“数学探究”研究二十年：回顾经验展望

杨 怡，梁会芳，张定强

“数学探究”研究二十年：回顾经验展望

杨 怡，梁会芳，张定强

（西北师范大学 教育学院，甘肃 兰州 730070）

“数学探究”是近20年数学教育领域研究的核心议题之一，不仅是课改推进的需要，也是时代发展的需要．透过对“数学探究”研究轨迹的分析，发现其经历了初步认识、反思实践、综合探索3个阶段，梳理以往的理论与实践研究经验，可为后续的深度探究奠定坚实的基础．未来的“数学探究”研究将更多地以基于学生数学学科核心素养的发展为价值取向，数学问题解决要素的优化为动力机制，理论之维与实践之径的创新为前沿取向，进而形成“数学探究”研究新局面．

数学探究；历程回顾；经验梳理；未来展望

1 问题提出

“数学探究”是数学教育界历久弥新的永续性话题，在数学教育体系建构中处处有其身影，源于它既是数学教育体系形成的基因，也是促进数学教育变革的动因．“数学探究”是围绕某个具体的数学问题，开展自主探究、合作研究并最终解决问题的过程，是运用数学知识解决数学问题的一类综合实践活动[1]．“数学探究”自数学教育活动开展以来，便承载着重要的数学教育价值，开拓着数学教育理论与实践的新探索．特别是近20年的数学课程改革，更加促发着数学探究的新视野，使其融入到数学课程、教学、学习以及评价、反思等各个方面，亟需结合基础教育数学课程改革的历程，梳理和总结20年来“数学探究”研究的经验，以更加明晰“数学探究”的意蕴、拓展“数学探究”的价值、深化“数学探究”的应用、丰富“数学探究”的实践，从而更进一步推动数学教育系统建构、数学教学方式变革、数学学习共同体素养提升．

2 “数学探究”研究的历程回顾

数学是人们在生存、生活、发展过程中为了与自然和谐共处、与人类社会发展相适应而揭示现象和规律的基础上建构的体系，这种体系也是数学的探究史，因此“数学探究”就自然地融入到数学教育体系之中，也就成为数学课程与教学研讨的主要议题．近20年的数学课程改革历程中更加重视对“数学探究”的理论与实践研究，从相关的研究文献梳理中就可窥见一斑．

2.1 文献梳理

知网中检索“数学探究”主题，查看其学术关注度的指数分析，2000—2019年底的中外文献发表趋势如图1所示．发现数学探究研究大致自2000年以后逐渐成为数学教育工作者们关注的热点话题，其中中文文献数量处于较快上升趋势，且在2019年达到最高点，外文文献数量处于缓慢增长态势，显见数学探究的研究逐渐成为数学教育研究的热点话题．

图1 数学探究研究趋势

此外，在知网高级检索中输入“数学探究”，检索到核心期刊发表“数学探究”相关论文170篇，通过筛选确定了160篇作为梳理“数学探究”研究的对象文本，用以探寻“数学探究”研究历程的概况．

2.1.1 期刊来源和作者单位及所属地域

（1）主要期刊来源（见表1）．

表1 期刊来源统计

（2）作者单位及所属地域．

统计发现，“数学探究”研究的第一作者主要来自高校及中小学，分别占发文作者的46.88%、36.88%，来自教研室的占10.63%，教师进修学校的占2.50%，来自其他单位的占3.13%．作者所属地域见图2，江浙地区是数学探究研究的中坚力量．

图2 第一作者所属地域统计

2.1.2 研究主题

“数学探究”研究主要围绕其理论、课程、教学以及学习和评价等主题展开．其中数学教学方面的研究最多，共104篇，占发文量的65.00%，课程、学习方面分别占发文量的13.13%、11.25%，理论方面的占发文量8.13%，评价方面的仅4篇，占发文量的2.50%．

2.1.3 研究方法

表2是从文章中析取的主要研究方法的统计结果，由此可见“数学探究”研究主要以思辨法、案例研究法、经验总结法、文献法等方法展开，访谈、课堂观察、实验、问卷调查等方法涉及较少，相关的实证研究文章相对稀缺．

