圆弧齿线圆柱齿轮加工机床运动链设计与误差分析

田凤桢，侯 力，谢 超，赵 斐

（四川大学制造科学与工程学院，四川 成都 610065）

1 引言

作为机械传动的重要组成部分，齿轮传动的研究主要集中在传动性能、使用寿命、结构等方面的优化和提高上，其中，具体要做的工作有齿轮的形制、齿轮的材料、新的传动形式等[1]。圆弧齿线圆柱齿轮（CATT）是通过构建具有不同于传统齿线的齿轮，突破性地实现齿轮的高性能，如图1 所示。该齿轮中参与啮合的齿的两齿面分别为凹齿面和凸齿面，齿轮齿线为圆弧线，中截面上齿的齿廓曲线为渐开线，除中截面之外的截面的齿廓线为变双曲线。正是由于该齿轮在齿线方向为圆弧，其在提高啮合平稳性、承载能力、疲劳强度[2-4]等方面有望与传统齿轮相比都更有优势。

现在采用数控机床加工复杂曲面的方法加工该齿轮，加工效率低、成本高，难以实现大规模生产，限制了CATT 的研究与应用，因此CATT 专用机床的研制就显得尤为关键。对于机床设计，文献[5]研究了五轴数控机床的所有理论运动链，提出了分类标准与每一类的优缺点，总结出了机床设计准则；文献[6]提出了一种描述数控机床运动链的通用运动模型，为五轴数控机床的运动配置提供了设计方法；文献[7-8]从测量仪器和测量方法的角度总结了数控机床几何误差、热误差和力误差的研究现状，讨论了数控机床误差测量的研究趋势；文献[9]基于多体动力学建立数控机床的通用空间误差模型，同时提出了辨识机床关键误差的方法。基于以上资料，设计出CATT 加工机床的运动链并进行误差分析，可以为机床的后续设计奠定基础。

图1 圆弧齿线圆柱齿轮Fig.1 CATT

2 CATT 加工机床设计

CATT 的加工原理，如图2 所示。大刀盘绕主轴高速旋转，刀具安装在大刀盘上随刀盘高速切削齿坯，齿坯绕自身轴旋转，转速为ω1，同时刀盘作靠近齿坯的水平运动，水平速度为V，两者关系为：

式中：r—齿轮分度圆半径。

图2 CATT 加工原理Fig.2 Processing of CATT

由于在实际加工过程中，除了切削运动外，还需要对刀和退刀运动，因此机床需要实现的运动分为以下两大类：

①定位运动，X-axis、Y-axis、Z-axis 三个方向的水平运动、分度运动（B）。

②切削运动，刀盘的高速旋转ω2（C）、展成运动中齿坯的旋转ω1与齿坯和刀盘的相对运动V（X）。

根据以上运动分析，设计出CATT 加工机床模型，如图3 所示。

图3 CATT 加工机床模型Fig.3 Model of Machine Tools of CATT

3 机床传动链综合误差分析

为了方便机床的精度建模，根据多体动力学理论，将图3 所示机床的各个部件划分为相应的“体”，分别在每个“体”上建立坐标系，再由各个“体”之间的运动关系得到该机床的运动链，如图4 所示。

图4 机床运动链Fig.4 Kinematic Chain of Machine Tools

其中：M-CS、T-CS、W-CS 分别固定联接在机床床身、加工刀具以及齿坯上，X-CS、Y-CS、Z-CS 分别代表机床的三个直线运动部件，B-CS 代表齿坯分度运动的部件，S-CS 代表机床的主轴部件。表示部件m 相对于部件n 的齐次坐标变换矩阵。

3.1 机床理论变换矩阵

TP 表示刀具上一加工点，经过机床传动链T-CS→S-CS→MCS→Y-CS→Z-CS→X-CS→B-CS→W-CS 的理论变换矩阵，可以得到该刀具加工点在齿坯固接坐标系W-CS 上的表达，即：

且因切削加工时，Z-CS 和Y-CS 的位移为零；刀具固定在机床主轴上；高速旋转的主轴固定在Z-CS 工作台上，相对于Z-CS只有旋转运动且对旋转角度定位没有要求，故：

