气动变载荷加载系统的分数阶PID控制①

郭根旺 刘福才 龚正阳

(燕山大学工业计算机控制工程河北省重点实验室 秦皇岛 066004)

0 引 言

气动技术具有价格低廉、结构简单、工作可靠和无污染等一系列显著的优点，已经在生产制造、医疗器械、仪器仪表等诸多领域得到了广泛的应用，成为工业生产中的重要手段之一[1]。在气动装置控制领域，通常使用对电气比例阀的控制实现气动装置位置或压力的控制。但由于气体所具有的可压缩性、流动状态复杂以及器件的非线性等问题，导致了气动系统具有很强的非线性和时变性[2]。因此气动加载系统在实现高精度的控制方面存在着一定的困难，而设计一种可靠的控制器提高气动加载系统的控制精度具有重要的意义。

为了更好地实现气动变载荷加载系统的控制，近年来大量学者对气动系统的控制进行了深入的研究。文献[3]利用模糊状态反馈的方法调节传统PID控制的增益参数，使得气动装置能够实现高精度的定位。文献[4]采用了组合自校正控制器，有效地抑制了摩擦力等干扰因素对系统的影响，增强了气动伺服系统的鲁棒性，有效地实现了气动装置的精确定位。文献[5]采用模糊PID控制器对气动装置输出压力进行控制，通过对偏差和偏差的变化率进行模糊推理，在线调整PID的3个参数，由于模糊PID控制具有很好的自学习能力，增强了系统的动态性能，使控制具有了很好的自适应能力，实现了压力的精确输出。文献[6]提出了一种不依赖于模型的积分型线性自抗扰控制器，通过扩张观测器对干扰信号进行估计和补偿，并引入积分环节弥补了系统的非线性，消除了静差，很好地实现了压力的跟随输出。

上述几种控制算法均得到了满意的控制效果，但上述几种算法存在着理论性较强、推导过程复杂、计算量较大等问题，难以在实际工程中推广，因此本文提出了在传统整数阶PID基础上改进的分数阶PID控制(fractional order PID，FOPID)。FOPID控制不依赖于系统模型，相较于传统整数阶PID控制增加了2个可调参数[7]，并采用粒子群算法对参数进行了优化，提高了参数的精度，有效提高了气动加载系统的控制效果。

1 气动变载荷加载系统分析

本文所研究的是基于摩擦磨损试验机的气动变载荷加载系统，该系统通过气动压力加载模拟重力作用，相对于砝码和液压加载，气动加载更易实现变载荷控制[8]。装置示意图如图1所示，其主要包括无油气泵、气动三联件、减压阀、SMC的ITV2050电气比例阀、二位五通阀、单杆双作用气缸、MCL-L压力传感器，工控机、数据采集卡、模拟量输出卡和在无刷电机带动下可以旋转的样品台。工控机通过PCI-1710U数据采集卡采集压力传感器的检测数据，利用微软基础类库设计了实时控制程序，对数据进行处理，输出信号经PCI-1720模拟量输出卡转换为4～20 mA电流信号作用于电气比例阀，实现了控制单杆双作用气缸压力跟随给定波形的输出。该气动加载系统的物理参数如表1所示。通过对气动加载系统的分析，文献[9]得出其模型的状态方程如式(1)所示。

图1 气动压力加载系统实验装置示意图

表1 气动加载系统物理参数表

(1)

2 分数阶PID控制器

FOPID控制为分数阶微分和积分的组合，其控制器结构如式(2)所示，控制器中引入了微分和积分非整数阶次，相对于整数阶PID多了2个自由度，因此FOPID不仅可以适用于整数阶PID的控制，而且增加了其灵活性，更加适用于非线性系统的控制，从而获得比整数阶PID更好的控制效果。

(2)

控制器结构图如图2所示。

图2 分数阶PID控制器结构图

FOPID控制器是一个无限维的控制器，不能直接设计控制器，必须采用一些特殊的方法加以实现。在实际应用中常采用一个有限维的阶次方程来近似化FOPID控制器。FOPID控制器近似化分为间接近似和直接近似2大类，间接法是将分数阶控制系统近似转化为一个连续的整数阶系统，然后进行离散化；直接法是将分数阶控制系统直接离散化，再通过某种手段进行有限化处理。

间接近似化经过不断的研究比较，目前常采用Oustaloup近似化的方法，以微分算子sμ为例，Oustaloup近似化可以在(ωb，ωh)的频域段内对其进行近似化处理，其近似化处理公式如式(3)所示。

(3)

公式中未知参数的求解如下：

(4)

其中2N+1为近似化次数。

上述近似方法在频率范围两端仍存在较大的误差。经过不断的研究改进得到了精度更高的改进型Oustaloup近似法[10]：

(5)

公式中未知参数的求解如下：

(6)

式中，系数b和d的选取对近似化的结果具有重要的影响，通过对近似化方法不断的理论分析与实验验证，求得b=10、d=9时近似化效果最好[11]。

直接法设计FOPID离散控制器采用的方法是Tustin+CFF法。该方法首先将分数阶微积分算子利用Tustin离散化方法进行离散化处理。其中T为采样周期，计算公式如下[12]：

(7)

由于生成函数为无理函数，通常采用连分式展开式(continued fraction expansion,CEF)的方法对生成函数进行有理化处理。连分式的表达式为

(8)

通过简化计算，以逼近3阶近似化模型为例，微积分算子sr的离散化模型为

(9)

