论9 的除法

湖北省荆州市洪湖市文泉中学 陈景华

如果一个自然数的各位数字之和是9 或9 的倍数，那么这个数一定能被9 整除。例如：1215、2151、1512……36783、666、456789……如上这些数都能被9 整除。

任意一个自然数除以9，一般的方法是用除法，先求商，后求余数，而我的方法是：①先求余数；②后求商；③用加减法求。

首先，怎样求余数呢？在这里介绍用划数法求余数。

第一，当一个数的各位数字较小时，例：234561÷9，方法是，划去数位上的数字之和为9 或9 的倍数，剩下的数位上数字之和即为余数，如3+4+5+6=18，剩下2+1=3，所以此式的余数为3。验证：234561÷9=26063……3。又例：12321346÷9，划去的数字2、3、3、4、6 的和为18，还剩下的数字1、2、1 之和为4，故12321346÷9的余数为4。

总结：没有划掉的数字相加的和就是余数。

第二，当一个数的各数位上的数字较大时，例：8887687÷9，划去的数字8、7、6、8、7 之和为36，剩下的数字为8、8，和为16，又数字1、6 之和为7，所以式子8887687÷9 的余数是7。又如：823276÷9，划去数字3、2、7、6 之和为18，余下数字8、2 之和为10，又1+0=1，所以823276÷9 的余数为1。

我们将余数求出了，现在怎么求商呢？

我们先来研究这样一个问题：①54÷9=6；②324÷9=36；③63927÷9=7103。

以上三式中，被除数的个位与商的个位之间有什么关系？4+6=10，4+6=10，7+3=10，它们之间互补（就是相加等于10）。

我们发现，任意一个能被9 整除的数，被除数的个位与商的个位互补。有了这样的结论，我们可以大胆设想一下，任何一个能被9 整除的数，可不可以用加减法求其结果呢？例：365418÷9，因为各位的数字3、6、5、4、1、8 之和为27，是9 的倍数，说明365418 能被9 整除。

365418 →被除数，第一步，因为8+2=10，所以商的个位是2；第二步，8+2=10 进位1，十位上1+1=2，2+？=2，只有2+0=2，所以商的十位数字是0；第三步，被除数的百位是4，而只有4+6=10，所以商的百位上是6；第四步，4+6=10 进位1，被除数的千位上是5，以百位上进位1，有5+1=6，只有6+0=6，所以商的千位上数字为0；第五步，被除数的万位上数字是6，6 比商的千位上的数0 大，只有6+4=10 才能有0，所以商的万位数字为4。且因为6+4=10，进位1，被除数最高位数字为3，有3+1=4，只有4+0=4，所以商到万位4 就终止了，则有365418÷9=40602。

总结：365418÷9 图例如下：（每位分为进位或不进位）

3 6 5 4 1 8……被除数

4 0 6 0 2……商

商：从个位起，要进位，十位不进位，百位上要进位，千位不进位，依次循环到最高位，且商的十位上数字为被除数十位上数字1 与个位上进位1 之和，商的千位数字为被除数千位数字5 与百位上进位1 之和……

又例：35642134÷9=？

解析：因为3+5+6+4+2+3+4=27，还余数字1，所以此式子的余数是1，那么35642133÷9 的商为多少呢？看图例：3 5 6 4 2 1 3 3……被除数

1 1 1

0 3 9 6 0 2 3 7……商（个位上数字起开始进位）

原则：商的个位数字为被除数个位数字的补数字，商的十位数字为商的个位上数字减去被除数十位数字与进位1 之和，商的百位数字为商的十位数字减去被除数百位数字，商的千位数字为商的百位数字减去除数千位数字（从十位数字起，有进位1 要减去1，不进位的要减去0）……所以35642134÷9=3960237……1。