引入交换图研究线性映射的像与核

孟 磊，吴修云，王 练，彭文宇

(湖南科技学院 理学院，湖南 永州 425000)

1 研究背景

设V,U是属于K上的n维和m维线性空间，φ是从V到U的线性映射，φ的全体像组成的集合称为φ的值域，用Imφ表示。所有被φ变成零向量的集合称为φ的核，用Kerφ表示。用集合的记号表示则有Imφ={φ(α)|α∈V},Kerφ={α|φ(α)=0}，容易证明线性映射的像是U的子空间，线性映射的核是V的子空间。当U=V时，φ被称为是V上的线性变化。

线性映射的像与核是代数学中两个重要的概念，又是两个重要的子空间，也是数学系必修课程高等代数中的一个难点内容。像与核的概念比较抽象，学生难以深刻洞悉其结构，现行教材中对Kerφ与Imφ的讨论非常少。一些学者也从不同角度对像与核的结构做了一些介绍。安军利用同构关系与解析方法研究了像与核的基和维数，并举了一些例子阐明其应用，给出了在V=U的情况下，V可以分解为像与核的直核充要条件[1]。赵冠华从Imφ的一组基出发，用初等变换法求出了Kerφ的一组基[2]。像这样有关像与核的介绍还有很多[3]。

交换图是本科代数学习阶段能遇到的为数不多的一次应用，现引入交换图来研究线性映射的像与核，将线性映射的像与核结构问题直接转化为矩阵的结构问题，使抽象的线性映射的像与核问题直观化，为研究像与核问题提供一种新的思维方式。

2 交换图结构

设V,U是属于K上的n维和m维线性空间，e1，e2，…，en为V的一组基，η1，η2，…，ηm为U的一组基，φ为V到U的线性映射，且φ(ε1,ε2,…,εn)=(η1,η2,…,ηm)A， 交换图如图1所示。

图1 交换图Fig.1 Interchange graph

以上就是交换图的基本构造。

在交换图中，将V中的任意向量α变到Km×1中都存在着两条等价的路径，Λσ1(α)=σ2φ(α)，下面的定理将说明这一点。

定理1：

在交换图中，Λσ1=σ2φ

证明：

只要说明对任意向量α∈V，Λσ1(α)=σ2φ(α)即可。

这说明在交换图中，任意向量α∈V,先经过σ1变到Kn×1、再经过Λ变到Km×1的结果与先经过φ变到U、再经过σ2变到Km×1是一样的。

3 由交换图得到的两个结论

定理2：

在交换图中，有σ2(Imφ)=ImΛ,σ1(Kerφ)=KerΛ

证明：

①在交换图中，σ2是U到Km×1的同构映射，则

σ2(Imφ)=σ2(φ(V))

=σ2φ(V)=Λσ1(V)(由定理1，σ2φ=Λσ1)

=Λ(σ1(V))=Λ(Kn×1)

=ImΛ

②对∀α∈KerΛ，在交换图中，σ1为V到Kn×1的同构映射，则存在β∈V，使得σ1(β)=α，两边用线性映射Λ作用，则

0=Λ(α)=Λ(σ1(β))

=Λσ1(β)=σ2φ(β)(由定理1：σ2φ=Λσ1)

=σ2(φ(β))

又因为σ2是同构映射，自然也是单射，则φ(β)=0，β∈Kerφ，则α=σ1(β)∈σ1(Kerφ)。反过来，对任意向量α∈σ1(Kerφ)，则存在向量β∈Kerφ，使得α=σ1(β)，两边用线性映射Λ作用，则

Λ(α)=Λ(σ1(β))

=Λσ1(β)=σ2φ(β)(由定理1：Λσ1=σ2φ，且β∈Kerφ)

=σ2(0)=0

所以α∈KerΛ

4 交换图的应用

从定理2可以看出，可将σ2看做是U的子空间Imφ与Km×1的子空间ImΛ上的同构映射。在交换图中，ImΛ等于矩阵A的列向量组生成的空间，用初等变换的方法找出矩阵A列向量组的极大无关组就是Imφ的一组基对应的坐标。同理，可将σ1看成V的子空间Kerφ与Kn×1的子空间KerΛ上的同构映射，KerΛ等于齐次方程Ax=0的解空间, 解出KerΛ的一组基就对应Kerφ的一组基的坐标。

本研究提到的交换图σ1,σ2都是同构映射，对于σ1,σ2不是同构映射的情况，其情况要复杂得多。