表2 研究方法统计

2.2 轨迹分析

自“数学探究”开始研究以来，中国对其认识遵循从感性认识到理性认识，再到实践探索的过程，并在不断地重复着此过程．按照人们对“数学探究”的理解程度将其轨迹大致划分为感性的初步认识阶段、理性的反思实践阶段及客观的综合探索阶段．

2.2.1 初步认识阶段

2001年《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》提出了以“实践与综合应用”为课程内容，通过自主探索和合作交流，实现学生“初步的创新精神和实践能力”的课程目标；2003年《普通高中数学课程标准（实验）》将“数学探究”以不同形式渗透在各模块和专题内容之中，提出在高中阶段至少安排一次较为完整的数学探究．从此，数学探究正式登上中国数学教育的舞台，主要研究者有徐彦辉、范文贵、康杰、李祎等人，围绕着数学探究的教育价值[2-3]、教学实践以及与信息技术整合等进行[4-6]．这是中国数学教育研究者在课改初期对“数学探究”的认知，是初步认识阶段，该阶段由于实践经验、理论认识等方面的相对不足，故对数学探究的本质研究较少．

2.2.2 反思实践阶段

经历几年的研究后，以宁连华、王跃进为代表的学者们开始反思数学探究在具体教学实施过程中出现的问题[7]，同时进行理论层面地剖析，挖掘数学探究与其它学科探究相比的独特之处，并开始对探究教学的逻辑起点与教学设计进行研究[8]，同时结合具体案例研究改进数学探究课堂实施的策略，进而有效开展数学探究[9]．这是数学教育研究工作者们在感性认识基础上的不断实践、勇于反思，尝试把握数学探究本质的阶段，该阶段对数学探究不再仅仅停留在经验层面，而是注重深层次的理性探析，挖掘其内涵与价值，确立数学探究在数学教育体系中的地位，并进行相应的数学教学实践探索，尝试在理论建构基础上指导具体的教学实践．

2.2.3 综合探索阶段

在数学探究研究10年之后，研究者们开始尝试全方位理解和把握数学探究体系，包括对其内涵和价值，数学探究与数学课程、教学、学习、评价等各方面的内在关系研究，其中代表学者有徐斌艳、刘云、朱建明、谢益民、苏洪雨等．在数学课程方面较为突出的是徐斌艳通过建立高中数学教材探究内容的分析指标体系展开教材分析[10]；教学、学习方面为克服现实的影响因素，朱建明提出“微型探究”助力数学学习[11]；评价方面苏洪雨进行了基于问题设计的数学微探究评价体系构建尝试[12]．这是数学教育研究者尝试对数学探究展开系统的综合探索阶段，但其研究的深度、广度还需不断强化．

3 “数学探究”研究的经验梳理

3.1 理论经验

3.1.1 数学探究的内涵

数学探究是基于建构主义、人本主义、认知心理学对波利亚“数学发现”、弗赖登塔尔“再创造”教育思想的继承与发展，内涵包括数学课程观、教学观、学习观3个维度的理解，即数学探究活动（能力）、数学探究教学以及数学探究学习．其实质上均是从20世纪50年代美国“教育现代化运动”芝加哥大学教授施瓦布所倡导的“探究式学习”中发展而来，逐渐在数学课程、数学教学、数学学习等维度具体化、操作化的尝试，其中后两者是对数学课程的实施[13]．数学探究与一般的探究类似，可从理念、精神、资源、操作、方法等层面解说，数学探究需要先进的理念、执著的精神，探究共同体带着好奇浸入到数学问题的情境、任务中，通过合作、实验、模拟、观察、猜测、联想、推理、表达、反思等形成探究模式[14]，从中感悟、体验、形成数学智慧．数学探究虽具有一般探究的基本特征，强调学生的主体性、过程的体验性、动态的生成性、环境的开放性，但数学的高度抽象性、广泛应用性、逻辑的严谨性决定了其有别于一般的探究，区别在于数学探究具有形式、内容、方式的独特性，更多的是体现思维的参与性、活动内容的丰富性，以问题解决活动为主要形式，以数学直觉为重要途径[15]．同时，持有动态的数学观是顺利开展数学探究的本体论基础[16]．

