2019天津中考数学18题解法

房瑞 密恩慧

正方形网格作图已经在天津市中考数学中兴起已经好几年了，19年前都没有和圆结合，但在2019年中考中如期而至。

笔者拿到题一时之间无法找到思路，只能借助于标答了解出题人的考察的内涵，并得益于和平教研室对18题的教研，聆听了老师们的分析，但是对于第三点还是没有得到论证的方法，引发笔者探索欲望，有了以下结论。

【题目呈现】

18.如图，在每个小正方形得边长为1得网格中，△ABC的顶点A在格点上，B是小正方形边的中点，∠ABC=50°，∠BAC=30°，经过点A、B的圆的圆心在边AC上.

（1）线段AB的长等于       ;

（2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，

画出一个点P，使其满足∠PAC=∠PBC=∠PCB，

并简要说说明点P的位置是如何找到的

（不要求证明）

【思路呈现】

方法一：试卷标答

如图，取圆与网络线的交点E、F，连接EF与AC

相交，得圓心O;AB与网络线相交与点D，连接

QC并延长，与点B，O的连线BO相交于P，连接AP，

则点P满足∠PAC=∠PBC=∠PCB.

此时设∠PAC=∠PBC=∠PCB=x，

在△OCP中，∠COP=60°，∠PCO=100°-x，∠CPO=2x

∴60°+100°-x+2x=180°，x=20°，

即∠PAC=∠PBC=∠PCB=20°.

其实根据对称性，可直接求出这三个角的度数，如图所示：

由题可以知道△AOB和△DOB关于直线OB对称，

得到∠OAB=∠OBA=∠OBD=∠ODB=30°∠AOE=∠BOE=∠DOF=∠     BOF=60°

∴∠CBD=∠CDB=10°

∴∠ODC=20°根据对称性得到∠PAC=∠ODP=∠PBC=∠PCB=20°

又可以得到此网格题其实是有这个模型联想到右图：

△ADB是等边三角形，O为其中心，OA，OD所在直线是此三角形的对称轴，

由对称性得到所要的

∠PAC=∠ODP=∠PBC=∠PCB=20°

方法二：

记方法一中的点为P₁

利用几何画板可以找到另外两个异与点P的点，也满足∠PAC=∠PBC=∠PCB.

且都在△ABC外部，其中一个在圆上，另一个在园内，分别记为P₂P₃.

P₂作图步骤：

在作出P1的基础上连接A P₁于AB中垂线交于点D，

连接CD并延长交圆于P₂.

此时设∠PAC=∠PBC=∠PCB=x，

在△APC中，

∠APC=180°-x-（100°-x）=80°，∠APC+∠BPC=120°，

∴∠BPC=40°

∴x=70°，即∠PAC=∠PBC=∠PCB=70°（其实可以直接得到∠PCB=70°）

方法三：

P₃作图步骤：

再求P₃时可以先求出∠PAC=∠PBC=∠PCB的值，此时设∠PAC=∠PBC=∠PCB=x，发现ABCP四点共圆，∠CAP=∠PAB=x=15°，即作∠BAC的平分线，相当于

作∠BAC缩对弧或弦的中点，即过O作AB的平行线。

先延长AB至格点N，延长AC至M， 链接MN，

构造直角三角形，与MN交于点Q，Q为MN中点，

链接OQ与圆交于点E，链接       AE与P₁P₂延长线交于P₃，P₃即为所求。

说明：因为根据几何画板得到∠PAC=∠PBC=∠PCB=15°，此时P₁P₂所在直线为BC的垂直平分线，即求∠CAB平分线与P₁P₂交点，作∠CAB平分线就是点A与∠COB平分线与弧BM的交点E的连线AE，关键E怎么找？构造等腰△MAN，再找到MN中点Q即可，Q点怎么找？因为BM⊥AN，所以过BN中点H作BN垂线HT与MN交点Q即为所求。也就是△HKT≌△NRH，HT与MN交于点Q，则HQ为△MBN中位线，Q为MN中点。连接OQ与弧BM交点就是E。连接AE与P₁P₂交点为P₃.

19年中考数学18题，全天津市没有一个同学得满分，经过思考有了以上3种作图方法，其中第三问是本人思考的结果，如有更好更多的解题方法，欢迎探讨研究。

（作者单位：天津港保税区空港学校）