基于空间相关性的混合RSS-AOA 定位*

张 俊，郭道省

（陆军工程大学，通信工程学院，江苏 南京 210007）

0 引言

近年来，随着5G 技术的飞速发展和设备通信范围的稳定增长，以及对基于位置的服务的需求，目标定位已广泛用于军事和民用领域，如环境监控，路由和频谱共享，物联网，人群感知，应急服务[1-5]。

为了保持较低的执行成本、计算复杂度和对所有地形的适用性，限制了现有全球导航卫星系统（global navigation satellite system，GNSS) 的 使用。从测量中估计位置信息的方法主要有到达时间（time of arrival，TOA）、到达时差（time difference of arrival，TDOA）、接收信号强度（received signal strength，RSS）和到达角（angle of arrival，AOA)，文献[6]中对以上方法都有相关介绍。尽管基于单一测量的目标定位估计具有低复杂度、低成本的优点，但估计精度仍有很大的提高空间。因此，为了提高定位系统的精度和可靠性，提出了基于多量测的混合定位系统[7-10]。

使用混合RSS 和AOA 数据定位目标位置是一个非凸优化问题。为了真正解决这个问题，文献[7]中使用RSS 和AOA 信息从发射器地理位置推导了最小二乘估计和最大似然估计，由于未考虑传感器的阴影衰落，会导致比较大估计误差。文献[8]中作者使用球坐标转换和可用的AOA 观测值建立了测量值与未知目标位置之间的新关系，并在未知发射功率下推导了简单的闭式解。在文献[9]中，当传感器在未知的传输功率和路径损耗系数下随机部署时，作者提出了加权最小二乘法估计器来估计位置。在文献[10]中，作者通过在非合作和合作定位问题下使用凸松弛技术，将这些混合估计量转化为半定规划（semi-definite programming，SDP）和二阶锥规划（second-order cone programming，SOCP）问题。上述研究并未充分考虑实际环境中节点之间阴影衰落的相关性。

在本文中，假设阴影衰落在传感器之间具有空间相关性，从观测模型开始，提出的路径损耗模型考虑了许多因素。通过贝叶斯层次模型，将度量模型转化为数据模型、过程模型和参数模型三阶段模型。该模型能较好地说明空间相关的阴影衰落问题。然后，利用贝叶斯理论得到未知信道模型参数的后验概率分布，并用马尔可夫链蒙特卡洛（Markov chain Mento Carlor,MCMC）计算出后验概率分布，并用于估计未知位置的位置。

1 RSS-AOA 定位问题描述

1.1 问题介绍

本文考虑了一个二维混合RSS-AOA 定位网络结构，规则的节点部署分布如图1 所示，其中包含一个目标节点、一个初始节点和N个锚节点（ANs）。未知的目标节点为s=[sx,sy]∈ℝ2，已知的随机初始节点i=[ix,iy]∈ℝ2，锚节点为ai=[aix,aiy]∈ℝ2，i=1,2,…,N,利用一个分层模型来整合距离和角度来估计目标位置，通过结合RSS 和AOA 测量来提高估计精度。

图1 规则的节点分布图

初始点l=[lx,ly]∈ℝ2传输信号，其他的锚节点接受信号生成训练集，用于在贝叶斯分层模型汇总计算空间相关性和估计参数。训练集的结构表示如下：

其中P=[P1,P2,…,PN]，ϕ=[ϕ1,ϕ2,…,ϕN]分别表示RSSs 和AOAs 的测量值，Pi,ϕi表示第i个锚节点的RSS 和AOA 值。L=[a1,a2,…,aN]表示锚节点的位置坐标。通过设置不同的初始节点位置和发射功率来生成多组数据集，提高了贝叶斯分层模型中未知参数的准确度，提高了定位精度。

1.2 测量模型

根据发射功率和信号传播模型，可将锚节点处接收的信号分解为路径损耗、阴影衰落、小尺度衰落和噪声。通过长期观测，可以求出小尺度衰减和噪声的平均值。RSS 和AOA 测量模型如图2 所示，由此可得到i的RSS 值：