3.1.2 数学探究的流程

从数学探究的内涵可知，数学探究体现在数学探究活动中，而活动具有流程属性，通过不断地优化探究活动的流程以实现数学探究的目标．从权威的课标与实践维度梳理，其流程如表3所示．

从现行的数学课程标准及以往具体实践中的数学探究流程来看，随着研究的不断深入，理想化的数学探究流程从开始的注重观察分析、验证反思数学事实，到现在更加强调问题解决思路与方案的提出以及在数学探究过程中的学习方式，即自主探索、合作研究、质疑反思；数学教学实践中的数学探究则从以往单一的“顺序式”发展到现在注重过程、方法，并不断完善的“循环式”，意在促进学生数学学科核心素养的发展．

表3 数学探究流程

3.1.3 数学探究的方法

数学探究作为一种活动（能力）、教学或学习方式，都有方法要素的介入，而方法正是数学探究取得实效的保障．从宏观角度看，开展数学探究活动需要借助方法的力量激活活动中的主客体参与探究活动；进行数学探究教学应因材施教、因地制宜，运用一切可行的方法促进教学的有效开展；展开数学探究学习要基于建构学习理论让自主、合作、探究的方法发挥功效．从微观的角度看，数学探究启动、开展、反思都要用科学的方法维护其有效运行，特别是数学探究的主导者教师应让学生充分地运用类比、归纳、演绎等思维方法不断产生问题；运用观察、测量、实验等收集资料，分析现象、概括形成观点或结论等；并要从理论与实践的视角不断反思数学探究的得与失，进而创设民主、平等的氛围为学生提供通过调查法、作品分析法、行为检测法等反思数学探究过程的成效；通过对探究内容、过程及形式进行评价等[17]；除此之外数学探究还可从数学本质或数学的研究方法，即观察与实验、分析与综合、比较与分类、抽象与概括、一般化和特殊化等一般方法以及数形结合、化归、模型化、公理化等特殊方法出发引导学生开展数学探究[18]．

3.1.4 数学探究的价值

数学探究无论是对数学体系的丰富，还是数学学习共同体数学素养的发展都具有十分重要的价值．开展数学探究有助于了解数学概念、原理和结论产生的过程，理解数学体系中的直观和严谨的关系，尝试体验数学问题研究的过程与激情，从而建立严谨的科学态度和不畏困难的科学精神；开展数学探究有助于探究共同体亲密地接触认知数学中的原理、思想与方法，感受和体验数学的美、统一和力量，形成勇于质疑和善于反思的习惯，提高发现、提出、分析和解决问题的能力，进一步发展学生的创新意识与实践能力[19]．数学探究弥补了传统教学中的不足，重点转向关心学生的学习，注重探究、实验、讨论、交流、合作等学习方式，使得教与学更加融洽，同时以“问题引领”的方式向学生的生活领域延伸，更加强调学生对实际活动过程的亲历体验与问题情境、问题意识和问题解决能力拓展，使得学生能更加体会到数学应用的广泛性、数学的理性精神及其文化内涵[20]．同时数学探究课堂还有助于提高学生的发散思维水平，增强学生学习数学的兴趣，深化其数学体验，养成探究性学习的习惯[21]．

3.2 实践经验

3.2.1 课程路径的实践

狭义的数学探究即数学探究活动，它是一种课程观意义的探究，因此重视数学探究这一“资源库”的建设尤为重要，其具体的建构首先体现在数学教材上．课程在很大程度上影响着学生的数学成就，数学探究活动的设计与实施就是源于数学教材中的思考、探究、说一说、议一议、做一做等活动．依据相关文献分析，发现数学探究的初步认识阶段到现在的综合探索阶段，学者们大都是基于数学探究课程的开发工作而展开．

