一些特殊图的算术-几何能量

刘梦甜，梅银珍，高玉斌

（中北大学理学院，山西 太原 030051）

1 预备知识

设 G是具有顶点集 V（G）=｛v1，v2，…，vn｝和边集E（G）的简单图。若顶点 vi和vj在G中相邻，则记作vivj∈E（G）。G中顶点 vi的度是与vi相邻的顶点数，用di表示。并分别用Δ和δ表示G的最大度和最小度。用A（G）=（aij）表示的G的邻接矩阵，其中。显然它是一个n阶的实对称矩阵，所以它的所有特征值都是实数。图G的谱是指其邻接矩阵A（G）的所有特征值的集合。设A（G）的特征值为λi（i=1，2，…，n），不妨设 λ1≥λ2≥…≥λn，最大值 λ1通常被称为图G的谱半径。对于邻接谱［1-3］，一个含有n个顶点，n条边的简单连通图称为单圈图；含有n个顶点n+1条边的简单连通图称为双圈图［4］。图 G的能量定义为：［4-8］

1994年，Yang等［9］提出了图G的扩展邻接矩阵，定 义 为 Aex=（），其 中=在文献［9］中定义扩展的图能量为：

其是对邻接能量最早的修改［10-11］。2015年，Shegehalli等［12-14］提出了图G的基于度的邻接矩阵 Aag（G）。它被定义为 Aag=（aagij）=，称其为算术-几何邻接矩阵。它是n阶实对称矩阵，因此它的所有特征值都是实数，用 ρi（G）表示，将其排列为ρ1（G）≥ρ2（G）≥…≥ρn（G），其中最大的特征值ρ1（G）称为图G的算术-几何谱半径。图G的算术-几何能量定义为：

用 Kp，q（p+q=n），Kn和 K1，n-1表示在 n个顶点上的完全二部图、完全图和星图。对于来自图论和矩阵理论的其他未定义的符号和术语参见文献［15-16］。

2 引理

为证明本文的定理，首先介绍下面几个必需的引理。

设M为 m×n矩阵。用 si（M）（i=1，2，…，m）表示 M的奇异值，令 s1（M）≥s2（M）≥…≥sm（M）。值得注意的是，A（G）（Aag（G））的所有奇异值之和是G的能量（算术-几何能量）。

引理1［17-18］设矩阵A和矩阵B是n×n阶复矩阵，则有：

引理 2［17-18］设矩阵 A1，A2，…，Am是 n×n复 数 矩 阵， 则 有

引理3［19］设矩阵C是n阶实对称矩阵，Ck是它的k×k主子矩阵。则有：

其中ξi（C）是C的第i大特征值。

引理4［19］设图 G是 n（n≥2）阶连通图，则ρ1＞ρ2。

引理5［19］设图G为n阶连通图。则当且仅

引理6［20］设G是m条边n个顶点的连通非奇异图。则有：

其中det A代表矩阵A的行列式，等式成立当且仅当 G≅Kn。

引理7［21］设G是m条边n个顶点的简单图，其度序列为 d1，d2，…，dn，则有：

等号成立当且仅当G是完全二部图Kp，q或G≅（其中n是偶数）。

引理8［22］设G是具有m边的n阶简单图。则有以下2种情况：

1）若2m≥n，则有：

2）若2m≤n，则 ε（G）≤2m，等号成立当且仅当G是一个边不相交的集合或者只有一个孤立点。

3 图的算术-几何能量的上界

在下面的定理中，用图的邻接能量ε（G）、最大度Δ和最小度δ给出了图的算术-几何能量的一个上限。

定理1 设G是一个n阶图，则有：

4 一些特殊图的算术-几何能量的上界

首先研究关于树图的算术-几何能量的一些

证毕。

以图1为例，计算其算术-几何能量。

利用Matlab软件计算出该双圈图的算术-几何邻接矩阵特征值的谱为｛-8.932 9，-1，-1，0，0.932 9，1，9｝，因此它的算术 -几何能量为εag（G）=21.865 8。图 G的最大度 Δ=6，最小度δ=1，因此由定理7可以得到：① εag（G）≤40.416 6，② εag（G）≤26.244 5。同样的原理，用定理8计算得到②εag（G）≤63.498。上述2个定理都是成立的，从这个例子可以得知定理7中②的结果比其他2个结果都要精确一些。

对于单圈图利用上述研究办法，发现关于单圈图的算术-几何图能量上界结果相同，因此将其放在这部分的最后。以下定理给出了其算术-几何能量的上届。

定理9 设G是具有m条边n个顶点的单圈图，它的最大度Δ，最小度δ，则有：

证明：因为G是单圈图，所以其边数m与其顶点数n相等，即 m=n。下面分2种情况进行讨论：

5 结论

通过上述研究发现，对于树、单圈图、双圈图利用定理2计算，尽管式（7）和式（8）的原理不同，都可以得到相同的结果，但这些结果依旧属于平凡结果的范畴，还可以进一步研究，使其更加精确。