仿拓扑群嵌入性质的一点注记

郭伟业

（五邑大学数学与计算科学学院，广东江门529020）

设τ是抽象群G上的一个拓扑.称(G，τ)是半拓扑群，如果对于群G上一个元在G中的左乘法运算和右乘法运算都是连续的；称(G，τ)是仿拓扑群，如果群G上的乘法运算是连续的；称(G，τ)是拓扑群，如果(G，τ)是仿拓扑群且群G上的逆运算是连续的[1-2].

1953年，Katz[3]证明了：设G是T2拓扑群，则G拓扑同构于一族可度量化拓扑群乘积空间的子群当且仅当G是ω—balanced.Guran[4]最早研究ω—narrow 拓扑群并在1981年得到结论：拓扑群G拓扑同构于一族满足第二可数公理拓扑群乘积空间的子群当且仅当G是ω—narrow.2007年，Sanchis 等[5]研究了仿拓扑群中完全Lindelӧf 和完全ω—narrow 的相关性质.2009年，Tkachenko 将文献[3-4]的结果推广到仿拓扑群中，引入了Hausdorff数和正则数这两个新的基数不变量，并进一步给出了仿拓扑群能表示成第一可数仿拓扑群或第二可数仿拓扑群乘积空间子群的刻画，分别得到文献[8]中定理2.7、定理2.8、定理3.6、定理3.8.2015年，Sánchez[6]将Tkachenko[7]的结论推广到T0和T1分离公理.自然地，我们能否将文献[6-7]结论中的ω推广到无限基数κ？本文在文献[8]的基础上，研究了特征或权势不大于κ的仿拓扑群乘积空间子群的等价条件.

1 预备知识

为方便起见，文中的N(eG)均表示仿拓扑群（半拓扑群）G中包含单位元eG的所有开邻域的集族，ω表示可数基数，κ为无限基数.

定义1[8]设(G，τ)是仿拓扑群，称τ-1={U-1:U∈τ} 为G的共轭拓扑.记τ*=τ∨τ-1是拓扑群G上的上界拓扑，则称G*=(G，τ*)是仿拓扑群G的共轭拓扑群.

定义2[1]设G是仿拓扑群，如果对于任意U∈N(eG)，存在子集族γ⊆N(eG)满足 |γ|≤κ，使得对于任意x∈G，存在V∈γ，满足xVx-1⊆U，则称γ从属于U.如果对于任意U∈N(eG)，存在γ从属于U，则称G是κ—balanced.

定义3[1]设G是仿拓扑群，如果对于任意U∈N(eG)，存在一个子集C⊆G满足 |C|≤κ，使得CU=G=UC，则称G是κ—narrow.如果G的共轭拓扑群G*是κ—narrow，则称G是完全κ—narrow.

如果定义2和定义3的κ取为ω，则分别称仿拓扑群G是ω-balanced和完全ω—narrow.

定义4[5]设G是半拓扑群.如果存在可数集族γ⊆N(eG)，使得对于任意x∈U，存在V∈γ，满足xV⊆U，则称半拓扑群G的子集U为ω—good集.

定义5[8]设P是某一给定的拓扑性质，G是仿拓扑群，如果对于任意U∈N(eG)，存在一个从G到具有性质P的仿拓扑群HU的连续同态pU:G→HU，使得对于某一V∈N(eHU)，有p-U1(V)⊆U，则称G是投射满足P的.

定义6[8]设G是具有单位元eG的半拓扑群，

1）如果G满足T2分离公理，且对于任意U∈N(eG)，存在一个集族γ⊆N(eG)，使得 |γ|≤κ且∩V∈γVV-1⊆U，则称该最小基数κ为G的Hausdorff数，记作Hs(G)；

2）如果G满足正则分离公理，且对于任意U∈N(eG)，存在一个集族γ⊆N(eG)和V∈γ，使得 |γ|≤κ且∩W∈γVW-1⊆U，则称该最小基数κ为G的正则数，记作Ir(G).

2 主要结论

命题1[1]设γ是抽象群G中单位元eG的一个集族，满足下列条件：

1）对于任意U∈γ，存在V∈γ，使得V2⊆U；

2）对于任意U∈γ和任意x∈G，存在V∈γ，使得xV⊆U；

3）对于任意U∈γ和任意x∈G，存在V∈γ，使得xVx-1⊆U；

4）对于任意U，V∈γ，存在W∈γ，使得W⊆U⋂V.

