如图1 所示。3-UPRR 并联机构的结构简图，如图2 所示。3-UPRR 并联机构的三维建模图，如图3 所示。3-UPRR 并联机构由上端的静平台、下端的定平台以及3 条由运动副构成的支链组成，在每条支链上结构为｛Ui-Pi⊥Ri-Ri｝，i=1，2，3，机构的静平台是一个半径r的圆盘，机构静平台直接与3 个虎克铰副（U）连接，静平台的平面与U 铰链相连的转动副的轴线垂直。转动副（R）与动平台相连接，移动副（P）的轴线通过虎克铰副中的另一个转动副轴线垂直，移动副（P）运动轴线与转动副（R）垂直，在运动链末端是由三个同轴的转动副（R）构成。各机构的参数描述，如表1 所示。

图1 3UPRR 并联机构结构简图Fig.1 Structural Sketch of 3UPRR Parallel Mechanism

图2 3 自由度3UPRR 并联机构的运动副环路图Fig.2 Three Motion Pair Loop Diagram of 3UPRR Parallel Mechanism with Degree of Freedom

图3 3-UPRR 并联机构的三维图Fig.3 Three-Dimensional Diagram of 3UPRR Parallel Mechanism

表1 机构的参数描述Tab.1 Description of Mechanism Parameters

2.2 机构自由度

根据Kutzbach 提出的自由度公式分析并联机构自由度[12]，公式为

式中：F—机构自由度的个数；fi—第i 个运动副的自由度；m—机构的运动副数；n—机构的构件数。

通过上述自由度求解公式机构可求的机构的自由度，代入可得：F=15-6×（9-8+1）=3，可得机构为3 自由度的三平移的并联机构。

2.3 机构位置反解

3-UPRR 并联机构逆解是指已知机构的结构参数与动平台参考点P 的位姿求解机构各支链的移动副P 的移动位移Li（i=1，2，3）。逆运动学问题的求解有很多种方法，如代数法、几何法、矩阵法、向量法或迭代法[13]。建立定坐标系O-xyz 于静平台上，原点O 位于两个U 副的中心，y 轴过定平台中心，x 轴沿两个U 副连线方向，z 轴垂直于定平台。

根据3-UPRR 并联机构的三维图可知并联机构结构的结构尺寸，由结构尺寸可得以下公式定义：

式中：L—移动副驱动位移范围；U—虎克铰轴线与移动副轴线的距离；N—虎克铰轴线中心与移动副相连的转动副的轴线的距离。

根据结构简图可得到定平台上的Pi点坐标P1（r，0），P2设T 为移动副移动位移L 沿着x 轴方向的投影，通过定平台上Pi点坐标可确定z 坐标与长度T 的关系：

通过上述两个等式可得：

因此可得到L 的表达式：

又因为动平台参考点与Pi点的在x-y 平面的长度可用坐标表示为：（T+W）2=（x-xi）2+（y-yi）2（6）

式中：W—平台中心与执行机构下端转动关节轴线之间的距离；（x，y）—动平台参考点在定坐标系上的坐标；（xi，yi）—定平台上Pi点坐标。

因此可得T 的表达式为：

因此，求得支链的逆解表达式为：

2.4 机构雅可比矩阵

式（8）为并联机构输入和输出之间的函数关系式，要求解主动关节输入速度与动平台输出速度的关系，可以将式两端分别对时间求导，即可得3-UPRR 机构的雅可比矩阵J。

3 机构工作空间分析

3.1 工作空间约束条件

3-UPRR 并联机构的工作空间求解需要找出机构的约束条件并选择合适的搜索方法。3-UPRR 机构在运动的过程能到达的范围中是受各支链杆长的约束的根据机构位置逆解得到的各个驱动支链的杆长作为机构为约束条件。每条支链的移动副都有运动范围［Limin，Limax］。则选择机构的杆长约束条件为：0≤Li≤100。

3.2 工作空间的求解方法

为了求解并联机构3-UPRR 工作空间，通过变步长极坐标迭代搜索法快速求解工作空间，该方法较传统的极坐标搜索法搜索效率高，具体的搜索步骤参考文献[13]，极坐标迭代搜索法搜索流程图，如图4 所示。

图4 工作空间搜索流程图Fig.4 Workspace Search Flow Chart

利用表2 并联机构尺寸参数进行编程可求得机构的工作空间，如图5 所示。

（1）工作空间滑连续，且无空洞情况；

（2）随着z 的增加，沿着xoy 平面的截面面积逐渐变大；

（3）工作空间沿xoy 平面投影关于y=0 对称；工作空间沿yoz平面投影关于y=0 对称且呈半椭圆状，工作空间沿xoz 平面投影且呈半椭圆状。

表2 并联机构的尺寸参数Tab.2 Dimensional Parameters of Parallel Mechanisms

图5 3-UPRR 并联机构的工作空间Fig.5 Workspace of 3UPRR Parallel Mechanism

4 并联机构运动灵巧性分析

灵巧度是并联机构的另外一个重要的性能指标，一般是把雅可比阵条件数的倒数定义为局部条件数[14]，用局部条件数衡量机构在某一位置的运动灵巧度[15]，其定义为：

式中：κ（J）—机构的雅可比矩阵的条件数

一般LCI∈［0，1］，当LCI=0 时，机构的雅可比矩阵J 为病态矩阵，机构处于奇异状态位置，当LCI=1 时，机构的雅可比矩阵J 为良态矩阵，机构处于最佳的运动传递性能，这一位置称为运动学各向同性[16]。为了评价机构在整个可达工作空间内的运动灵巧性，Gosselin 提出了衡量机构运动性能的全局灵巧性指标。

