Newton-Steffensen型迭代在广义Lipschitz条件下的半局部收敛性

陆 东，梁 娟，何育宇，凌永辉

（闽南师范大学数学与统计学院，福建漳州363000）

关于求解式(1)的迭代算法，已经有学者做了大量的研究，其中最著名的是Newton法，其形式如下：

当F′满足Lipschitz 连续时， 由牛顿法生成的点列{xk} 是二阶收敛的.为了得到Newton 法的三阶收敛，Euler-Halley 迭代族将牛顿法进行了推广，见文献[1-6].然而尽管是三阶收敛的，但需要计算F的二阶导数，导致计算成本高，且F的二阶导数满足Lipschitz连续才可以得到三阶收敛性.而一些新的方法如凸加速Newton法，Supper-Halley法，变形Euler-Halley法(见文献[7-12])，虽然不用计算F的二阶导数，但仍需要F是二阶可微的，且二阶导数满足Lipschitz连续才能保证三阶收敛性.

Sharma在文献[11]中提出了一种可以避免计算二阶导数同时又保证三阶收敛性的Newton-Steffensen迭代法.令f→，其迭代格式为：

其中

在文献[13]中，要得到三阶收敛性，F的二阶导数仍要满足Lipschitz连续.

在上面的研究中，为了建立三阶收敛性，都要求F至少是二阶可导的，但在实际应用中，有时F不一定二阶可导，在文献[14-15]中，作者仅研究了一阶导数的情况下Newton-Steffensen法的三阶收敛性.

受文献[14-15]的启发，本文考虑一种广义Lipschitz条件，该条件由一个抽象函数构成，利用该抽象函数的凸性我们得到了标量Newton-Steffensen迭代的收敛性，并进一步得到Newton-Steffensen迭代式(4)的半局部收敛性.我们的收敛性结果除了推广了文献[14]的结果，还可以得到了在Hӧlder条件下的新收敛结果.

1 主要结论

本节给出Newton-Steffensen迭代式(4)在广义Lipschitz条件下的半局部收敛结果，进而得到若干推论.

定理1令F:D⊂→是Fréchet可微的，给初始点x0∈D使得F′(x0)−1存在.记{xk} 由式(4)迭代产生.假设F′满足如下广义Lipschitz条件:

i)h(t)在(0，R)内至少有一个根，且t*是其最小正根；

ii)h(t)是严格凸的；

iii)h(0)＞0，h′(0)= −1.

则{xk} 是有定义的，且三阶收敛于式(1)在上的唯一解x*.此外，有误差估计

其中，实序列{sk} 与{tk} 由Newton-Steffensen 迭代产生，即

注1上述定理给出了Newton-Steffensen迭代的一般性半局部收敛结果.当抽象函数h(t)选取不同的显式形式可以得到若干重要的推论，设β＞0，当取时，其中L(u)为非递减可积函数且满足此时，广义Lipschitz条件(6)变为L-平均Lipschitz条件

进而，由定理1 可得Newton-Steffensen 在上述L-平均Lipschitz 条件下的半局部收敛性结果，为文献[15]的主要结论.特别地，当取时，条件(6)变为Lipschitz条件

此时，由定理1 得Newton-Steffensen 迭代在Lipschitz 条件下的半局部收敛性，即文献[14]中的主要结论，而当取时， 由定理1 得Newton-Steffensen 迭代在γ-条件下的收敛性， 见文献[15]推论5.3.此外，当取时，条件(6)变成Hӧlder条件

从而由定理1可得Newton-Steffensen迭代在Hӧlder条件下的半局部收敛性结果，而该结果是新的结果.

2 引理

为了证明Newton-St effensen 法，式(4)的半局部收敛性，先证明若干技术性引理.本节假定定理1 的条件成立，利用h的凸性可以得到如下关于实序列{sk} 与{tk} 的收敛性.

引理1设点列{sk} 和{tk}由式(8)迭代生成，对于任意k≥0，有

而且{sk} 与{tk} 收敛到同一点t*.

由Banach引理及式(6)中可得如下结论.

引理2令0 ＜r＜t*，x0∈D且F′(x0)−1存在.若F′(x0)−1F′(x)在Β(x0，r)上满足广义Lipschitz 条件，即式(6)，则对任意x∈Β(x0，r)，F′(x)−1存在且

引理3[15]令x∈D且F′(x)−1存在.设y: =x−F′(x)−1F(x)，: =x−[y，x；F]−1F(x)且[y，x；F]−1存在.则下列式子成立:

引理4设x0∈D使得F′(x0)−1存在， 且若F′(x0)−1F′(x)在Β(x0，t*)上满足广义Lipschitz条件，则以x0为初始点，由式(4)迭代产生的点列{xk} 有定义，且对于k≥1，有如下关系式成立:

证明(归纳法)先证当k= 1 时， i)- iii)成立.由(4)有由此可以得到

注意到在(0，t*)内，由h′(t)＜0，知故由Banach引理得[y0，x0；F]—1存在且满足

因此

由引理3 ii)可得

从而当k= 1时，i)-iii)成立.

假设当k=n时，i)-iii)成立，下面证明当k=n+ 1时，i)-iii)也成立.由归纳假设得

即xn∈Β(x0，t*)，故由引理2知，F′(xn)−1F′(x0)存在且有

即i)的第一个不等式对k=n+ 1时成立，由此可得

由引理1 及h(t)在(0，t*)上的单调性得故于是由Banach引理得

此外，由式(4)及式(13)得

故有‖xn+1−yn‖≤tn+1−sn，即i)的三个不等式对k=n+ 1 时成立.而由式13)可得ii)对k=n+ 1 时成立.最后证明当k=n+ 1时，iii)成立.事实上，由引理3 ii)及式(15)得

从而k=n+ 1时，i)- iii)成立.因此，由归纳法知对任意k≥1，i)-iii)恒成立.

3 定理1的证明

证明由引理4 知{xk} 是有定义的，而由引理1 与引理4 i)得{xk} 是Cauchy 列，故其极限存在，记为x*.下证x*是方程(1)的解.对k≥0，由引理4 iii)得令k→∞得x*是式(1)的解.x*是式(1)在上的唯一解可由文献[16]定理1.5直接得到.

由引理4i)得‖x*−xk‖≤t*−tk.下证误差估计式(7)成立.由于

结合引理2，可得

注意到 [yk，xk；F](xk+1−xk)+F(xk)= 0，得

于是由式(16)可进一步得到

结合引理4及式(17)有

由此可知估计式(7)对任意k≥0恒成立.由式(7)可以知道{xk} 三阶收敛到{x*} .