则τ={U⊆G:任意a∈U，存在V∈γ，使得aV⊆U} 是群G上一个拓扑，使得(G，τ)构成仿拓扑群且γ是仿拓扑群G中单位元eG的一个邻域基.

首先我们讨论T2仿拓扑群嵌入的刻画.

命题2[8]设半拓扑群G满足T2分离公理，H是G的子群，则Hs(H)≤Hs(G).

命题3设半拓扑群G满足T2分离公理，则Hs(G)≤χ(G).

命题4[8]设{Gi:i∈I} 是满足T2分离公理的半拓扑群族，如果对于任意i∈I都有Hs(Gi)≤κ，则对于拓扑乘积G=∏i∈IGi有Hs(G)≤κ.

引理1[5]包含仿拓扑群G中单位元eG的所有ω—good集组成的集族构成G中单位元eG的邻域基.

引理2[8]设G是仿拓扑群，若子集族γ⊆N(e)满足下列条件：

1）对于任意U∈，γ存在V∈γ，使得V2⊆U；

2）γ的有限交是封闭的；

3）对于任意U∈γ,γ从属于U.则是G的一个闭的不变子群.

引理3设G是仿拓扑群，

1）如果G满足T2分离公理，则G是投射满足T2分离公理且满足特征（权势）小于等于κ的仿拓扑群当且仅当G拓扑同构于一族满足T2分离公理且满足特征（权势）小于等于κ仿拓扑群族{Hα:α∈Α} 乘积空间的一个子群.

2）如果G满足正则分离公理，则G是投射满足正则分离公理且满足特征（权势）小于等于κ的仿拓扑群当且仅当G拓扑同构于一族满足正则分离公理且满足特征（权势）小于等于κ仿拓扑群族{Hα:α∈Α} 乘积空间的一个子群.

证明只证仿拓扑群G满足T2分离公理的情况，G满足正则分离公理的情况类似可证.

必要性固定G中单位元eG的一个开邻域基B，使得 |B|≤κ.因为G是投射满足T2分离公理且满足权势小于等于κ的仿拓扑群，所以对于任意U∈B，存在一个从G到满足T2分离公理且满足权势小于等于κ的仿拓扑群HU的连续同态pU:G→HU，使得对于HU中单位元eHU的某一开邻域V，有(V)⊆U.显然∏U∈B HU是满足T2分离公理且满足权势小于等于κ的仿拓扑群.作对角乘积p= ∏U∈BPU:G→∏U∈B HU，则p是G到∏U∈B HU的一个嵌入，从而G拓扑同构于一族满足T2分离公理且满足权势小于等于κ仿拓扑群{Hα:α∈Α} 乘积空间的一个子群.

充分性设p:G→∏a∈AHa是一个嵌入，pJ:∏a∈AHa→∏a∈J Ha是一个投射，其中J⊆Α是有限集族，显然p和pJ是连续同态且是一一映射.对于任意U∈N(eG)，取Vα∈N(eHα)，其中α∈J，则V=∏a∈J Va是乘积空间HU＝∏a∈J Ha中单位元的一个开邻域.因为仿拓扑群族{Hα:α∈Α} 满足T2分离公理且满足特征小于等于κ，所以仿拓扑群∏a∈AHa也满足T2分离公理且满足特征小于等于κ.仿拓扑群HU作为∏a∈AHa的子空间也遗传同样的性质.取pU=pJ∘p，则pU是一个从G到满足T2分离公理且满足权势小于等于κ的仿拓扑群HU的连续同态.对于上述的V∈N(eHU)，则

故p-J1(∏a∈JVa)和p(G)是∏a∈A Ha中单位元的开邻域.从而是∏a∈A Ha中单位元的开邻域.所以是G中单位元的开邻域.根据开集的定义，对于上述的U∈N(eG)，我们找到使得

由于仿拓扑群是齐性空间，因此特征的情况是显然的.

定理1设仿拓扑群G满足T2分离公理，{Hi:i∈I} 是满足特征小于等于κ且满足T2分离公理的仿拓扑群族，则G拓扑同构于拓扑乘积∏=∏i∈IHi的一个子群当且仅当G是κ—balanced且Hs(G)≤κ.

证明必要性假设G拓扑同构于拓扑乘积∏=∏i∈IHi的一个子群.因为Π中的标准开集除了有限个坐标外，其余都取Hi，另外满足特征小于等于κ且满足T2分离公理的仿拓扑群集族{Hi:i∈I} 是κ—balanced，因此Π 是κ—balanced.又因为κ—balanced 具有子群遗传性，因此G也是κ—balanced.根据命题2 至命题4 可得Hs(G)≤Hs(Π)≤κ.