3 粒子群优化算法

粒子群优化算法是假设在一个D维的目标搜索空间中，N个没有质量和体积的粒子组成一个群落，第i个粒子的位置为xi=(xi1,xi2,…,xiD)，该粒子的飞行速度vi=(vi1,vi2,…,viD)，该粒子经历的最优位置pbest=(pi1,pi2,…,piD)称为个体极值，i=1,2,…,N。粒子群迄今为止搜索到的最优位置称为全局极值gbest=(g1,g2,…,gD)，引入适应度函数作为评价因子，通过不断迭代，使每个粒子不断地向自身历史最佳位置和全局历史最佳位置聚集，当达到最大迭代次数或满足优化条件后结束[13，14]。本文中采用了带有权重的粒子群算法，该改进算法能够取得更好的收敛效果。

(10)

其中，c1和c2为粒子群优化算法的学习因子，r1(t)和r2(t)为[0，1]区间的随机数，w是权重,目前常采用的变换公式为

(11)

其中，wmax为最大权重，一般取0.9；wmin为最小权重，一般取0.4；Tmax为最大迭代次数，t为当前迭代次数。

气动加载系统运行时主要通过调节FOPID的5个参数来改善控制系统的性能，综合考虑系统的稳定性和快速性，本文采用的适应度函数如式(12)所示。

(12)

其中e(t)为误差[15]。

4 控制系统仿真与实验验证

4.1 系统仿真验证

仿真过程中利用Simulink对控制系统进行构建，采用粒子群算法对控制器参数进行优化，利用优化参数设计了FOPID控制器，其中粒子群优化算法的种群规模N=100，迭代次数为50，当阶跃信号输入时，寻优过程如图3所示。

图3 寻优过程图

图4的输入信号为压力F=100 N的恒值信号，从仿真结果可以看出，传统整数阶PID的响应速度慢，超调量较大，采用FOPID控制后可以有效地加快响应速度和降低超调量。

图4 恒值加载仿真跟踪曲线图

图5的输入信号为周期T=10 s、压力F=20～100 N的正弦波信号，由图5仿真曲线可以看出传统整数阶PID控制具有明显的超调，而FOPID控制时超调量小，且其仿真曲线更加平滑、抖动小。

图5 正弦波加载仿真跟踪曲线图

图6的输入信号为周期T=10 s、压力F=20～100 N的三角波信号，由图6可知，在传统整数阶PID控制时跟踪曲线存在抖振，并存在滞后性，而在FOPID控制下跟踪曲线没有抖振和滞后，且尖端跟踪效果更好，表明FOPID控制在三角波信号输入时能够取得显著的改进效果。

图6 三角波加载仿真跟踪曲线图

图7的输入信号为周期T=10 s、压力F=20～100 N的方波信号，从仿真图中可以看出当信号发生阶跃突变时，FOPID控制的响应速度更快，且误差相比传统整数阶PID更小，跟踪效果良好。

图7 方波加载仿真跟踪曲线图

4.2 实验验证

为了验证FOPID控制器在实际工程中的效果,本文利用图8所示的气动变载荷摩擦磨损试验机进行了实验验证。该装置可完成测试不同重力条件下空间机构摩擦磨损的实验，首先对该系统在下样件静止时输入4种不同波形的信号，得出跟踪曲线和误差曲线，然后将下样件在电机带动下旋转，并可实现样品台小幅度的上下振动，从而相当于对气动加载系统加入外部干扰，同样进行4种输入波形的测试，得出跟踪曲线和误差曲线。

图8 气动压力加载系统实验装置示意图

图9中分别为加载压力F=100 N的恒值加载时下样件不同状态下的跟踪曲线和误差曲线。由实验曲线可以看出，在传统整数阶PID控制时，响应速度慢，当下样件旋转后误差明显变大，而FOPID控制时响应速度快，误差小，当下样件旋转后误差变化小，抗干扰能力强，控制效果良好。

图9 恒值加载实验曲线图

图10中分别为周期T=10 s，压力F=20～100 N的正弦波加载时下样件不同状态下的跟踪曲线和误差曲线。从响应曲线可以看出，当正弦波信号加载时，FOPID控制下的跟踪曲线抖振小，曲线平滑，滞后性和抗干扰能力都优于传统整数阶PID，实现了正弦波信号较好的跟踪。

图10 正弦波加载实验曲线图

图11中分别为周期T=10 s，压力F=20～100 N的三角波加载时下样件不同状态下的跟踪曲线和误差曲线。从实验图分析可知，当三角波加载时传统整数阶PID控制的跟踪曲线出现了明显的畸变，尤其在尖端点误差较大，且存在较大的时滞，采用FOPID控制后，跟踪曲线震荡小，时滞小，在尖端点也能够实现较好的跟踪。

图11 三角波加载实验曲线图

图12中分别为周期T=10 s，压力F=20～100 N的方波加载时下样件不同状态下的跟踪曲线和误差曲线。实验结果表明，当给定信号发生阶跃突变时，传统整数阶PID控制的响应速度慢，不能快速地实现对输入信号有效的跟踪，跟踪误差大，当采用FOPID控制时响应速度快，给定信号发生突变时能够更加有效地实现信号跟踪。

图12 方波加载实验曲线图

5 结 论

气动装置系统具有成本低、维护简单、清洁可靠、实用性强等一系列显著的优点，但气动装置也存在着气体可压缩性、气体流动状态复杂，气体受外界温度影响较大，响应速度慢以及器件存在非线性等一系列不利于控制的因素，传统整数阶PID控制在控制气动装置方面存在着不足，影响气动装置的实际应用效果。

本文针对上述气动加载系统存在的缺点提出了FOPID控制，对FOPID控制器的实现方法进行了详细的介绍，针对FOPID在设计中存在参数较多的问题采用粒子群优化算法对参数进行了优化，利用Matlab进行了仿真验证，设计了离散数字控制器，并在气动压力加载摩擦磨损试验机上进行了实验验证，将FOPID控制效果和传统整数阶PID的控制效果进行了比较，从多方面充分证明了FOPID可以取得更好的控制效果。