数学探究课程路径是数学探究最基本的实践路径，是数学探究卷入课程并进入到师生共同体学习视野的关键所在，不管是义务教育还是普通高中的数学教材，处处显现数学探究的因素，与数学的概念、原理、方法一起构成易于学习的数学材料．众多的学者以国内外具体数学教材为例，分析数学教材中的问题、习题等可开展数学探究的素材，并剖析这些“鲜活资源”的探究要义．如林婷以人教A版高中数学教材中的教学片段为例提出从激发情境、过程以及深挖例习题等3方面激活教材，让数学探究教学充满灵动[22]；刑昀通过对新加坡初中教材中“函数及其线性图象”一章探究活动的内容类型、开放水平、完成方式的分析，得出关注程序型知识探究和创造型应用探究、设置不同探究水平间的过渡及思维与实践并重等具体结论，以启示中国初中数学探究活动的有效开展[23]．叶乾海依据与英国《国家课程》匹配的第三学段中的例子：有关数学、图形、图象、计算器（机）如何进行数学探究进行了研究，指出其数学探究的基本特点及教学要求，启发中国数学探究课程开发[24]．还有学者依据数学探究内容分析指标体系[10]对不同国度、不同版本教材的数学探究内容进行比较，确立、发现异同并对中国数学探究教材设计的应然状态提出建议，如斯海霞和徐斌艳将中国数学人教A版和日本数学教材的高一内容比较，指出中国数学探究内容应注意避免习题化、重视综合实践性以及防止流于形式[25]．中国最新版本的教材便吸取了以上经验，如2019版普通高中北师大版教材在所有的章节中均设置了“思考交流”栏目，其注重在知识中渗透探究的方法，同时还设有专门的数学探究课，以期帮助师生有层次地开展数学探究[26]．

3.2.2 教学路径的实践

自数学探究提出以来，在新的教育理念指引下，广大数学教育工作者开始了教学探索，不断地改进中国数学课堂教学现状，为铸造华人如何学数学的中国特色贡献力量．在数学教学实践中数学探究融入到基础教育始末，以不同方式深深地嵌入到数学教学之中，要求采取更加有效的教学方式来体现数学探究的教育教学价值．学者们主要针对不同学段具体的数学探究案例及不同时期数学探究教学现状进行诊断分析，并依据问题提出相应的教学策略．无论案例或是现状分析均是数学探究从理论到实践，再到理论的逐步完善过程，形成的数学探究教学经验弥足珍贵．

数学探究教学中案例研究大多是通过微观的单课剖析数学探究的内涵价值、实施环节以及检测评价，如对数学探究活动的教学设计、教学反思、信息技术的使用等进行诊断分析．在数学探究开展的二十余年里，出现如“滑过”“假探究”“形式化”等异化现象，其原因有教师、学生、教学实践环节及教学环境等各方面[27]，但主要在于教师对探究性教学的内涵意义等存在认识误区，并缺乏相关的教学理论指导[28]．应对这种局面研究者提出的教学策略分课前、课内、课后3个时段，课前教师需确定主题、选择内容并进行教学设计以及教师话语设计[29]；课内即数学探究课堂中，教师应因材施教、创设良好课堂氛围、创造性地使用信息技术，最大限度发挥教师的组织者、引导者以及合作者作用；课后应布置开放性练习题、建立完善的评价体系并进行合理评价．基于教学视域的数学探究已经成为数学教学中不能缺失的环节，要把数学探究的基因渗透到教学的每一个环节中，建构“微型探究”[30]和“兴趣小组”[31]等打通数学探究与数学文化、数学建模之间的链接，以不断促成学生数学探究能力、问题意识的强化，发展学生数学学科核心素养．

3.2.3 学习路径的实践

探究是人类本能的认知方式，数学探究学习则是学生数学学习过程中必不可少的学习方式．纵观数学探究学习方面的研究，主要是有关数学探究学习的基础、模式、关键环节、实施条件、局限性等研究，以及信息技术辅助下的数学探究学习、教学模式和相关建议等．与数学探究教学研究相似，数学探究学习研究也以案例的方式来进行，从中探析数学探究学习的意义、探究课题的选择、确立、开发等，个别研究梳理了数学探究学习的特点，启发数学教育共同体深度思考数学探究学习的本真涵义．