充分性设G是κ—balanced仿拓扑群且满足Hs(G)≤κ，根据引理3只需证特征小于等于κ的κ—balanced仿拓扑群G是投射满足T2分离公理且满足特征小于等于κ的，即证对于任意U0∈N(eG)，存在一个从G到满足特征小于等于κ且满足T2分离公理的仿拓扑群HU0的连续同态pU0:G→HU0，使得对于HU0中单位元eHU0的某一开邻域V0，有

设N*(eG)是包含仿拓扑群G中单位元eG的所有ω—good 集组成的集族，由引理1 可知N*(eG)是G中单位元eG的邻域基.下面通过归纳法构造序列{γn:n∈ω} ⊆N*(eG).取U0*∈N*(eG)满足U0*⊆U0和γ0={U0*}.设对某个n∈κ，定义集族γ0，γ1，…，γn，对于任意k≤n都满足下列条件：

1）γk⊆N*(eG)且 |γk|≤κ；

2）γk⊆γk+1；

3）γk的有限交是封闭的；

4）对于任意U∈γk，存在V∈γk+1，使得V2⊆U；

5）对于任意U∈γk，γk+1从属于U；

6）对于任意U∈γk和x∈U，存在V∈γk+1，使得xV⊆U；

假设条件2）以及4）-7）中的k+ 1 ≤n.因为G是仿拓扑群且 |γn|≤κ，所以存在子集族λn，1⊆N*(eG)满足|λn，1|≤κ，对于任意U∈γn，存在V∈λn，1，使得V2⊆U.由于G是κ—balanced，故存在子集族λn，2⊆N*(eG)满足|λn，2|≤κ，对于任意U∈γn和x∈G，存在V∈λn，2，使得xVx-1⊆U.又因为Hs(G)≤κ，所以可以找到子集族λn，3⊆N*(eG)满足|λn，3|≤κ，对于任意U∈γn，有根据N*(eG)的定义，存在子集族λn，4⊆N*(eG)满足|λn，4|≤ω，对于任意U∈γn和x∈U，都能找到V∈λn，4，使得xV⊆U.令γ′n+1=是包含γ′n+1关于有限交封闭的最小集族，显然|γn+1|≤κ.容易验证γ0，γ1，…，γn+1满足上述条件1）-6），从而完成构造.

8）对于任意Α，B∈μ，存在C∈μ，使得C⊆Α⋂B；

9）对于任意Α∈μ，存在B∈μ，使得B2⊆Α；

10）对于任意Α∈μ，μ从属于Α；

11）对于任意Α∈μ和y∈Α，存在B∈μ，使得yB⊆Α；

12）对于任意异于HU0中单位元eHU0的一点x，存在Α∈μ，使得Α⋂xΑ= ∅.

因为集族γ的有限交是封闭的，因此条件8）成立.由γ和μ的定义，对条件4）和5）进行归纳构造可以得到条件8）和9）.下面验证条件10）.对于任意Α∈μ和y∈Α，根据μ的定义，存在U∈γ和x∈U，使得Α=pU(U)且y=pU(x).根据条件6）和γ的定义，对于上述的U∈γ和x∈U，存在V∈γ，使得xV⊆U.记B=pU(V)，则

即yB⊆Α.结合条件8）-12）和命题1可知

是HU0上的拓扑，使得(HU0，τ)是仿拓扑群且μ是HU0上单位元eHU0的一个邻域基.

下证条件12）.由于 |μ|≤κ，故仿拓扑群HU0满足χ(HU0)≤κ.任取则存在x∈G，使得pU0(x)=y.因为所以存在V∈γ，使得x∉VV-1，即V⋂xV= ∅.取W∈γ，使得W2⊆V，则对于O=pU0(W)∈μ，有O⋂yO= ∅.否则，我们可以找到某a，b∈W，使得pU0(a)=ypU0(b)=pU0(xb)，即a=xb，从而a-1xb=eG∈N.再结合N⊆W和W2⊆V可得：

这与x∉VV-1矛盾.从而条件12）得证.故仿拓扑群()HU0，τ满足T2分离公理.

取U∈γ，使得U2⊆U0*，则V0=pU0(U)∈N(eHU0)且

因此仿拓扑群G是投射满足T2分离公理且满足特征小于等于κ.由引理3 可知G拓扑同构于Π 的一个子群H.