所以，当机床加工部件（齿坯）分别沿着X-axis 方向平移x距离，绕B-axis 旋转B 角度，刀具加工点相对于工件加工点的理论变换矩阵为：

因为B≈0，所以cosB≈1，sinB≈B，于是可以得到：

3.2 机床实际变换矩阵

同3.1 的推理过程，可得到机床的实际变换矩阵为：

X-CS 沿X-axis 平动时的几何误差：定位误差Δxx，Y-axis方向直线度误差Δyx，Z-axis 方向直线度误差Δzx，滚摆误差ɑx，颠摆误差βx，偏摆误差γx。

B-CS 绕B-axis 转动时的几何误差：X-axis 方向跳动误差ΔxB，Y-axis 方向跳动误差ΔyB，轴向窜动误差ΔzB，绕X-axis 转角误差ɑB，定位误差βB，绕Z-axis 转角误差γB。

3.3 机床传动链空间误差矩阵

当TP=［0 0 0 1］T时，经过机床传动链刀具加工点的误差ΔPe的表达式为：

综合式（2）～式（13），并舍去高阶无穷小量，可以得到：

基于文献[9-10]的机床空间误差分析模型的建立过程，可以得到CATT 机床传动链的误差灵敏度矩阵为：

4 误差灵敏度影响因素分析

齿轮加工过程中共有多个切削周期，每个加工周期切削出一个齿槽，如图5 所示。一个加工周期从对刀点开始，在退刀点结束。设一个切削周期中X-axis 方向的切削行程为x。

图5 切削加工示意图Fig.5 Schematic Diagram of Cutting

在一个切削周期中，x 轴运动部件的运动距离为：

因x=Vt，B=ωt，r=mz/2，由式（1）得x=Br，代入式（17），可得：

综合式（21）和式（22）可知，传动链的误差灵敏度系数受齿轮的模数m 和齿数z 的影响。具体分析如下：

（1）X-axis 方向的位置误差受Δxx、Δzx、βx、ΔxB、βB的影响，其中Δzx受z 的影响，βx和βB值相等且同时受m 和z 的影响；

（2）Y-axis 方向的位置误差受Δyx、γx、ΔyB、ΔɑB、γB的影响，其中γx和γB的值相等且同时受m、z 的影响，ΔɑB也受m 和z 的影响；

（3）Z-axis 方向的位置误差受Δxx、Δzx、βx、ΔzB、βB的影响，其中Δxx受z 的影响，βx和βB值相等且同时受m 和z 的影响。

5 实例分析

由第4 节可知，当m=4，z=25 时，加工出一个齿槽的过程中，水平切削进给距离为404mm，绕B 轴的旋转角度为0.807，即x=0.0404，B=0.807，Bx=0.0326，代入式（17）中，有：

归一化处理后，机床在X-axis、Y-axis、Z-axis 方向的空间位置误差灵敏度分布，如图6 所示。由图6（a）可知，机床在X-axis方向的位置误差ΔPx受Δxx、Δzx、βx、ΔxB、βB这5 项误差的影响，其中Δxx、Δzx、ΔxB这3 项的灵敏度系数较大，占总误差的97.7%，因此这3 项需要重点控制。同理，机床在Y-axis 方向的位置误差ΔPy受Δyx、γx、ΔyB、ΔɑB、γB的影响，系数较大的2 项Δyx和ΔyB的占比为94.6%，故这2 项需要重点控制；机床在Z-axis 方向的位置误差ΔPz受Δxx、Δzx、βx、ΔzB、βB的影响，系数较大的3 项Δxx、Δzx、ΔzB的占比为97.2%，故这3 项需要重点控制。

综上所述，机床传动链的误差主要是由机床的x 轴运动部件、分度机构的B 轴转动部件影响，其中x 轴运动部件的定位误差和直线度误差、B 轴转动部件的跳动误差和轴向窜动误差对总的空间误差的影响最大。

图6 机床各误差分量的归一化灵敏度系数Fig.6 Normalized Sensitivity Coefficient of the Error Components of the Machine Tool

6 结论

（1）分析CATT 的加工原理，设计出CATT 加工机床的三维数字化模型。基于多体动力学理论，综合考虑机床各个部件的几何误差，建立CATT 加工机床运动链的误差分析模型，得到误差灵敏度系数的计算矩阵，并分析了各个误差的影响因素。

（2）以一典型加工件为例对CATT 加工机床进行误差分析，得出x 轴运动部件的定位误差和直线度误差、B 轴转动部件的跳动误差和轴向窜动误差对总的空间误差的影响最大，即这几项为影响机床加工精度的关键误差，从而为CATT 加工机床的设计提供了重要依据。