数学探究顺利开展的基础是要有动态数学观及由此形成的数学教学观、数学学习观[16]，在此基础上明晰数学探究与其它学科探究的区别，进而有效地开启数学探究学习．邓文虹等人揭示了初中数学主题探究性学习中存在基于演绎推理、数学实验、社会调查、文献研究等4种探究模式[32]．数学探究立足知识并强调素养的提升，重点关注转化性过程、主动力量、临界点以及过程性评价4个关键环节[33]，同时自我监控活动也是一关键环节，其具体运作与特点同样值得关注[34]．作为数学教育工作者也应明确数学探究的局限性，郑毓信、吴晓红从探究学习与科学知识内容的掌握、数学思维的学习以及其与建构主义和情境理论3方面关系分析其局限性[35]．因此，数学探究必须在一定的条件下才能够顺利展开，其中强化教师信息技术与数学教育的融合意识就是其中之一，基于案例研究信息技术支持下的数学探究学习成为数学教育研究者青睐的研究方式[36-37]．但总体来看，数学探究学习的案例研究会出现探究泛化、窄化而引起的将数学探究归结为数学解题的探究过程，没有触及数学探究学习的本质，因此要针对数学学科的特点研究数学探究的学习问题，从而投身于亟待解决的探究学习的理论与实践相关问题的研究[38]．

3.2.4 评价路径的实践

课程改革倡导评价关注学生学习过程与结果两方面，在评价中不仅重视评价主体多元化、评价方式多样化、评价内容全面化等，而且提出评价过程与结果相融合、评价理念与思路相一致，充分发挥以评促改的功能．数学探究作为一种基于已有认知材料、教师引导下的学生数学再创造的数学活动，对其过程的评价关系到数学探究的质与量．数学探究评价研究起步较晚，且最有价值的研究乃是对其评价标准或体系的建立以及对探究试题的研究．

朱哲民、贾冰立足SIRA理论和实践教学，通过探究主体、探究互动、探究资源、探究能力4个维度尝试建立中学数学探究教学的评价标准[39]；苏洪雨面对目前由于教师对“探究”理解偏差及刻板印象（探究费时）而导致的数学探究实施过程中的表演性突出这一现状提出了一种易于操作、可以较好地融入课堂教学的“中间地带”——“数学微探究”，并基于问题设计指出其评价体系的建构[12]．而早在2008年单肖天便针对数学探究题目，即无确切结论、由学生凭借数学意识以及以往数学活动经验经过一定数学活动，归纳规律，最后做出正确结论与判断的试题，总结了当时初中数学探究试题考查特征特点，启发教师善于挖掘、换位思考、合情推理，丰富教学资源，不断优化教学过程，提高教学效果[40]．随着“立德树人”的提出，数学育人价值突出表现在爱国情怀、诚实守信、热爱劳动、理性精神、探究能力、创新意识、辩证思维等方面，数学探究的评价无疑要与高考命题立德树人的新亮点保持一致[41]．

4 “数学探究”研究的未来展望

4.1 “数学探究”研究的价值取向：基于学习者数学学科核心素养的发展

数学探究承载着发展学生数学学科核心素养的重要使命，即重点在于提升学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析素养，以此定位数学探究研究的价值取向．要基于学习者数学素养发展的视角对数学探究进行整体设计，突出问题导向、目标导向、任务驱动、合作交流、过程把握，让学习者主动参与“做数学”“学数学”的全程，积累数学活动经验，并联系实际“用数学”，让学习者在数学探究的全过程中，从数学概念、原理、思想、方法的“源”“流”角度明晰数学探究之意境，使其最终能学会用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界，用数学的语言表达世界[20]．

