千淘万漉虽辛苦，吹尽狂沙始到金——“幂的运算”易错点例析

文李正芳

幂的运算包括同底数幂的乘法、除法，幂的乘方，积的乘方以及零指数幂、负指数幂等运算，是学习整式乘除运算的基础。由于幂的运算性质较多，如果同学们对每个运算性质理解不透彻，只是简单记忆和重复练习，很容易将性质混用，导致错解。学习的过程就像淘金，只有淘尽了泥沙，才会得到闪亮的黄金。为帮助同学们学好这部分内容，避免解题出错，为以后学习打好基础，现就常见的错误类型例析如下。

一、分不清同底数幂和同类项

例1下列计算正确的是（ ）。

A.a⋅a4=a4B.a4+a4=a8

C.a4+a4=2a4D.a4⋅a4=a16

【错解】A、B或D。

【分析】指数相加是在同底数幂相乘时才能进行的运算。单项式与单项式相加时只能合并同类项。有些同学对同底数幂和同类项的内容分不清，导致错解。同类项：所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫同类项。合并同类项法则：只把系数相加减，字母和字母的指数不变。A选项是同底数幂相乘，指数应相加，a的指数应该是1+4=5；B选项有“+”，属于合并同类项，系数是1+1=2，字母和字母的指数不变，所以错误；D选项属于同底数幂的乘法，指数应相加而不是相乘，所以错误。正确选项是C。

例2 计算：

（1）（m+n）10+（m+n）10；

（2）（m+n）10⋅（m+n）10。

【错解】（1）（m+n）10+（m+n）10=（m+n）20；（2）（m+n）10⋅（m+n）10=2（m+n）10。

【分析】（1）是加法运算，应按合并同类项的法则，只把系数相加，字母和字母的指数不变；（2）是同底数幂的乘法，应是底数不变，指数相加。错解把合并同类项与同底数幂相乘弄混淆了。区分方法：用“+”号相连接的式子是合并同类项，只需把系数相加减，字母和字母的指数不变。字母之间有乘号的，或者省略了乘号的，属于同底数幂的乘法，应底数不变，指数相加。

【正解】（1）（m+n）10+（m+n）10=2（m+n）10；（2）（m+n）10⋅（m+n）10=（m+n）20。

二、分不清同底数幂与幂的乘方法则

例3计算（-a）3⋅（-a）5。

【错解】（-a）3⋅（-a）5=（-a）3×5=-a15。

【分析】该题应根据“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的性质进行计算，而错解犯了变指数相加为指数相乘的错误。

【正解】（-a）3⋅（-a）5=（-a）3+5=a8。

例4计算（-a2）3⋅（-a）3。

【错解】（-a2）3⋅（-a）3=（-a）5⋅（-a）3

=a8或（-a2）3⋅（-a）3=（-a）8⋅（-a）3=（-a）11=-a11。

【分析】幂的乘方性质为“幂的乘方，底数不变，指数相乘”。而错解把指数相加或把指数进行乘方运算了，这些都是不理解性质造成的。

【正解】（-a2）3⋅（-a）3=-a6⋅（-a3）=a9。

例5计算（x6）2⋅（-x3）2。

【错解】（x6）2⋅（-x3）2=x36⋅x9=x45。

【分析】本题错在把指数进行乘方运算了，正确的解法应按幂的运算性质“底数不变，指数相乘”进行计算。

【正解】（x6）2⋅（-x3）2=x12⋅x6=x18。

三、混淆幂的意义与幂的运算性质

例6 比较234与243的大小。

【错解】∵234=212，243=212，

∴234=243。

【分析】错解将幂的意义与幂的乘方混淆。234不是212，它是以2为底数，以 34=81为指数的幂。同理，243也不是212，它是以2为底数，以43=64为指数的幂。因为两个幂的底数相同，所以我们只需比较指数大小即可。

【正解】∵234=281，243=264，2＞1，81＞64，

∴281＞264，即 234＞243。