图2 2D RSS-AOA 测量模型

其中Pt[dBm]是传输功率，d0是参考距离，在本文中假设d0=1[m]。λ是辐射的波长，η是路径损失系数，||ai-s||表示目标节点和锚节点i间的欧式距离。Wi是一个服从高斯分布的阴影衰落，ni是由锚节点造成的测量误差，是一个服从零均值标准差为σn的高斯随机变量。

在实际的无线信号观测环境中，存在着由相似地形或同一障碍物而导致的阴影衰落。由以往的研究中可以得出，阴影衰落的相关性随着节点间距离的增大而减小。因此，在RSS 测量中有必要考虑锚节点之间的空间相关性。这里我们假设锚节点间的阴影衰落服从一个N维的高斯分布，其均值是零向量，方差由一个函数定义的协方差矩阵表示。这里我们选择Matérn 协方差函数[11]:

其中dij表示锚节点i,j间的欧式距离，函数Γ(·)是普通的伽马函数，Kv(·)是改良的v阶 Bessel函数，它控制着实现随机域的平滑度，本文中我们选择v=3。φ是空间相关性系数，它控制着衰减程度，σw是边际差，它控制着函数在预期范围内的输出。

根据图2 中的测量模型，假设锚节点处配备（如定向天线、天线阵列等）去获得AOA 测量值。因此，仰角ϕ可以通过简单的几何结构建模为:

其中mi是角度的测量误差，是一个零均值标准差为σm的高斯随机变量。在测量向量Y=[P,ϕ]T基础上，我们可以得到未知目标节点的条件概率密度函数：

由于ML 估计的高度非凸性以及无封闭解，算法可能陷入局部极小值，导致定位误差较大。因此，引入BHM 来分别考虑空间相关的阴影衰落分量。

2 贝叶斯分层模型和定位估计

在本节中，提出了应用于测量模型的BHM，以及使用空间相关阴影衰落的MCMC 的混合 RSS和AOA 定位方法。

2.1 贝叶斯分层模型

根据RSS和AOA测量模型，锚节点处的 RSS值由路径损失系数η，测量方差σn2所影响；AOA值由测量方差σm2所约束。且都与目标节点的位置信息有关。与此同时，潜在的阴影衰落过程由相关系数φ和方差σw2所约束。就中的测量模型，引入三层贝叶斯分层模型[2]转换，详细模型如下：

● 数据模型：

测量向量Y在隐过程和相关参数下，服从一个多维高斯分布。均值向量μ=[μ1,μ2,…,μ2N]∈ℝ2N×1协方差矩阵为σ=[σn2IN×N,σm2IN×N]∈ℝ2N×2N。均值向量μ为：

这里，假设所有的参数都是相互独立的，可以得到：

2.2 参数估计

假设我们有一些关于参数的先验信息。如表1所示，我们可以选择均值为4，方差为4 的高斯分布作为路径损失系数的先验分布。当参数的先验信息不存在时，可以选择弱信息的先验分布。选择的分布对参数估计的影响不大，参数估计主要是由数据决定的，须将参数的先验分布控制在合理的范围内。

表1 不同环境下的路径损失系数

根据上述贝叶斯分层模型，可以得到参数的后验分布：

其中p(θ|Y)表示参数的先验概率密度函数，在测量数据和生成数据下的条件，通过贝叶斯理论，可以得到参数的后验分布函数，以路径损失系数η为例：

上式积分难求闭式解，应用MCMC 方法对（12）进行采样，然后计算采样结果的均值作为仿真参数。

2.3 RSS-AOA 混合定位估计

根据上述三层贝叶斯分层模型，提出了一种基于MCMC 方法估计目标节点位置信息后验分布的方法。在初始节点发送功率，在锚节点接收到的测量数据Y和锚节点位置信息已知的条件下，可以得到目标节点在发射功率Pt时位置信息s=[sx,sy]的后验概率分布：