式中：w—可达工作空间。

若全局灵巧性指标GCI接近于0，表示机构存在有坏的全域条件数，机构的运动性能较差；若全域条件数GCI接近于1，表示有好的全域条件数，机构运动性能优良，而且G 越接近于1，机构的运动性能越好[17]。

满足机构运动约束条件下的可达工作空间内灵巧度分布，如图6 所示。从图6 中可以看出，机构的运动灵巧度随机构位位置变化而变化，可达工作空间内的四周灵巧度较低，可达工作空间的中心区域的灵巧度高于四周，说明机构可达工作空间中心区域的传递性能越好，精度越高。

图6 可达工作空间的运动灵巧度分布Fig.6 Motion Mexterity Distribution of Reachable Workspace

机构动平台在不同高度下灵巧度的分布情况，如图7 所示。机构在不同高度下局部条件数分布是不同的，Z=-25 的灵巧度大于高度为Z=-50、Z=-75、Z=0 时的灵巧度。Z=25 时的中心区域灵巧度接近于0.9 且大于四周，说明中心区域机构的运动灵巧性越好，运动精度越高。Z=0 时的灵巧度趋近0，运动性能较差。

图7 不同高度下灵巧度的分布图Fig.7 Distribution of Dexterity at Different Heights

5 并联机构结构参数优化

5.1 模型优化的建立

全域性能指标是条件数κ（J）的倒数在整个可达工作空间内的运动平均值大小[18]，它反映的仅仅是可达工作空间内平均运动性能情况，但其很难反映出机构在可达工作空间内的波动幅度性能，实际工程应用中，希望机构不仅平均性能好，而且要求运动性能稳定，针对这一情况，提出了基于全域性能指标基础上的全域性能波动指标。

式中：LCI—条件数κ（J）的倒数；η—可达工作空间内的条件数倒数平均值；σ—全域性能波动指标。

因此，在对并联机构进行运动灵巧性参数优化时，应综合考虑全域性能指标η 与全域性能波动指标σ，而且期望η 尽可能大而σ 尽可能小，同时考虑了并联机构在可达工作空间内的运动灵巧性的平均值和运动稳定性构，构造如下优化目标函数：

式中：λ（λ≥0）—权重系数。

该并联机构主要有3 个设计变量r、W、U 分别表示机构的静平台外接圆半径、转动副到动平台的距离、虎克铰轴线与移动副轴线的距离。令机构的移动范围L 不变，在机构设计过程中，以综合性能指标F 作为参数优化的目标，优化目标为：

5.2 优化算法的选择与分析

采用遗传算法（Genetic Algorithm）作为优化方法。利用遗传算法工具箱进行编程寻找目标函数最优解，遗传算法作为一种模拟自然进化过程搜索算法，不需要目标函数的梯度信息。遗传算法机构参数优化选择初始参数值，如表3 所示。

表3 遗传算法初始参数选择Tab.3 Selection of Initial Parameters of Genetic Algorithms

遗传算法工具箱机构优化分析可得遗传算法最优参数值，如表4 所示。分别选择不同的权重系数λ 进行最优化，得到基于遗传算法的不同的权重系数λ 优化结果。

表4 遗传算法优化结果Tab.4 Genetic Algorithm Optimization Results

根据表4 中的数据可得：不同的权重系数λ 优化的结果是不一致的，λ 越大，机构全域性能波动指标越小，但是全域性能指标也相应的减少。牺牲更多的全域性能指标换取全域性能波动指标降低不利于综合运动性能的提高，可以看出λ=0.5 时，机构的全域性能指标降低0.2%，使得机构全域性能波动指标降低了9.3%，λ=2.5 时，机构的全域性能指标降低2%，使得机构全域性能波动指标降低了22%，均方差δ 降为0.042，综合评估，可以选择λ=2.5，作为较为理想的平衡参数，既满足较为理想的η，又能具有较小的波动性。

其遗传算法优化过程中各代最优个体函数值与平均函数值的，如图8 所示。各参数值随进化代数变化曲线，如图9 所示。由图8、图9 可得：算法迭代过程中迭代数量20 以内优化的综合运动性能指标F 在不断的变化，最终稳定在0.399 左右，优化所得的机构参数尺寸r、W、U 分别为69.7、20、5。

图8 最佳目标函数值随进化代数变化曲线Fig.8 The Curve of the Best Objective Function with Evolution Algebra

图9 各参数值随进化代数变化曲线Fig.9 Curves of Variation of Parameter Values with Evolutionary Algebra

5.3 优化前后对比

根据上述优化的参数结果，通过可视化绘图进行对比，对比优化前后的可达工作空间的运动灵巧度分布，如图10、图11 所示。

图10 优化前可达工作空间的运动灵巧度分布Fig.10 Motion Dexterity Distribution of Reachable Workspace Before Optimization

图11 优化后可达工作空间的运动灵巧度分布Fig.11 Motion Dexterity Distribution of Reachable Workspace After Optimization

由图10、图11 可知优化可达工作空间的运动灵巧度大于优化前的灵巧度，优化前的综合运动性能指标F=0.284，优化后的综合运动性能指标F=0.399，虽然优化后的工作空间有所减小，但优化后的综合运动性能指标得到大幅度改善。

6 结论

（1）以3-UPU 并联机构作为研究对象改进得到了一种简单、对称的3-UPRR 并联机构。

（2）求解的工作空间光滑、无空洞情况，随着z 的增加，沿着xoy 平面的截面面积逐渐变大。

（3）优化前后对比表明：优化后可达工作空间的运动灵巧度大于优化前的灵巧度，优化后的综合运动性能指标得到很大改善。综合运动性能指标F=0.399，优化所得结构参数r、W、U 分别为69.7、20、5。