4.2 “数学探究”研究的机制取向：基于数学问题解决要素的优化

数学探究的基本要义是以数学问题解决为导向，因此基于数学问题解决要素的优化是数学探究研究的核心机制．一般情况下数学探究的过程也就是数学问题解决的过程，这个过程是一个系统工程，关涉众多要素，不仅涉及数学探究的内外环境、主体、情感等要素，而且涉及数学探究中的问题、方案、方法、反思等要素，无论是数学探究的基础、主体、对象、工具、路径、评价等主体性要素，还是数学探究的时间、环境、资源、空间等关联性要素都需要理顺其关系，探析其功能，优化其要素，形成数学探究研究系统的完善机制．让学习共同体在充满好奇、真情投入、渴望成功的状态下浸泡在数学探究的过程中，开展基于数学问题解决的数学探究活动，经历数学探究的过程，夯实四基、四能，提高数学学科核心素养．

4.3 “数学探究”研究的前沿取向：基于理论之维与实践之径的创新

数学课改以来，数学探究研究已有多年，基于数学探究的重要性和迫切性，数学探究将是一个可持续研究的话题，其研究的前沿热点应定位于理论之维与实践之径的创新．数学探究研究的理论之维就是要从数学发展与学习者数学素养提升的视角聚焦数学探究科学问题、把握数学探究真实问题、深耕数学探究核心问题、凝练数学探究重大问题、拓展跨学科数学探究问题、科学预测数学探究未来问题来进行理论探索，加强实证研究，提炼研究结果，开创数学探究研究新局面，使研究更加系统、完善．数学探究研究的实践之径要从教育、心理、资源、情境等条件性要素出发，在激发学习者好奇、唤醒学习者思维的情形下探析数学探究开展的路径与方式，遵从数学探究的形式逻辑、检验数学探究行为的品质提升、把握数学探究实践的层次节奏、从实践维度总结提炼数学探究的有效路径，融理论与实践为一体，提升数学探究的研究质量，以理论促实践、实践完善理论，丰富“数学探究”研究的体系建构．

5 结语

细数数学探究20年的风雨历程，取得了大量的理论与实践成果，聚焦于数学探究的理论与实践问题进行研究，体现出中国数学教育的研究特色，突出了数学素养提升导向，成为数学教育研究领域最丰富、最宝贵的资源，但这些成果大多还是主观的、个体的、零碎的，需要更进一步地系统整理与分析，更深层次地加工，提高研究的规范性，揭示数学探究要素之间的内在联系，弄清这些联系的因果关系，探析关系间的作用机制，获得关于数学探究的规律性认识．因此，数学教育研究工作者需要拥有数学探究研究的自觉与自信，树立批判与反思意识，重视与数学教育相关联的机制分析，增强数学探究研究的时效性和影响力，促进数学探究研究迈上一个新高度．

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Twenty Years of Research on Mathematics Inquiry: Review, Experience and Prospect

YANG Yi, LIANG Hui-fang, ZHANG Ding-qiang

(College of Education, Northwest Normal University, Gansu Lanzhou 730070, China)

“Mathematics inquiry” is one of the core topics in the field of mathematics education in the past 20 years, which is not only the need of promoting the curriculum reform, but also the need of the development of the times. Through the analysis of the research trajectory of mathematical inquiry, it is found that it has gone through three stages: preliminary understanding, reflective practice and comprehensive exploration. Combing the previous theoretical and practical research experience lays a solid foundation for the subsequent in-depth exploration. The future research of “mathematics inquiry” will take the development of students’ mathematical core competencies as the value orientation, the optimization of mathematical problem-solving elements as the dynamic mechanism, and the innovation of theoretical dimension and practice path as the leading orientation. Thus, it will form a new situation of “mathematics inquiry” research.

mathematics inquiry; history review; experience combing; future prospect

G629.21

A

1004-9894（2020）06-0040-06

杨怡，梁会芳，张定强．“数学探究”研究二十年：回顾经验展望[J]．数学教育学报，2020，29（6）：40-45．

2020-09-30

西北师范大学研究生培养与课程改革项目——数学教育研究与论文写作（2020KGLX01001）

杨怡（1996—），女，甘肃庆阳人，硕士生，主要从事数学教学论研究．张定强为本文通讯作者．

[责任编校：周学智、陈隽]