由参数的先验分布p(θ|Y,L)，采样一组参数θ的样本{θ(i)},i=1,2,…,K。根据采样的参数样本在p(s|Y,θ(i),Pt)上对每一组θ(i)采样{s(i),Pt(i)}。考虑在实际监测环境中，目标节点的发射功率未知，因此，在上述贝叶斯分层模型中，将Pt当作一个未知参数去估计。新的参数模型如下：

由于阴影衰落受锚节点间的距离和相关系数影响，因此，数据模型和过程模型没有改变。根据在未知目标节点发送功率，以及接收到的测量数据，应用MCMC 算法去估计参数模型θ^ 中的s,Pt的后验预测分布：

首先，从p(θ|Y,L)中采样{θ(i)}，然后对每一个θ(i)从p(s,Pt|Y,L)中采一组，最后计算目标节点的估计信息：

3 仿真结果与分析

在本节中，考虑在500m×500m 的二维区域中的定位问题。如图1 所示，在观测区域中均匀部署100 个锚节点。

3.1 仿真数据

根据随机生成的初始节点i位置发射功率设置为Pt=30[dBm]，生成用于估计参数模型中的相关参数的M=100 组数据，格式如（1）所示。表2 中给出了相关参数先验信息，并对其进行MCMC 采样得出其参数的后验预测分布，如图3 所示，描述了四条采样样本链收敛于同一分布。左列为5000 个有效样本的估计参数核密度，从上至下分别表示η,φ,σw,σn,σm；右列为有效样本的轨迹图，说明了算法的收敛性。根据得出采样有效样本，计算出样本均值，作为位置估计的仿真参考数值。

表2 参数的预设先验信息

3.2 性能指标

（1）均方根误差

定位性能由均方根误差 (Root Mean Squares Error，RMSE)来给出：

其中s´表示目标节点的估计位置，Mc的有效采样次数为5000。

（2）累积分布函数

用预先设定的定位精度，去衡量位置估计的成功概率，选用累计分布函数来评价算法的精度：

CDF(e)=P(||s´-s||

其中e表示目标节点和估计节点间的定位误差距离。

图3 参数的后验预测核密度图以及采样迹图

3.3 仿真结果

使用Python 环境下的PyStan 包在Jupyter Lab上进行建模仿真工作，实验参数设置如下：已知位置信息的锚节点数N=100，随机位置的初始节点发射功率Pt=30[dBm]，参数先验分布如表2 所示，在位置估计仿真中，位置坐标sx,sy是[0,500]上的均匀分布，其他参数设置为表2 中的后验预测分布的均值。

（1）图4 为单一RSS、AOA 定位方法和混合RSS-AOA 定位方法在RSS 测量标准差σn的对比图，如图所示，在较低的标准差下，单RSS 和混合方法误差较低，达到6m 左右，随着标准差的变化，混合方法有较好的稳定性，在较大的RSS 测量标准下，可以结合角度信息对目标节点进行较高精度的定位。由图5 可以看出，在定位误差e=16.5m 下，即可达到精确定位。

图4 定位误差随标准差σn 变化趋势

图5 定位误差的累计分布变化

（2）图6 为在AOA 测量标准差σm下的对比图，混合定位方法有更高的精度，由于定位场景存在的阴影衰落，导致AOA 测量偏差较大，单一的方法无法进行较为精确的估计。考虑空间相关性的混合定位方法更有效。

图6 定位误差随标准差σm 变化趋势

图7 可以看出，混合定位在更低的定位误差下，可达到精确定位。

图7 定位误差累计分布变化

4 结语

在本文中，提出了一种基于贝叶斯分层模型的混合RSS-AOA 定位方法，通过将阴影衰落转换成过程模型，考虑了节点间的空间相关性，提高了对目标节点的位置估计精度。仿真结果验证了定位方法的有效性。