引理4[9]设仿拓扑群G满足T2分离公理，则

1）若χ(G)≤κ，则G*是满足特征小于等于κ且满足T2分离公理的拓扑群.

2）若w(G)≤κ，则G*是满足权势小于等于κ且满足T2分离公理的拓扑群.

引理5[9]设G是完全κ—narrow仿拓扑群，则G是κ—balanced仿拓扑群.

引理6设完全κ—narrow仿拓扑群G是投射满足T（2正则）分离公理且满足特征小于等于κ的，则G是投射满足T（2正则）分离公理且满足权势小于等于κ.

证明只证T2分离公理的情况，正则分离公理的情况类似可证.

任取U∈N(eG)，因为G是投射满足T2分离公理且满足特征小于等于κ的，因此存在一个从G到满足特征小于等于κ且满足T2分离公理仿拓扑群HU的连续同态pU:G→HU，使得对于某一V∈N(eH)，有因为G是完全κ—narrow仿拓扑群，由pU的连续性可知HU也是完全κ—narrow仿拓扑群，故HU的narrow 数nw(HU)≤κ.又因为χ(HU)≤κ，根据文献[9]的推论2.14 可知w(HU)≤nw(HU)⋅χ(HU)≤κ.因此对于上述的U∈N(eG)，存在一个从G到满足权势小于等于κ且满足T2分离公理仿拓扑群HU的连续同态pU:G→HU，使得对于某一V∈N(eH)，有p-

U1(V)⊆U.所以G是投射满足T2分离公理且满足权势小于等于κ.

定理2设仿拓扑群G满足T2分离公理，{Hi:i∈I} 是满足权势小于等于κ且满足T2分离公理的仿拓扑群族，则G拓扑同构于拓扑乘积∏=∏i∈IHi的一个子群当且仅当G是完全κ—narrow且Hs(G)≤κ.

证明 必要性设{Hi:i∈I} 是满足特征小于等于κ且满足T2分离公理的仿拓扑群族，G是∏=∏i∈I Hi的一个子群.由引理4 可知，对于任意i∈I，Hi*是满足权势小于等于κ且满足T2分离公理的拓扑群.因此Hi*是κ—narrow 拓扑群.因为κ—narrow 拓扑群的拓扑乘积以及子群都是κ—narrow 拓扑群，因此G*是κ—narrow拓扑群，从而G是完全κ—narrow仿拓扑群.

充分性设G是完全κ—narrow仿拓扑群，由引理5知G是κ—balanced仿拓扑群.又因为Hs(G)≤κ，所以由定理1 得仿拓扑群G拓扑同构于一族满足特征小于等于κ且满足T2分离公理的仿拓扑群族{Hi:i∈I}拓扑乘积∏=∏i∈I Hi的一个子群.由引理3 知G是投射满足T2分离公理且满足特征小于等于κ的仿拓扑群.利用引理6 可得完全κ—narrow 仿拓扑群G是投射满足T2分离公理且满足权势小于等于κ的仿拓扑群.最后再次利用引理3 可得G拓扑同构于一族满足权势小于等于κ且满足T2分离公理仿拓扑群集族{Hi:i∈I} 的拓扑乘积的子群.

类似于T2仿拓扑群嵌入的刻画，我们可以类似地得到正则仿拓扑群嵌入的刻画.

命题5[8]设半拓扑群G满足正则分离公理，H是G的子群，则Ir(H)≤Ir(G).

命题6设半拓扑群G满足正则分离公理，则Ir(G)≤χ(G).

命题7[8]设{Gi:i∈I} 是满足正则分离公理的半拓扑群族，如果对于任意i∈I都有Ir(Gi)≤κ，则对于拓扑乘积G= Πi∈IGi有Ir(G)≤κ.

将定理1和定理2中T2分离公理改为正则分离公理，得到定理3和定理4.读者可以仿照定理1和定理2的证明方法自行证明.

定理3设仿拓扑群G满足正则分离公理，{Hi:i∈I} 是满足特征小于等于κ且满足正则分离公理的仿拓扑群族，则G拓扑同构于拓扑乘积Π = Πi∈IHi的一个子群当且仅当G是κ—balanced且Ir(G)≤κ.

定理4设仿拓扑群G满足正则分离公理，{Hi:i∈I} 是满足权势小于等于κ且满足正则分离公理的仿拓扑群族，则G拓扑同构于拓扑乘积Π = Πi∈IHi的一个子群当且仅当G是κ—balanced且Ir(G)≤κ.